第3節(jié)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式【課標(biāo)要求】（1）會推導(dǎo)兩角差的余弦公式；（2）能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，并會簡單應(yīng)用.知識點一兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1.公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.2.公式C（α＋β）：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.3.公式S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.4.公式S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.5.公式T（α－β）：tan（α－β）＝tanα－tan6.公式T（α＋β）：tan（α＋β）＝tanα＋tan結(jié)論兩角和與差的公式的常用變形（1）sinαsinβ＋cos（α＋β）＝cosαcosβ；（2）cosαsinβ＋sin（α－β）＝sinαcosβ；（3）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；（4）tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan（（1）（2024·全國甲卷理8題）已知cosαcosα－sinα＝3，則tan（α＋π4）A.23＋1 B.23－1C.32 D.1－解析：（1）根據(jù)題意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tan（α＋π4）＝tanα+1（2）（2024·新高考Ⅰ卷4題）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，則cos（α－β）＝（A）A.－3m B.－mC.m3 D.3解析：（2）因為cos（α＋β）＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，即sinαsinβcosαcosβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，從而cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ規(guī)律方法應(yīng)用三角函數(shù)公式解題的策略（1）使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征；（2）特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的；（3）逆用和變形用兩角和與差的三角函數(shù)公式更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.練1（1）（人A必修一P229習(xí)題2題改編）已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ＝－13，sin（α＋β）＝79，則tanα＝解析：（1）由題意知sinβ＝223，∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2，又sin（α＋β）＝79，∴cos（α＋β）＝－429，∴sinα＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝79×（－13）＋429×223＝1（2）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.解析：（2）原式＝tan10°tan20°＋tan60°（tan20°＋tan10°）＝tan10°tan20°＋3tan（20°＋10°）（1－tan20°tan10°）＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.知識點二二倍角的正弦、余弦、正切公式1.基本公式（1）sin2α＝2sinαcosα；（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；（3）tan2α＝2tanα2.公式變形（1）升冪公式：1－cosα＝2sin2α2；1＋cosα＝2cos2α2；tanα＝2tanα21－tan2α2；1±sinα＝（2）降冪公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；tan2α提醒（1）二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情況；（2）二倍角是相對的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2（1）化簡1+cos4＝（D）A.sin2 B.－cos2C.2cos2 D.－2cos2解析：（1）因為1+cos4＝2cos22，又cos2＜0，（2）〔多選〕（2025·?？谀M）已知α∈（π，2π），sinα＝tanα2＝tanβ2，則（A.tanα＝3 B.cosα＝1C.tanβ＝43 D.cosβ＝1解析：（2）因為sinα＝tanαcosα＝tanα2，所以cosα＝12，又α∈（π，2π），所以sinα＝－32，tanα＝－3，故A錯誤，B正確.tanβ2＝－32，所以tanβ＝2tanβ21－tan2β2＝－43，cos規(guī)律方法應(yīng)用二倍角公式解題的策略（1）注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系；（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式恰當(dāng)變化函數(shù)名稱，靈活處理系數(shù)，構(gòu)造二倍角公式的形式.練2（1）（2024·九省聯(lián)考）已知θ∈（3π4，π），tan2θ＝－4tan（θ＋π4），則1+sin2θ2A.14 B.C.1 D.3（2）〔多選〕下列各式中，值為12的是（ACDA.tan22B.tan15°cos215°C.33cos2π12－33D.1解析：（1）∵tan2θ＝－4tan（θ＋π4），∴2tanθ1－tan2θ＝－4tanθ+11－tanθ，∴2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，∴tanθ＝－12或－2，∵θ∈（3π4，π），∴tanθ∈（－1，0），∴tanθ（2）∵tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12，tan15°cos215°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14，33cos2π12－33sin2π12＝33知識點三輔助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ），其中sinφ＝ba2＋（1）（人A必修一P220練習(xí)4題改編）求值：cos5π12－3sin5π12＝（A.