20222023學(xué)年小學(xué)六年級思維拓展舉一反三精編講義專題24牛吃草問題知識精講知識精講牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡單，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了。因?yàn)椴菝刻熳咴谏L，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。解答這類題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L，所以每天新長出的草是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天長出的草，問題就容易解決了。典例分析典例分析【典例分析01】一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化，解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來的草的數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數(shù)量也是不變的。假設(shè)1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份，那么27頭牛6周需要吃27×6=162（份），此時(shí)新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23×9=207（份），此時(shí)新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數(shù)量與6周新長出的草的數(shù)量的總和；207份是原有的草的數(shù)量與9周新長出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長出的草的份數(shù)為：（207162）÷（96）=15（份），所以，原有草的數(shù)量為：16215×6=72（份）。這片草地每周新長草15份相當(dāng)于可安排15頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供21頭牛吃72÷（2115）＝12（周）【典例分析02】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少，但是，我們同樣可以利用與例1類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份，20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，10090=10（份），說明寒冷的天氣使牧場1天減少青草10份，也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛同時(shí)在吃草，所以原有草兩有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧場原有的草可供15頭牛吃10天。由寒冷導(dǎo)致的原因占去10頭牛吃的草，所以可供5頭牛吃10天?！镜淅治?3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結(jié)果男孩用5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？與前兩個(gè)題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“?！弊兂闪恕八俣取保部梢钥闯墒桥３圆輪栴}。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5=100（級），女孩6分鐘走了15×6=90（級），女孩比男孩少走了100—90=10（級），多用了6—5=1（分鐘），說明電梯1分鐘走10級。因男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（級）【典例分析04】一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想2小時(shí)舀完，需要多少人？已漏進(jìn)的水，加上3小時(shí)漏進(jìn)的水，每小時(shí)需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小時(shí)才能舀完。已漏進(jìn)的水，加上10小時(shí)漏進(jìn)的水，每小時(shí)需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小時(shí)才能舀完。通過比較，我們可以得出1小時(shí)內(nèi)漏進(jìn)的水及船中已漏進(jìn)的水。1小時(shí)漏進(jìn)的水，2個(gè)人用1小時(shí)能舀完：（5×10—12×3）÷（10—3）=2已漏進(jìn)的水：（12—2）×3=30已漏進(jìn)的水加上2小時(shí)漏進(jìn)的水，需34人1小時(shí)完成：30+2×2=34用2小時(shí)來舀完這些水需要17人：34÷2=17（人）【典例分析05】有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少天？