第2節(jié)用樣本的數(shù)字特征估計總體高中總復習·數(shù)學課標要求（1）能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）、離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解集中趨勢參數(shù)和離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；（2）能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義；（3）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.目錄CONTENTS知識點一總體百分位數(shù)的估計01.知識點二總體集中趨勢的估計02.知識點三總體離散程度的估計03.課時跟蹤檢測04.PART01知識點一總體百分位數(shù)的估計定義意義百

分位

數(shù)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組

數(shù)據(jù)中

有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且

至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值反映該組數(shù)中小

于或等于該百分

位數(shù)的分布特點至少

2.

求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步：計算i＝

?；第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)

據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).n×p%

（1）（2024·新余二模）一個容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，

2，5，10，16，7，18，21，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為

（

C

）A.9B.10C.13D.16

C（2）某校從參加高一物理期末考試的學生中隨機抽出60名，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六組：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由此估計此次高一物理期末考試成績的第75百分位數(shù)為

?.82

練1（1）（2025·唐山模擬）某校高三年級一共有1

200名同學參加數(shù)學

測驗，已知所有學生成績的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學成績不小于103

分的人數(shù)至少為（

B

）A.220B.240C.250D.300解析：

∵1

200×80%＝960，∴小于103分的學生最多有960人，則數(shù)

學成績不小于103分的學生至少有1

200－960＝240（人）.B（2）若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位數(shù)是

4.5，則實數(shù)x的取值范圍是

?.解析：

因為8×65%＝5.2，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6個數(shù)

據(jù)為4.5，所以應該有5個數(shù)據(jù)不大于4.5，則x≥4.5.[4.5，＋∞）PART02知識點二總體集中趨勢的估計名稱概念平均

數(shù)（1）平均數(shù)：如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么

（x1＋x2＋…

＋xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用

表示，即

＝

?

?；（2）加權(quán)平均數(shù)：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k

（k≤N）個.不妨記為y1，y2，…，yk，其中yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi

（i＝1，2，…，k），則加權(quán)平均數(shù)為

＝

fiyi

＋…＋xn）

名稱概念中位

數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在

?

的一個數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)）或最中間兩個數(shù)據(jù)的

?

（數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應的樣本數(shù)

據(jù)）叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)最中間

平均數(shù)

（2）頻率分布直方圖中的常見結(jié)論①眾數(shù)的估計值為最高矩形底邊的中點對應的橫坐標；②平均數(shù)的估計值

等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之

和；③中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

（1）某射擊運動員進行打靶練習，已知打十槍每發(fā)的環(huán)數(shù)分別為9，

10，7，8，10，10，6，8，9，7，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為

c，則有（

D

）A.

a＞b＞cB.

c＞a＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞aD

（2）（2024·新高考Ⅱ卷4題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上

種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950）[950，1

000）[1

000，1

050）[1

050，1

100）[1

100，1

150）[1

150，1

200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

C

）CA.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1

050

kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1

100

kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200

kg至300

kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900

kg至1

000

kg之間

規(guī)律方法1.

求平均數(shù)時要注意數(shù)據(jù)的個數(shù)，不要重計或漏計.2.

求中位數(shù)時一定要先對數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個數(shù)據(jù)，則中位

數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.

若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)

據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù).提醒

中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平、多數(shù)水平，平均數(shù)反

映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需要根據(jù)實際需求選擇使用.練2（1）下表是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物（PM2.5）的觀

測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，則下列數(shù)字特征沒

有改變的是（

C

）A.

極差B.

中位數(shù)C.

眾數(shù)D.

平均數(shù)C

（2）（2025·晉中模擬）人工智能聊天機器人，不僅能流暢對話，還能

寫詩、撰文、編碼等.一經(jīng)推出，便受到廣泛關(guān)注，并產(chǎn)生了豐富的社會

應用.某調(diào)查機構(gòu)為了解大學生使用聊天機器人的情況，對8所高校進行了

調(diào)查，其中6所學校給出了使用的學生占比，將數(shù)據(jù)從小到大依次排列為

71%，75%，77%，80%，82%，85%，另外兩所學校未給出調(diào)查數(shù)據(jù)，那

么這8所學校使用的學生比例的中位數(shù)不可能是（

D

）A.76%B.77.5%C.80%D.81.5%D

PART03知識點三總體離散程度的估計1.

