橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知識(shí)儲(chǔ)備橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a焦點(diǎn)(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)題型一：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1．求下列各橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，并畫出它們的草圖：(1)x2(2)9x【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】將橢圓改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定a、b、c及長(zhǎng)軸、短軸的位置，進(jìn)而求出(1)、(2)中橢圓的長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)、焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，并畫出橢圓的圖形.【詳解】（1）將x2+9y所以a=6，b=2，則c=a所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，短軸長(zhǎng)為4，焦距為82，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?6,0、6,0、0,2、0,?2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為?42,0和4橢圓圖象如下：

（2）將9x2+5因?yàn)?>5，所以橢圓的焦點(diǎn)落在y軸上，所以a=3，b=5，則c=所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為25，焦距為4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?5,0、5,0、0,3、0,?3，焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2和橢圓圖象如下：

2．已知橢圓C:x29A．C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8B．C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±5C．C的離心率為7D．C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為4+【答案】ACD【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別得到a,b,c，然后結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于橢圓C:x29+y則c=a對(duì)于A，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=8，故A正確；對(duì)于B，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=7則焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±7對(duì)于C，離心率e=c對(duì)于D，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a+c=4+7故選：ACD3．已知橢圓C的離心率為22，則C的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形是（

A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)橢圓離心率及a2【詳解】由橢圓離心率為ca=22，則所以b2+c所以C的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，故選：B．4．設(shè)P為橢圓x2a2+y2b2=1上任意一點(diǎn)，其中c【答案】a+ca?c【分析】代入兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化為根據(jù)定義域求函數(shù)的最值.【詳解】設(shè)F1?c,0，PPF=c2a當(dāng)x=a時(shí)，PF1的最大值為a+c，當(dāng)x=?a時(shí)，PF故答案為：a+c；a?c5．已知橢圓y26+x25=1的上下焦點(diǎn)分別為F1、【答案】5【分析】先求得橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Pm,n【詳解】由題意可得F10,1、F20,?1，設(shè)Pm,nPF所以P=m所以PF故答案為：5.6．曲線x29+y2A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)一定相等 B．短軸長(zhǎng)一定相等C．離心率一定相等 D．焦距一定相等【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的方程，得到a,b,c，即可判斷.【詳解】對(duì)于曲線x29+對(duì)于曲線x29?k+所以它們的長(zhǎng)軸不一定相等，短軸不一定相等，離心率不一定相等，焦距一定相等.故選：D7．設(shè)A，B是橢圓C:x2m+y24=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)A．0,43∪C．0,2∪4,+∞【答案】A【分析】易知當(dāng)M為短軸端點(diǎn)時(shí)∠AMB取得最大值，即此時(shí)∠AMB≥120°，分情況討論當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上時(shí)，長(zhǎng)軸與短軸的范圍，即可得解.【詳解】由已知當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到短軸的端點(diǎn)時(shí)，∠AMB取最大值，此時(shí)∠AMB≥120°，當(dāng)m>4時(shí)，橢圓C的長(zhǎng)軸在x軸上，如圖1所示，令A(yù)?m,0由∠AMB≥120°，可知∠AMO≥60°，則tan∠AMO=OAOM≥3當(dāng)0<m<4時(shí)，橢圓C的長(zhǎng)軸在y軸上，如圖2所示，令A(yù)0,2，M由∠AMB≥120°，可知∠AMO≥60°，則tan∠AMO=OAOM≥3綜上所述，m∈0,故選：A．8．點(diǎn)Aa,1在橢圓x24+yA．?2 B．?1 C．1 D．【答案】BC【分析】由點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系得出a的值.【詳解】由題意知a24+故選：BC9．若點(diǎn)3,2在橢圓x2a2A．點(diǎn)?3,?2不在橢圓上 B．點(diǎn)3,?2不在橢圓上C．點(diǎn)?3,2在橢圓上 D．無法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可判斷.【詳解】點(diǎn)?3,?2與點(diǎn)3,2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)3,?2與3,2關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)?3,2與3,2關(guān)于y軸對(duì)稱，若點(diǎn)3,2在橢圓x2a2+y2b故選：C題型二：由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程10．分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3；(2)離心率為32，且經(jīng)過點(diǎn)2,0【答案】(1)x225+(2)x24+【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)直接寫出a，c的值，然后求出b的值即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)離心率可設(shè)a=2k，c=3【詳解】（1）由題意知a=5，c=3，所以b2又焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸可為x軸，也可為y軸，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+（2）由題意可得e=ca=32，設(shè)a=2k，c=又橢圓經(jīng)過的點(diǎn)2,0為其頂點(diǎn)，故若點(diǎn)2,0為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則a=2，b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2若點(diǎn)2,0為短軸頂點(diǎn)，則b=2，a=4，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y211．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過P(?22,0)，（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)；（3）焦距是8，離心率等于0.8．【答案】（1）x28+y25=1；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得要求的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a=22，b=5，將a、（2）根據(jù)題意，分析可得：a＝3b，分2種情況討論橢圓的焦點(diǎn)位置，綜合即可得答案；（3）依題意求出c、a，再根據(jù)a2?b【詳解】解：（1）根據(jù)題意，橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(?22,0)，且22則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a=22，b=則橢圓的方程為：x2（2）根據(jù)題意，要求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，即a=3b，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，分2種情況討論：①橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則a＝3，b＝1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2②橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，a＝9，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2（3）根據(jù)題意，2c=8即c=4，又e=ca=0.8，所以a=5，因?yàn)槿魴E圓的焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x212．與橢圓9x2+4A．x24+C．x26+【答案】B【分析】利用條件求得所求橢圓的a、b值，即可得到其標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓9x2+4可知橢圓9x2+4y2故可設(shè)所求橢圓方程y2則c=5，又2b=2，即b=1，所以a所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：B．13．與橢圓y24+x2【答案】y【分析】設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x2b【詳解】所求橢圓與橢圓y24+x22=1設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2又點(diǎn)3,2在所求橢圓上，即有4聯(lián)立兩個(gè)方程得42+b2+3所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故答案為：y14．求與橢圓x22+【答案】x24+【分析】由題設(shè)可得ca=22，根據(jù)橢圓參數(shù)關(guān)系有b2【詳解】由題設(shè)，橢圓離心率為e=ca=22若所求橢圓方程為x2a2+2y2若所求橢圓方程為y2a2+2x2題型三：橢圓的離心率15．直線2x+y?2=0經(jīng)過橢圓my2?nx【答案】3【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再代入橢圓方程進(jìn)而得出a,b,c即可得出離心率.【詳解】由題意，直線過點(diǎn)A1,0，B代入橢圓方程得0?n=14m?0=1，解得m=14所以橢圓方程為y2所以a=2，b=1，c=3，則e=故答案為：3216．已知橢圓C:x2a2+y2【答案】23/【分析】由題意得a2+b【詳解】設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1的半焦距為c，由題意可得a2故答案為：2317．已知橢圓C:x2a2+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．35 B．45 C．34【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程及其定義和焦點(diǎn)位置得a=5，c=4，進(jìn)而求離心率.【詳解】由橢圓的定義及題意，得2a=10，所以a=5．因?yàn)閎2=9，所以c2所以離心率e=故選：B．18．已知橢圓x2a2+yA．12 B．22