前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個(gè)水池中，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即[5，6，8]=120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120÷5=24，變?yōu)?20公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120÷6=20，變?yōu)?20公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。120÷8=15。問題變成：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛齒及天？即每天新長出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）可供285頭牛吃的時(shí)間：840÷（285—180）=8（天）答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）（2021?泰安模擬）一片牧場，牧草每天生長的速度相同，已知這片牧草可供10頭羊吃20天，或可供15頭羊吃10天．那么這片牧草可供30頭羊吃（）天．A．6 B．5 C．4 D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，設(shè)每頭羊每天吃“1”份草，先求出牧場每天的長草量，再求出牧場原有的草量，由此即可算出這片牧草可供30頭羊吃的天數(shù)．【規(guī)范解答】解：設(shè)每頭羊每天吃“1”份草，每天新生草量為：（10×20﹣15×10）÷（20﹣10），＝（200﹣150）÷10，＝50÷10，＝5（份）；原有草量為：20×10﹣5×20＝100（份），30頭羊吃的天數(shù)：100÷（30﹣5），＝100÷25，＝4（天）；答：這片牧草可供30頭羊吃4天，故選：C．【考點(diǎn)評析】此題屬于典型的牛吃草的最基本類型的題目，只要設(shè)出每頭羊每天吃“1”份草，求出牧場每天的長草量和牧場原有的草量，問題即可解決．2．（2分）（2020?泰安）商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級，女孩每2秒鐘向上走3個(gè)梯級．結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)．則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級有（）A．80級 B．100級 C．120級 D．140級【思路點(diǎn)撥】上樓的速度可以分為兩部分：一部分是兩個(gè)孩子自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度．男孩40秒鐘走了40×2＝80（級），女孩50秒鐘走了3×（50÷2）＝75（級），女孩比男孩少走了80﹣75＝5（級），多用了50﹣40＝10（秒），說明電梯10秒鐘走5級，即1秒鐘走0.5級．由男孩40秒鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（0.5+2）×40＝100（級），據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：電梯每秒鐘走的級數(shù)：[40×2﹣3×（50÷2）]÷（50﹣40）＝5÷10＝0.5（級）電梯的總級數(shù)：（0.5+2）×40＝2.5×40＝100（級）答：當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級有100級．故選：B?！究键c(diǎn)評析】此題當(dāng)作牛吃草問題來解決，上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度．3．（2分）（2009?廣州校級自主招生）一片青草地，每天都勻速長出青草，這片草地可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃（）周．A．6 B．9 C．12 D．15【思路點(diǎn)撥】假設(shè)每頭牛每周吃青草1份，先求出青草的生長速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝15（份）；然后求出草地原有的草的份數(shù)27×6﹣15×6＝72（份）；再讓21頭牛中的15頭吃生長的草，剩下的6頭牛吃草地原有的72份草，可吃：72÷6＝12（周）．【規(guī)范解答】解：假設(shè)每頭牛每周吃青草1份，青草的生長速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6），＝45÷3，＝15（份）；草地原有的草的份數(shù)：27×6﹣15×6，＝162﹣90，＝72（份）；每周生長的15份草可供15頭牛去吃，那么剩下的21﹣15＝6頭牛吃72份草：72÷（21﹣15），＝72÷6，＝12（周）；答：這片草地可供21頭牛吃12周．