標準差與方差

2.

總體方差和總體標準差

（2）加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，

不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i＝1，2，…，k），

則總體方差為S2＝

?.

結(jié)論

（1）數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x'1＝x1＋a，x'2＝x2＋a，…，x'n＝

xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；（2）若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b

的方差為a2s2.

（1）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某區(qū)舉辦了團課知識

競賽，甲、乙兩所中學各派5名學生參加，兩隊學生的競賽成績?nèi)鐖D所

示，下列關(guān)系完全正確的是（

B

）BA.

＜

，

＝

B.

＝

，

＞

C.

＞

，

＝

D.

＝

，

＜

A.1B.2C.2.5D.2.75C

規(guī)律方法

標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差

越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散

程度越小，越穩(wěn)定.練3（1）（蘇教必修二P257練習3題改編）若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，

x10的標準差為4，則數(shù)據(jù)1－2x1，1－2x2，1－2x3，…，1－2x10的標準差

為（

B

）A.4B.8C.16D.64B解析：

設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)y1，

y2，…，yn（其中yi＝axi＋b，i＝1，2，…，n）的方差s'2＝a2s2.由題

意，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x10的方差為16，所以1－2x1，1－2x2，1－

2x3，…，1－2x10的方差為（－2）2×16＝64，即標準差為8.（2）慢走是一種既簡單又健康的鍛煉方式，它不僅可以幫助減肥，還可

以增強心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.小南計劃近6個月的月慢走里程

（單位：公里）按從小到大排列依次為11，12，m，n，20，27，且這6個

月的月慢走里程的中位數(shù)為16，若要使這6個月的月慢走里程的標準差最

小，則m＝（

C

）A.14B.15C.16D.17C

提能點分層隨機抽樣的平均數(shù)（均值）與方差

某工廠新、舊兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量比為7∶3，為了解該工廠生產(chǎn)的一批

產(chǎn)品的質(zhì)量情況，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從兩條生產(chǎn)線抽取

樣本并計算得：新生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標的均值為10，方差為1；

舊生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標的均值為9，方差為2，據(jù)此估計該批產(chǎn)品

的質(zhì)量指標的均值為

；方差為

?.

9.71.51規(guī)律方法計算分層隨機抽樣的方差的步驟

練4

（1）（2024·鷹潭一模）某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機

抽樣的方法從800名職工中抽取了一個容量為80的樣本.其中，男性平均體

重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)

之比為5∶3，則該單位職工體重的方差為（

D

）A.166B.167C.168D.169

D（2）已知15個數(shù)x1，x2，…，x15的平均數(shù)為6，方差為9，現(xiàn)從中剔除

x1，x2，x3，x4，x5這5個數(shù)，且剔除的這5個數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則

剩余的10個數(shù)x6，x7，…，x15的方差為

?.8

PART04課時跟蹤檢測12345678910111213141516一、單項選擇題1.

已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（

）A.

這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.

把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.

把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.

把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)解析：

因為100×75%＝75，為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項均不正確，故選C.

√2.

（2025·湖南長郡中學模擬）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)

和標準差均為4，則數(shù)據(jù)－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均數(shù)與方差

分別為（

）A.

－5，4B.

－5，16C.4，16D.4，4解析：

由題意知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)和標準差均為4，

則x1，x2，…，x100的方差為16，則－x1，－x2，…，－x100的平均數(shù)為－

4，方差為（－1）2×16＝16，故－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均

數(shù)為－4－1＝－5，方差16，故選B.

√123456789101112131415163.