－22 B.－C.2 D.2解析：（1）∵cos5π12－3sin5π12＝2（12cos5π12－32sin5π12）＝2（cosπ3cos5π12－sinπ3sin5π12）（2）若sinα＋3cosα＝1，則cos（α－π6）＝（BA.32 B.C.－12 D.－解析：（2）因為sinα＋3cosα＝1，所以2sin（α＋π3）＝1?sin（α＋π3）＝12，所以cos（α－π6）＝cos（π6－α）＝sin［π2－（π6－α）］＝sin（α＋π規(guī)律方法對asinx＋bcosx化簡時，要清楚輔助角φ的值如何求.練3（1）（人A必修一P254復(fù)習(xí)參考題13（2）題改編）在等式（tan10°－3）·sin（*）＝－2cos40°的括號中，填寫一個銳角，使得等式成立，這個銳角是80°；解析：（1）因為等式（tan10°－3）·sin（*）＝－2cos40°可以轉(zhuǎn)化為sin（*）＝－2cos40°tan10°－3＝－2cos40°·cos10°sin10°－3cos10°＝－2cos40°（2）若函數(shù)f（x）＝Asinx－3cosx的一個零點為π3，則f（π12）＝－2解析：（2）依題意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－3cosx＝2sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12提能點角的變換（1）已知cosα＝45，cos（α＋β）＝35，且α，β均為銳角，則sinβ＝（DA.－750 B.－C.750 D.解析：（1）∵cosα＝45，α為銳角，∴sinα＝35，∵α，β均為銳角，∴α＋β∈（0，π），又∵cos（α＋β）＝35，∴α＋β∈（0，π2），∴sin（α＋β）＝45，∴sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝45×45－35（2）已知cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），則sin（α＋π12）＝解析：（2）因為cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），所以α∈（π6，π2），sin（α＋π3）＝35，所以sin（α＋π12）＝sin（α＋π3－π4）＝sin（α＋π3）cosπ4－cos（α＋π3）·sinπ4規(guī)律方法1.三角函數(shù)公式求值中變角的解題思路（1）當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.2.常用拆角、拼角技巧2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝α＋β2－α－β2＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；π4＋α＝π2－練4（1）（2025·湖南師大附中模擬）已知tan（α＋β）＝12，tan（α－β）＝13，則tan（π－2α）＝（AA.－1 B.1C.－2 D.2解析：因為tan（π－2α）＝－tan2α，tan2α＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α（2）（2025·臨沂模擬）已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos（π4＋α）＝－35，sin（3π4＋β）＝513，則sin解：因為π4＜α＜3π4，所以π2＜π4＋α＜π，所以sin（π4＋α）＝1－cos2（π4＋α）＝45.又因為0＜β＜π4，所以3π4＜3π4＋β＜π，所以cos（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，所以sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β）＝－sin［（π4＋α）＋（3π4＋β）］＝－［sin（π4＋一、單項選擇題1.若cosα＝－45，α是第三象限角，則sin（α＋π4）＝（A.7210 B.C.－210 D.解析：B∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－（－45）2＝－35，∴sin（α＋π4）＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝2.（2025·揚州模擬）3sin20°－1cos20A.8 B.－8C.4 D.－4解析：C3sin20°－1cos20°＝3cos20°－sin20°sin20°3.（2025·天水模擬）若α＋β＝－3π4，則（1＋tanα）（1＋tanβ）＝（A.12 C.2 D.5解析：Ctan（－3π4）＝tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，則1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即（1＋tanα）4.（2025·甘肅高考診斷考試）已知sin（α＋π3）－sinα＝45，則sin（2α－π6）A.725 B.－C.2425 D.－解析：B因為sin（α＋π3）－sinα＝32cosα－12sinα＝cos（α＋π6）＝45，所以sin（2α－π6）＝sin［2（α＋π6）－π2］＝－cos［2（α＋π6）］＝1－2cos2（α5.已知a＝22（sin14°＋sin76°），b＝1－cos122°2，c＝cos20°－sin30°cos40°sin40°A.a＜c＜b B.c＜a＜bC.a＜b＜c D.b＜a＜c解析：Aa＝22（sin14°＋cos14°）＝sin（14°＋45°）＝sin59°，b＝1－cos122°2＝sin261°＝sin61°，c＝cos20°－sin30°cos40°sin40°＝cos（60°－40°)?cos60°cos40°sin40°＝sin606.《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖（如圖）是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為α，β，且小正方形與大正方形面積之比為1∶25，則cos（α－β）＝（）A.2425 C.725 解析：A設(shè)大正方形的邊長為1，由小正方形與大正方形面積之比為1∶25，則小正方形的邊長為15，可得：cosα－sinα＝15①，sinβ－cosβ＝15②，由圖可得：cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，①×②可得125＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos（α－β）＝1－cos（α－β），解得cos（α－7.