故選：C．【考點(diǎn)評析】牛吃草的問題關(guān)鍵的是求出青草的生長速度和草地原有的草的份數(shù)．4．（2分）（2018?東莞市）有一滿水池，池底有泉水不斷涌出，每分鐘涌出的水量相等，用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部抽水機(jī)10小時(shí)可以把水抽干，那么用25部同樣的抽水機(jī)（）小時(shí)可以把水抽干．A．5 B．6 C．7 D．8【思路點(diǎn)撥】設(shè)每部抽水機(jī)每小時(shí)能抽泉水1份，每小時(shí)涌出的泉水量為：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）＝5（份）；泉中原有的水量為：20×10﹣20×5＝100（份）；25部抽水機(jī)拿出5部抽每小時(shí)涌出的5份的泉水，剩下的20臺抽泉中原有的水量，所需時(shí)間為：100÷20＝5（小時(shí)），即為所求問題．【規(guī)范解答】解：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）＝50÷10＝5（份）20×10﹣20×5＝200﹣100＝100（份）100÷（25﹣5）＝100÷20＝5（小時(shí)）答：用25臺這樣的抽水機(jī)5小時(shí)可以把水抽干．故選：A?！究键c(diǎn)評析】本題是典型的牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度（本題相當(dāng)于每小時(shí)涌出水的水量）和草地原有的份數(shù)（本題相當(dāng)于泉中原有的水量）．5．（2分）（2017?長沙）有20個(gè)玩具被丟在地板上，小紅媽媽每30秒把3個(gè)玩具從地板上放到玩具盒里，但30秒一過，小紅就從玩具盒拿出兩個(gè)玩具，那么小紅和她媽媽需要（）秒才能把20個(gè)玩具都放到玩具盒中．A．510 B．540 C．570 D．600【思路點(diǎn)撥】由于30秒一過，小紅就從玩具盒拿出兩個(gè)玩具，相當(dāng)于媽媽每個(gè)30秒只放到筐里3﹣2＝1個(gè)玩具，由于第一次小紅不再從玩具盒拿出兩個(gè)玩具，所以前20﹣3＝17個(gè)玩具，需要17÷1＝17個(gè)30秒，然后再加上最后一個(gè)30秒即可．【規(guī)范解答】解：（20﹣3）÷（3﹣2）×30+30＝17÷1×30+30＝510+30＝540（秒）答：小紅和她媽媽需要540秒才能把20個(gè)玩具都放到玩具盒中．故選：B?！究键c(diǎn)評析】本題類似于牛吃草問題，關(guān)鍵是求出前20﹣3＝17個(gè)玩具需要的時(shí)間．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）（2018?長沙）有一牧場，牧草每天勻速生長，可供9頭牛吃12天；可供8頭牛吃16天．現(xiàn)在開始只有4頭牛吃，從第7天開始又增加了若干頭牛，再用6天吃光所用的草，問增加了10頭牛．【思路點(diǎn)撥】設(shè)每頭牛每天吃一份的草，根據(jù)“可供9頭牛吃12天，可供8頭牛吃16天”，草的生長速度為：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）＝5份，原有草的份數(shù)為：12×9﹣5×12＝48份，4頭牛前6天一共吃了：4×6＝24份，還剩下48+5×6﹣24＝54份，后六天一共吃的草的份數(shù)為：54+5×6＝84份，6天吃完所有草需要牛的頭數(shù)是：84÷6＝14頭，增加了14﹣4＝10頭牛．據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)每頭牛每天吃一份的草，草的生長速度為：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）＝20÷4＝5（份）原有草的份數(shù)為：12×9﹣5×12＝108﹣60＝48（份）4頭牛前6一共吃了：4×6＝24（份）還剩下：48+5×6﹣24＝54（份）后六天一共吃的草的份數(shù)為：54+5×6＝84（份）增加牛的頭數(shù)是：84÷6﹣4＝10（頭）．答：增加了10頭牛．故答案為：10．【考點(diǎn)評析】本題是一道復(fù)雜的牛吃草問題，關(guān)鍵是求出草的生長速度和原有草的份數(shù)．7．（2分）（2022?鄭州）某火車站的檢票口在檢票開始前已經(jīng)有人在排隊(duì)，檢票開始后平均每分鐘有10人來排隊(duì)等候檢票。一個(gè)檢票口每分鐘平均能讓25人檢票進(jìn)站。如果只開一個(gè)檢票口，那么檢票開始8分鐘后就可以無人排隊(duì)；如果開兩個(gè)檢票口，那么開始檢票3分鐘后就暫時(shí)無人排隊(duì)了?！舅悸伏c(diǎn)撥】牛吃草問題公式：原有草量＝（牛數(shù)﹣每天長草量）×天數(shù)，在本題中，總?cè)藬?shù)是（25﹣10）×8，進(jìn)而求出開兩個(gè)檢票口需要的檢票時(shí)間即可。【規(guī)范解答】解：（25﹣10）×8＝15×8＝120（人）120÷（2×25﹣10）＝120÷40＝3（分鐘）答：開始檢票3分鐘后就暫時(shí)無人排隊(duì)了。