北師大版·九年級(jí)上冊(cè)1.3正方形的性質(zhì)與判定

第1課時(shí)

第一章

特殊平行四邊形學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)1.理解正方形的定義；2.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問題.（難點(diǎn)）知識(shí)回顧平行四邊形菱形矩形對(duì)稱性邊角對(duì)角線中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊都相等對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等互相平分對(duì)角線互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)：情境引入

上面這些物品都是正方形的。正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無(wú)處不在.問題1：觀察下面的物體，你有什么發(fā)現(xiàn)？情境引入問題2：圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？

正方形是如何定義的呢？結(jié)合我們剛復(fù)習(xí)的平行四邊形、矩形、菱形，大家覺得正方形和它們有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？1.準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，得到一個(gè)四邊形.做一做矩形展開新知探究

探究一：正方形的定義問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？正方形2.把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.菱形新知探究問題2：經(jīng)過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？正方形你能總結(jié)出正方形的定義嗎？新知探究正方形的定義:知識(shí)歸納有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=AD，∠A=90°，∴四邊形ABCD是正方形.ADCB新知探究已知四邊形ABCD是平行四邊形，若要使它成為正方形，則需要增加的條件是（

）?A.AB=BC且∠A=90°?B.AB=CD且∠A=90°?C.AB∥CD且AB=BC?D.AB∥CD且∠A=90°ADCBA新知探究

探究二：正方形的性質(zhì)正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì).（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認(rèn)為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流.議一議定理1：正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.定理2：正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.請(qǐng)完成這兩個(gè)定理的證明.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等，四個(gè)角都是直角.ADCB新知探究證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC

（正方形的定義）. 又∵正方形ABCD是平行四邊形. ∴正方形ABCD是矩形（矩形的定義）,

正方形ABCD是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.1.求證：正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO新知探究證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO.

∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.2.求證：正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.新知探究知識(shí)歸納正方形的性質(zhì)定理：定理1：正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.定理2：正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D,AB=BC=CD=AD.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD，AC=BD,OA=OB=OC=OD.ABCDO2.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法不正確的是(

)A．AC⊥BD

B．AD＝AOC．DO＝CO

D．∠DAO＝∠BAC新知探究B

請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.

正方形是不是軸對(duì)稱圖形?如果是,那么對(duì)稱軸有幾條?想一想ABCD新知探究新知探究正方形的對(duì)稱性：知識(shí)歸納正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.正方形有4條對(duì)稱軸.新知探究議一議

平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個(gè)圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系：平行四邊形矩形菱形正方形正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.新知探究平行四邊形正方形矩形有一組鄰邊相等菱形有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等概念拓展新知探究3.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（

）

A．對(duì)角線互相平分

B．對(duì)角線互相垂直

C．對(duì)角線相等

D．對(duì)角線互相垂直且相等A

如圖，在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.例1ABDCFE典例分析解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.典例分析ABDCFEM(2)延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M(如圖),∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°,

∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.

如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.例2典例分析證明：∵

△BEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個(gè)角相等B.對(duì)角線互相垂直平分

C.對(duì)角互補(bǔ)D.對(duì)角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直平分C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等BD3.如圖，一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)便得到正方形．a(chǎn)．兩組對(duì)邊分別相等；b.一組對(duì)邊平行且相等；c.一組鄰邊相等；d.有一個(gè)角是直角．順次添加的條件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c.則其中正確的是(

)A．僅①

B．①②

C．①③

D．②③鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題C4.一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2AADBCOE6.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.5．在正方形ABC中,∠ADB=

，∠DAC=

，∠BOC=

.ADBCO鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題45°90°22.5°45°7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.

8.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)是正方形的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF＝1，EF＝2，求四邊形BEDF的周長(zhǎng)．鞏固練習(xí)基礎(chǔ)鞏固題解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四邊形BEDF為平行四邊形．又∵BD⊥EF，∴四邊形BEDF為菱形．∴DE＝DF＝BE＝BF.課堂小結(jié)正方形的性