（2025·連云港一模）若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，則cos（A.33 B.－C.539 D.解析：Ccos（α＋β2）＝cos［（π4＋α）－（π4－β2）］＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin（π4＋α）sin（π4－β2）.∵0＜α＜π2，則π4＜π4＋α＜3π4，∴sin（π4＋α）＝223.又－π2＜β＜0，則π4＜π4－β2＜π2，∴sin（π4二、多項選擇題8.下列結(jié)論正確的是（）A.sin（α－β）sin（β－γ）－cos（α－β）cos（γ－β）＝－cos（α－γ）B.315sinx＋35cosx＝35sin（x＋π6C.f（x）＝sinx2＋cosx2D.tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1解析：AD對于A，左邊＝－[cos（α－β）cos（β－γ）－sin（α－β）sin（β－γ）]＝－cos[（α－β）＋（β－γ）]＝－cos（α－γ），故A正確；對于B，315sinx＋35cosx＝65（32sinx＋12cosx）＝65sin（x＋π6），故B錯誤；對于C，f（x）＝sinx2＋cosx2＝2sin（x2＋π4），∴f（x）的最大值為2，故C錯誤；對于D，∵1＝tan45°＝tan（12°＋33°）＝tan12°＋tan33°1－tan12°tan33°，∴tan12°＋tan339.（2025·臨川模擬）已知α，β，γ∈（0，π2），sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則下列說法正確的是（A.cos（α＋γ）＝12 B.cos（β＋γ）＝－C.β－α＝π3 D.β－α＝－解析：ABC由已知，得sinγ＋sinα＝sinβ，cosα－cosγ＝cosβ，兩式分別平方相加，得（sinγ＋sinα）2＋（cosα－cosγ）2＝1，sin2γ＋sin2α＋2sinγsinα＋cos2α＋cos2γ－2cosαcosγ＝1，整理得2（sinγsinα－cosαcosγ）＝－1，∴cos（α＋γ）＝12，∴A正確；同理由sinβ－sinγ＝sinα，cosβ＋cosγ＝cosα，兩式分別平方相加，易得cos（β＋γ）＝－12，∴B正確；由sinβ－sinα＝sinγ，cosα－cosβ＝cosγ，兩式分別平方相加，易得cos（β－α）＝12.∵α，β，γ∈（0，π2），∴sinγ＝sinβ－sinα＞0，∴β＞α，∴β－α＝π3，∴C正確，D錯誤.故選A三、填空題10.求值：sin220°（tan10°－3）＝1.解析：原式＝－sin40°（sin10°cos10°－3）＝－sin40°·sin10°－3cos10°cos10°＝－sin40°·11.（2025·濱州一模）“在△ABC中，cosAcosB＝＋sinAsinB”，已知橫線處是一個實數(shù).甲同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)a，這時C是直角；乙同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)b，這時C是銳角；丙同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)c，這時C是鈍角，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是b＜a＜c.解析：由題意，得橫線處的實數(shù)等于cos（A＋B），即cos（π－C），故當(dāng)C是直角時，a＝cos（A＋B）＝cosπ2＝0；當(dāng)C是銳角時，－1＜b＝cos（A＋B）＜0；當(dāng)C是鈍角時，0＜c＝cos（A＋B）＜1，故b＜a＜c12.（2024·新高考Ⅱ卷13題）已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，則sin（α＋β）＝－223解析：法一由題意得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41?(2+1）＝－22，因為α∈（2kπ，2kπ＋π2），β∈（2mπ＋π，2mπ＋3π2），k，m∈Z，則α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因為tan（α＋β）＝－22＜0，則α＋β∈（（2m＋2k）π＋3π2，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，則sin（α＋β）＜0，則sin（α＋β）cos（α＋β）＝－法二由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β為第四象限角.不妨在角α＋β的終邊上選取一點P（1，－22），則r＝｜OP｜＝1+8＝3，所以sin（α＋β）＝－22法三易得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41－2－1＝－22.又tanα＋tanβ＝sinαcosα＋sinβcosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＝4，所以sin（α＋β）＝4cosαcosβ.由α為第一象限角，β為第三象限角，得cosα＞0，cosβ＜0，所以sin（α＋β）＝4cosαcosβ＜0.由tan（α＋β四、解答題13.已知函數(shù)f（x）＝2cos2x＋23sinxcosx.（1）求f（π3）的值（2）若f（α2）＝115，α∈（0，π3），求cos解：（1）因為f（x）＝2cos2x＋23sinxcosx＝1＋cos2x＋3sin2x＝1＋2sin（2x＋π6）所以f（π3）＝1＋2sin（2π3＋π6）＝1＋2sin5π6＝（2）由f（α2）＝115，α∈（0，π3），得sin（α＋π6）＝35，cos（α＋所以cosα＝cos［（α＋π6）－π6］＝cos（α＋π6）cosπ6＋sin（α＋π6）14.（2024·安慶期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α（π6＜α＜π2）的頂點是坐標(biāo)原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓O交于點A（x1，y1），將角α的終邊繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)π3，交單位圓O于點B（x2，y（1）若x1＝35，求x2的值（2）分別過A，B向x軸作垂線，垂足分別為C，D，記△AOC，△BOD的面積分別為S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小.解：（1）由已知得cos