故答案為：3?！究键c(diǎn)評析】此題主要考查了牛吃草問題，要熟練掌握。8．（2分）（2019?邯鄲）草場上有一片均勻生長的草，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，則可供21頭牛吃12周。【思路點(diǎn)撥】假設(shè)每頭牛每周吃青草1份，根據(jù)“可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周”先求出青草的增加的速度；然后求出草地原有的草的份數(shù)；然后進(jìn)一步解答即可?！疽?guī)范解答】解：假設(shè)每頭牛每周吃青草1份，青草增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝45÷3＝15（份）原有的草的份數(shù)：27×6﹣6×15＝162﹣90＝72（份）可供21頭牛吃：72÷（21﹣15）＝72÷6＝12（周）答：這個(gè)草場的草可供21頭牛吃12周。故答案為：12周?！究键c(diǎn)評析】本題考查了牛吃草的問題，關(guān)鍵的是求出青草的每周增加的速度（份數(shù)）和草地原有的草的份數(shù)。9．（2分）（2019?長沙）青青草原上有一片青草，每天牧草都勻速生長，這片牧場可供10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10天，那么這片牧草可供7只羊吃50天．【思路點(diǎn)撥】總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分．牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的．即：（1）根據(jù)牧草可供10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10天，計(jì)算出每天新長出的草量夠一只羊吃的天數(shù)：（10×20﹣15×10）÷（20﹣10）＝5（天），也可以說是5只羊吃1天．（2）假定其中5只羊?qū)３孕麻L出的草，由剩下的羊吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量．原有的草夠1頭羊吃的天數(shù)：10×20﹣5×20＝100（天）（3）讓5只羊?qū)３孕麻L出的草，其余的羊吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天．【規(guī)范解答】解：設(shè)1只羊1天吃的草為單位“1“，由條件可知，每天生長的草夠1頭羊吃的天數(shù)：（10×20﹣15×10）÷（20﹣10）＝50÷10＝5（只）原有的草夠1頭羊吃的天數(shù)：10×20﹣5×20＝200﹣100＝100（天）7只羊分成分成兩部分，5只吃新草，2只吃原來的草，可吃天數(shù)：100÷（7﹣5）＝100÷2＝50（天）答：這些草可供7只羊吃50天．故答案為：50．【考點(diǎn)評析】解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題中所求的問題．10．（2分）（2022?龍崗區(qū)）樂樂媽媽手機(jī)通常一直開著。如果她手機(jī)開著而不通話，電池可維持24小時(shí)：如果她連續(xù)使用手機(jī)通話，電池只能持續(xù)3小時(shí)，從她最后一次充滿電算起，她手機(jī)已經(jīng)持續(xù)開機(jī)9小時(shí)，在這段期間內(nèi)，她通話用了60分鐘。如果她不再使用手機(jī)通話，而讓手機(jī)持續(xù)開著，該手機(jī)還能再持續(xù)待機(jī)8個(gè)小時(shí)?！舅悸伏c(diǎn)撥】”手機(jī)只要是開著，無論是否通話都要耗電“。所以設(shè)手機(jī)每小時(shí)耗電1份，電池存電量為24×1＝24份，純通話1小時(shí)的耗電量為（24﹣1×3）÷3＝7份，當(dāng)然這段時(shí)間，即1小時(shí)手機(jī)耗電1份；故9小時(shí)里面就包括了通話1小時(shí)手機(jī)耗電的那1份了。綜上可知：她手機(jī)已經(jīng)持續(xù)開機(jī)9小時(shí)，在這段期間內(nèi)，她已經(jīng)用了60分鐘來通話，電池還儲存的電量為24﹣7﹣9＝8份，這樣便可求出手機(jī)還能維持的時(shí)間為8÷1＝8小時(shí)?！疽?guī)范解答】解：設(shè)手機(jī)每小時(shí)耗電為1份，則24×1﹣3×1＝21（份）21÷3＝7（份）24﹣7﹣9＝8（份）8÷1＝8（小時(shí)）答：該手機(jī)還能再持續(xù)待機(jī)8個(gè)小時(shí)。故答案為：8?！究键c(diǎn)評析】此題解答的關(guān)鍵就是要明白：1：通話時(shí)的耗電量由2部分組成；2：9小時(shí)的耗電量中包括了通話1小時(shí)的耗電量。11．（2分）（2021秋?高陽縣期末）某種細(xì)胞每30分鐘就能由1個(gè)分裂成3個(gè)，經(jīng)過2小時(shí)這種細(xì)胞由1個(gè)分裂成81個(gè)?！