某校高一年級開設(shè)了校本課程，現(xiàn)從甲、乙兩班各隨機抽取了5名學生

校本課程的學分，統(tǒng)計如下表所示，s1，s2分別表示甲、乙兩班抽取的5名

學生校本課程學分的標準差，則（

）甲811141522乙67102324A.

s1＞s2B.

s1＜s2C.

s1＝s2D.

s1，s2的大小不能確定√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·菏澤一模）某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員

某日隨機抽取了100個該配件的質(zhì)量指標值（單位：分）作為一個樣本，

得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值作代表）（

）A.

m＝0.3B.

樣本質(zhì)量指標值的平均數(shù)為75C.

樣本質(zhì)量指標值的眾數(shù)大于其平均數(shù)D.

樣本質(zhì)量指標值的第75百分位數(shù)為85√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

n＝mB.

n≥m

C.

n＜mD.

n＞m√123456789101112131415166.

（2024·廈門二模）已知樣本2，1，3，x，4，5（x∈R）的平均數(shù)等

于60%分位數(shù)，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)是（

）A.0B.1

C.2D.3√123456789101112131415167.

四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子向上的點數(shù)，根據(jù)四名同學

的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（

）A.

平均數(shù)為2，方差為2.4B.

中位數(shù)為3，方差為1.6C.

中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D.

平均數(shù)為3，中位數(shù)為2√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題8.

（2023·新高考Ⅰ卷9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最

小值，x6是最大值，則（

）A.

x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.

x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.

x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D.

x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2024·寧波“十?！甭?lián)考）已知一組樣本數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，3，…，

10）均為正實數(shù)，滿足x1≤x2≤x3≤…≤x10，下列說法正確的是（

）A.

樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為x8B.

去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C.

若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣

本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D.

若樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝

－4，則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

（2025·濟南模擬）某射擊運動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為

整數(shù)）形成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為

3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

?.

7.81234567891011121314151611.

某年級120名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.

將測試結(jié)果分成5組：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），

[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的

面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70%分位數(shù)約為

秒.

16.5

1234567891011121314151612.

（2025·孝感模擬）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個數(shù)，其平均數(shù)為8，方

差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個未知的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已

知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為

?.

13.612345678910111213141516四、解答題13.

一家水果店的店長為了解本店荔枝的日銷售情況，安排兩位員工分別

記錄并整理了6月份上、下半月荔枝的日銷售量（單位：千克）.結(jié)果如

下：（已按從小到大的順序排列）上半月：55

70

75

80

80

84

84

85

86

89

91

94

96

99

104下半月：74

75

83

85

85

87

93

94

97

99

101

102

107

107

11712345678910111213141516（1）請計算該水果店6月份荔枝日銷量的中位數(shù)、極差；解：

將所有數(shù)據(jù)從小到大排列：55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，

91，93，94，94，96，97，99，99，101，102，104，107，107，117，中位數(shù)為第15，16個數(shù)的平均數(shù)，即（87＋89）÷2＝88，極差為117－55＝62.12345678910111213141516（2）一次進貨太多，賣不完的荔枝第二天就會不新鮮；進貨太少，又不

能滿足顧客的需求，店長希望在荔枝銷售期間，每天的荔枝盡量新鮮，又

能有80%的天數(shù)可以滿足顧客的需求.請問：每天應該進多少千克荔枝？

1234567891011121314151614.

某網(wǎng)絡(luò)公司為了提升服務質(zhì)量，從會員庫中隨機抽取n名會員進行線

上問卷調(diào)查，將會員的評分（滿分10分）從低到高分為四個等級：會員評分[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）[9，10]滿意等級不滿意一般滿意非常滿意并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在[7，8）的會員數(shù)為

40人.12345678910111213141516（1）求樣本容量n及頻率分布直方圖中的t值；

12345678910111213141516

（2）若該公司以抽取的樣本為參考，每組數(shù)據(jù)以該組評分的區(qū)間中點值

為代表進行評估.12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

15.

〔多選〕（2025·廣東一模）現(xiàn)有十個點的坐標為（x1，0），（x2，

0），…，（x10，0），它們分別與（y1，10），（y2，10），…，（y10，

10）關(guān)于點（3，5）對稱，已知x1，x2，…，x10的平均數(shù)為