舅悸伏c(diǎn)撥】每過30分鐘便由1個(gè)細(xì)胞分裂成3個(gè)細(xì)胞，經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，也就是4個(gè)30分鐘，那么細(xì)胞可以分成的個(gè)數(shù)是34個(gè)?！疽?guī)范解答】解：2小時(shí)＝120分鐘某種細(xì)胞每過30分鐘便由1個(gè)細(xì)胞分裂成3個(gè)細(xì)胞，30分鐘后有細(xì)胞3個(gè)；60分鐘后有細(xì)胞32＝9（個(gè)）；90分鐘后有細(xì)胞33＝27（個(gè)）；120分鐘后有細(xì)胞34＝81（個(gè)）答：經(jīng)過2小時(shí)這種細(xì)胞由1個(gè)分裂成81個(gè)。故答案為：81?！究键c(diǎn)評析】解決本題找出細(xì)胞分裂的規(guī)律是關(guān)鍵，結(jié)合乘方的意義求解。12．（2分）（2019?長沙）某島國的一家銀行每天9：00﹣17：00營業(yè)，正常情況下，每天9：00準(zhǔn)備現(xiàn)金50萬元，假設(shè)每小時(shí)的提款量都一樣，每小時(shí)的存款量也都一樣，到17：00下班時(shí)有現(xiàn)金60萬元．如果每小時(shí)的提款量是正常情況的4倍，而存款量不變的話，14：00銀行就沒有現(xiàn)金了．如果每小時(shí)提款量是正常情況的10倍，而存款量減少到正常情況一半的話，要使17：00下班時(shí)銀行還有現(xiàn)金50萬元，那么9：00開始營業(yè)時(shí)需要準(zhǔn)備現(xiàn)金330萬【思路點(diǎn)撥】從9：00到17：00共計(jì)8個(gè)小時(shí)，現(xiàn)金從50萬元增加到60萬元，增加了10萬元，所以每小時(shí)存款量比取款量多10÷8＝1.25（萬元）；從9：00到14：00共計(jì)5個(gè)小時(shí)，每個(gè)小時(shí)的提款量是正常情況的4倍，而存款量不變，這5個(gè)小時(shí)中每小時(shí)提款量比存款量多50÷5＝10（萬元）．所以正常情況下每小時(shí)的提款量為：（10+1.25）÷（4﹣1）＝3.75（萬元），存款量為3.75+1.25＝5（萬元）．如果每小時(shí)提款量是正常情況的10倍，即每小時(shí)提款3.75×10＝37.5（萬元），存款量減少到正常情況一半，即每小時(shí)存款5÷2＝2.5（萬元），則銀行每小時(shí)減少存款37.5﹣2.5＝35（萬元），8個(gè)小時(shí)共減少35×8＝280（萬元）開始時(shí)要準(zhǔn)備現(xiàn)金50+280＝330（萬元）．【規(guī)范解答】解：9：00﹣17：00是8個(gè)小時(shí)，9：00﹣14：00是5個(gè)小時(shí)（60﹣50）÷8＝10÷8＝1.25（萬元/時(shí)）50÷5＝10（萬元/時(shí)）提款速度為：（10+1.25）÷（4﹣1）＝11.25÷3＝3.75（萬元/時(shí)）需要準(zhǔn)備現(xiàn)金：（3.75×10﹣5÷2）×8+50＝（37.5﹣2.5）×8+50＝35×8+50＝280+50＝330（萬元）答：開始營業(yè)時(shí)需要準(zhǔn)備現(xiàn)金330萬．【考點(diǎn)評析】根據(jù)條件求出正常情況下的存款速度和提款速度是解決本題的關(guān)鍵．13．（2分）（2017?中山區(qū)）有一片草場，草每天的生長速度相同．若14頭牛30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完（4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量）．那么17頭牛和20只羊10天可將草吃完．【思路點(diǎn)撥】先轉(zhuǎn)化，都轉(zhuǎn)化成?；蜓?，有一片草地，草每天的生長速度相同，若56只羊30天可將草吃完，70只羊16天也可將草吃完那么，88只羊多少天可將草吃完？根據(jù)牛吃草問題的基本公式：生長量＝（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)﹣較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間﹣短時(shí)間）；總草量＝較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)﹣較長時(shí)間×生長量，再解答即可．【規(guī)范解答】解：（56×30﹣70×16）÷（30﹣16）＝（1680﹣1120）÷14＝560÷14＝40（56﹣40）×30÷（88﹣40）＝16×30÷48＝480÷48＝10（天）故答案為：10．【考點(diǎn)評析】解答這類問題，一定要理清題里存在的數(shù)量關(guān)系，靈活選用合適的方法進(jìn)行計(jì)算即可．三．應(yīng)用題（共7小題，滿分35分，每小題5分）14．（5分）（2021?江北區(qū)校級開學(xué)）兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走，在15秒鐘里，男孩可走12級梯級，女孩可走10級梯級，結(jié)果男孩走了3分鐘到達(dá)另一端，女孩走了4分鐘到達(dá)另一端，該扶梯共多少級？【思路點(diǎn)撥】由題意可知，男孩3分鐘即180秒走了（180÷15）×12＝144（級），女孩4分鐘即240秒走了（240÷15）×10＝160（級），女孩比男孩多走了160﹣144＝16（級），多用了1分鐘，說明扶梯每分鐘自動下降16級。男孩共走了144級，這144級包含扶梯的級數(shù)和3分鐘扶梯自動降下的級數(shù)。女孩共走了160級，這160級包含扶梯的級數(shù)和4分鐘扶梯自動降下的級數(shù)．扶梯的級數(shù)是：144﹣16×3＝96（級）?！疽?guī)范解答】解：4分鐘＝240秒3分鐘＝180秒電動扶梯每分鐘走：[（240÷15）×10﹣（180÷15）×12]÷（4﹣3）＝160﹣144＝16（級）電動扶梯共有：（180÷15）×12﹣16×3＝144﹣48＝96（級）答：該扶梯共96級。【考點(diǎn)評析】根據(jù)兩人所走的級數(shù)及所用時(shí)間，求出扶梯每秒自動下降的級數(shù)是完成本題的關(guān)鍵。15．（5分）（2022?江津區(qū)模擬）春運(yùn)高峰，售票窗口早早地排好了隊(duì)，陸續(xù)還有人均勻的來購票，假如開設(shè)5個(gè)售票窗口，30分鐘可緩解排隊(duì)現(xiàn)象，如果開設(shè)6個(gè)售票窗口，那么20分鐘才能緩解排隊(duì)現(xiàn)象?，F(xiàn)在要求1分鐘緩解排隊(duì)現(xiàn)象。問：應(yīng)該開設(shè)幾個(gè)售票窗口？【思路點(diǎn)撥】設(shè)每個(gè)窗口每分鐘購票的人數(shù)為1份，根據(jù)開設(shè)5個(gè)售票窗口，30分鐘可緩解排隊(duì)現(xiàn)象，用乘法求出30分鐘售票份數(shù)，根據(jù)開設(shè)6個(gè)售票窗口，20分鐘才能緩解排隊(duì)現(xiàn)象，用乘法求出20分鐘售票份數(shù)，再利用份數(shù)差除以時(shí)間差求出每分鐘增加的購票人份數(shù)；然后用5個(gè)窗口30分鐘售票份數(shù)減30分鐘增加的購票人份數(shù)就是原有購票人份數(shù)，最后用（原有購票人份數(shù)+1分鐘增加的購票人份數(shù)）÷1分鐘，可以求出1分鐘緩解排隊(duì)現(xiàn)象需要同時(shí)開設(shè)的窗口數(shù)?！疽?guī)范解答】解：30×5＝15020×6＝12030﹣20＝10（分鐘）（150﹣120）÷10＝3150﹣30×3＝60（60+3×1）÷1＝63（個(gè)）答：1分鐘緩解排隊(duì)現(xiàn)象，應(yīng)該開設(shè)63個(gè)窗口。【考點(diǎn)評析】解答本題的關(guān)鍵是利用兩種情況的份數(shù)差除以時(shí)間差求出每分鐘增加的份數(shù)。16．（5分）（2019?長沙縣）牧場上有一片青草地，每天勻速生長，這片草地可供24頭牛吃6周，或可供18頭牛吃10周，問可供19頭牛吃多少周？【思路點(diǎn)撥】假設(shè)每頭牛每周吃草1份，牧場原有草量和每天增加的草量是不變的，根據(jù)公式：增加量＝（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)﹣較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間﹣短時(shí)間）求出每周增加的量，然后求出草地原有的草的份數(shù)，再根據(jù)牛的數(shù)量算出每周增加的草量即可求出可以吃多少周?！疽?guī)范解答】解：假設(shè)每頭牛每周吃青草1份，青草增加的速度：（18×10﹣24×6）÷（10﹣6）＝36÷4＝9（份/周）草地原有的草的份數(shù)：24×6﹣9×6＝144﹣54＝90（份）19頭牛每周吃19份，每周青草自然增加9份，則：90÷（19﹣9）＝90÷10＝9（周）答：可供19頭牛吃9周。【考點(diǎn)評析】本題主要考查了牛吃草問題，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每周增加草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題中所求的問題。17．（5分）（2019?長沙）第一、二、三號牧場的面積依次為3公頃、5公頃、7公頃，三個(gè)牧場上的草長得一樣密，且生長得一樣快．有兩群牛，第一群牛2天將一號牧場的草吃完，又用5天將二號牧場的草吃完，在這7天里，第2群牛剛好將三號牧場的草吃完．如果第一群牛有15頭，那么第二群牛有多少頭？【思路點(diǎn)撥】15頭牛，2天吃完1號牧場也就是3公頃，15頭牛，5天吃完2號牧場也就是5公頃；因?yàn)橐?jì)算草的生長速度，所以，設(shè)每頭牛吃草速度為每天X公頃，每公頃草的生長速度為每天Y公頃，可得方程：2（15X）＝2（3Y）+3，5（15X）＝7（5Y）+5求解得，X＝0.125，Y＝0.125；所以列第2群牛的方程，就是要設(shè)這群牛有n頭，則方程為：7（0.125n）＝7（7×0.125）+7求解，n＝15所以第2群也是15頭牛．據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】設(shè)每頭牛吃草速度為每天X公頃，每公頃草的生長速度為每天Y公頃可得方程：2×15X＝2×3Y+3，30X＝6Y+330X÷3＝（6Y+3）÷310X＝2Y+1①5×15X＝7×5Y+575X＝35Y+575X÷5＝（35Y+5）÷515X＝7Y+1②由①得：10X×1.5＝（2Y+1）×1.5即為：15X＝3Y+1.5代入②得：3Y+1.5＝7Y+13Y+1.5﹣3Y﹣1＝7Y+1﹣1﹣3Y0.5＝4Y4Y÷4＝0.5÷4Y＝0.125把Y＝0.125代入①得：10X＝2×0.125+110X÷10＝1.25÷10X＝0.125設(shè)第2群牛有n頭，可得方程7×0.125n＝7×7×0.125+77×0.125n÷7÷0.125＝（7×7×0.125+7）÷7÷0.125n＝15答：第二群牛有15頭．【考點(diǎn)評析】本題屬于典型的牛吃草問題，解答時(shí)認(rèn)真分析所給的條件，根據(jù)條件列方程解答即可解決．18．（5分）（2022?中原區(qū)）某火車站的檢票口在檢票開始前已經(jīng)有人在排隊(duì)，檢票開始后平均每分鐘有10人來排隊(duì)等候檢票．一個(gè)檢票口平均每分鐘能讓25人檢票進(jìn)站．如果只開一個(gè)檢票口，那么檢票開始后8分鐘就暫時(shí)無人排隊(duì)了．如果開兩個(gè)檢票口，那么檢票開始后多少分鐘就暫時(shí)無人排隊(duì)了？【思路點(diǎn)撥】因?yàn)槊糠昼娪?0人前來排隊(duì)，所以從開始檢票到?jīng)]人排隊(duì)的8分鐘內(nèi)來了10×8＝80人，8分鐘一共檢票人數(shù)是25×8＝200人，所以原來有200﹣80＝120人排隊(duì)，兩個(gè)窗口同時(shí)檢票，每分鐘可檢票50人，除去每分鐘來的10人，還可以檢已經(jīng)在排隊(duì)的50﹣10＝40人，120÷40＝3分鐘，所以3分鐘就沒人排隊(duì)了．【規(guī)范解答】解：（25×8﹣10×8）÷（50﹣10）＝（200﹣80）÷40＝120÷40＝3（分鐘）答：檢票開始后，3分鐘就沒有人排隊(duì)了．【考點(diǎn)評析】對于這類題目，一定要認(rèn)真審題，理清題里數(shù)量間的關(guān)系，找到解決問題的中間問題就簡單了．19．（5分）（2017?長沙）一個(gè)牧場上的青草每天都勻速生長，這邊青草可供15頭吃24天，或共20頭牛吃14天．現(xiàn)在有一群牛吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原有多少頭？【思路點(diǎn)撥】設(shè)每頭牛每天吃“1”份草，則15頭牛24天吃：15×24＝360份，或供20頭牛吃14天，則吃：20×14＝280份，每天增加的份數(shù)是（360﹣280）÷（24﹣14）＝8份，原有草量是280﹣8×14＝168份；賣掉的4頭2天能吃了：4×2＝8份，則原有的草相當(dāng)于168+8＝176份，有176÷（6+2）＝22頭，然后再加上8頭（即每天增加的8份草，正好需要8頭牛吃）；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)每頭牛每天吃“1”份草．則15頭牛24天吃：15×24＝360份，20頭牛吃14天吃：20×14＝280份每天增加的份數(shù)是：（360﹣280）÷（24﹣14）＝80÷10＝8份原有草量：280﹣8×14＝168份（168+2×4）÷（6+2）＝176÷8＝22（頭）22+8＝30（頭）答：這群牛原有30頭．【考點(diǎn)評析】這是典型的牛吃草問題，利用題中的兩種假設(shè)求出草每天長的份數(shù)和原來草的份數(shù)為本題解答的突破口．20．（5分）（2019?長沙）牧場上有一片青草，每天勻速減少，這片草地可供12頭牛吃10周，或可供8頭牛吃12周。問：可供18頭牛吃多少周？【思路點(diǎn)撥】假設(shè)每頭牛每周吃草1份，牧場原有草量和每天減少的草量是不變的，根據(jù)公式：減少量＝（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)﹣較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間﹣短時(shí)間）求出每天減少的量，然后求出草地原有的草的份數(shù)，再根據(jù)牛的數(shù)量算出每周減少的草量即可求出可以吃多少草?！疽?guī)范解答】解：假設(shè)每頭牛每周吃青草1份，青草減少的速度：（12×10﹣8×12）÷（12﹣10）＝（120﹣96）÷2＝24÷2＝12（份/周）草地原有的草的份數(shù)：12×10+12×10＝120+120＝240（份）18頭牛每周吃18份，每周青草自然減少12份，則：240÷（18+12）＝240÷30＝8（周）答：可供18頭牛吃8周。【考點(diǎn)評析】本題主要考查了牛吃草問題，解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每周減少草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題中所求的問題。四．解答題（共7小題，滿分39分）21．（5分）（2022春?定南縣期中）因天氣漸冷，牧場上的草以固定的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，或可供24頭牛吃6天。照此計(jì)算，這個(gè)牧場可供多少頭牛吃10天？【思路點(diǎn)撥】用33乘5減去24乘6，算出5天比6天多出多少份草；再用多出草的份數(shù)除以（6﹣5），算出青草每天減少多少份；用33乘5加上每天減少的份數(shù)乘5，算出牛吃草前牧場共有草份數(shù)；用共有草的份數(shù)除以10天，再減去每天青草減少份數(shù)，即可求出這個(gè)牧場可供多少頭牛吃10天?！疽?guī)范解答】解：根據(jù)分析可得：青草每天減少：（33×5﹣24×6）÷（6﹣5）＝（165﹣144）÷1＝21（份）牛吃草前牧場有草：165+21×5＝165+105＝270（份）③270÷10﹣21＝27﹣21＝6（頭）答：可供6頭牛吃10天?！究键c(diǎn)評析】本題關(guān)鍵在于計(jì)算出每天減少的草量和原有草量，進(jìn)而解答。22．（5分）（2019?青島模擬）一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機(jī)向外抽水，此時(shí)已漏進(jìn)水600桶．一臺抽水機(jī)每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完．每分鐘漏進(jìn)的水有多少桶？【思路點(diǎn)撥】2部抽水機(jī)1分鐘可以抽出18+14＝32桶水，那么50分鐘就抽出去1600桶水，船體本來有600桶水，那么50分鐘內(nèi)，漏進(jìn)船體的水為1600﹣600＝1000桶水，所以每分鐘漏進(jìn)：1000÷50＝20（桶）．【規(guī)范解答】解：[（18+14）×50﹣600]÷50＝[32×50﹣600]÷50＝[1600﹣600]÷50＝1000÷50＝20（桶）答：每分鐘漏進(jìn)的水有20桶．【考點(diǎn)評析】此題屬于“牛吃草”問題，求出50分鐘內(nèi)漏進(jìn)船體的水量，是解答此題的關(guān)鍵．23．（5分）（2018?長沙）有三塊草地，面積分別是5、15、20畝，草地上的草一樣厚，而且長得一樣快，第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊草地可供多少頭牛吃80天？【思路點(diǎn)撥】這是一道比較復(fù)雜的牛吃草問題．把每頭牛每天吃的草看作1份，因?yàn)榈谝粔K草地5畝面積原有草量+5畝面積30天長的草＝10×30＝300份，所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300÷5＝60份；因?yàn)榈诙K草地15畝面積原有草量+15畝面積45天長的草＝28×45＝1260份，所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是1260÷15＝84份，所以45﹣30＝15天，每畝面積長84﹣60＝24份；則每畝面積每天長24÷15＝1.6份．所以，每畝原有草量60﹣30×1.6＝12份，第三塊地面積是20畝，所以每天要長1.6×20＝32份，原有草就有20×12＝240份，新生長的每天就要用32頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此240÷80＝3頭牛所以，一共需要32+3＝35頭牛來吃．【規(guī)范解答】解：設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份，則每畝30天的總草量為：10×30÷5＝60（份）；每畝45天的總草量為：28×45÷15＝84（份）；那么每畝每天的新生長草量為（84﹣60）÷（45﹣30）＝1.6（份）；每畝原有草量為：60﹣1.6×30＝12（份）；那么20畝原有草量為：12×20＝240（份）；20畝80天新長草量為20×1.6×80＝2560（份）；20畝80天共有草量240+2560＝2800（份）；所以有2800÷80＝35（頭）．答：第三塊地可供35頭牛吃80天．【考點(diǎn)評析】本題為典型的牛吃草問題，要根據(jù)“牛吃的草量﹣生長的草量＝消耗原有草量”這個(gè)關(guān)系式認(rèn)真分析解決．24．（6分）（2019?湖南）有一牧區(qū)長滿牧草，牧草每天勻速生長．這個(gè)牧區(qū)的草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么可供21頭牛吃多少天？【思路點(diǎn)撥】假設(shè)每頭牛每周吃牧草1份，先求出牧草的增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝15（份）；然后求出草地原有的草的份數(shù)：27×6﹣6×15＝72（份）；那么21頭牛每周吃牧草21份，牧草每周增加15份，可以看作每周有（21﹣15）頭牛在吃草，草地原有的72份的草，可吃：72÷6＝12（周）．【規(guī)范解答】解：假設(shè)每頭牛每周吃牧草1份，牧草增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝45÷3＝15（份）原有的草的份數(shù)：27×6﹣6×15＝162﹣90＝72（份）可供21頭牛吃：72÷（21﹣15）＝72÷6＝12（周）12×7＝84（天）答：這個(gè)草場的草可供21頭牛吃84天．【考點(diǎn)評析】解決這類問題的關(guān)鍵是利用牛吃的草量，最終求出草地每天新生草的草量，由于此類題不給出草量的