教育部解釋高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的基本性質(zhì)不包括以下哪一項？

A.單調(diào)性

B.奇偶性

C.對稱性

D.可導(dǎo)性

2.函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像是拋物線，以下條件中保證該拋物線開口向上的是？

A.$a<0$

B.$a>0$

C.$b>0$

D.$c>0$

3.在三角函數(shù)中，$\sin(\alpha+\beta)$的表達(dá)式正確的是？

A.$\sin\alpha+\sin\beta$

B.$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

C.$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

D.$\cos\alpha+\cos\beta$

4.拋物線$y=x^2$的焦點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.$(0,0)$

B.$(1,0)$

C.$(0,1)$

D.$(0,-1)$

5.在立體幾何中，過空間一點(diǎn)作直線與已知直線垂直，這樣的直線有幾條？

A.1條

B.2條

C.無數(shù)條

D.不能確定

6.圓的方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$中，$(a,b)$代表什么？

A.圓的半徑

B.圓的圓心

C.圓的直徑

D.圓的切點(diǎn)

7.在概率論中，事件A和事件B互斥的意思是？

A.事件A和事件B不可能同時發(fā)生

B.事件A和事件B一定同時發(fā)生

C.事件A發(fā)生不影響事件B發(fā)生

D.事件B發(fā)生不影響事件A發(fā)生

8.數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_n=a_{n-1}+d$，則稱該數(shù)列為？

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.調(diào)和數(shù)列

D.指數(shù)數(shù)列

9.在解析幾何中，直線$y=kx+b$的斜率k表示什么？

A.直線與y軸的交點(diǎn)

B.直線的傾斜程度

C.直線的截距

D.直線的對稱性

10.在微積分中，極限$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$的值是？

A.0

B.1

C.$\infty$

D.不存在

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是？

A.$y=x^3$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=e^x$

D.$y=\lnx$

2.在三角函數(shù)中，下列等式成立的是？

A.$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

B.$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

C.$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha-\sin\beta$

D.$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

3.下列方程中，表示圓的是？

A.$x^2+y^2=1$

B.$x^2-y^2=1$

C.$x^2+y^2+2x-4y+1=0$

D.$y=x^2$

4.在立體幾何中，下列說法正確的是？

A.過空間一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直

B.兩條平行線確定一個平面

C.三個不共線的點(diǎn)確定一個平面

D.空間中任意三點(diǎn)可以確定一個平面

5.在概率論中，下列說法正確的是？

A.互斥事件不可能同時發(fā)生

B.事件A的補(bǔ)事件記作$\bar{A}$

C.概率公理之一：必然事件的概率為1

D.概率公理之一：不可能事件的概率為0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$的定義域是________。

2.若$\tan\alpha=\frac{3}{4}$，且$\alpha$是第二象限角，則$\cos\alpha$的值是________。

3.拋物線$y=2x^2-4x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________。

4.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中（去掉大小王）隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是________。

5.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2$，則該數(shù)列的通項公式$a_n$=________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求函數(shù)$f(x)=|x-1|+|x+2|$的最小值。

2.解不等式組：$\begin{cases}2x-1>x+3\\x^2-4\leq0\end{cases}$。

3.已知$\triangleABC$中，角A、B、C的對邊分別為$a$、$b$、$c$，且$A=60^\circ$，$b=4$，$c=3$，求邊$a$的長度。

4.計算不定積分$\int(2x+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})\,dx$。

5.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，已知$a_5=10$，$a_{10}=31$，求該數(shù)列的首項$a_1$和公差$d$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

**一、選擇題答案及詳解**

1.D

解：函數(shù)的基本性質(zhì)包括定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等，可導(dǎo)性不是函數(shù)的基本性質(zhì)，它是微積分中的概念。

2.B

解：對于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，其圖像是拋物線。當(dāng)$a>0$時，拋物線開口向上；當(dāng)$a<0$時，拋物線開口向下。

3.C

解：根據(jù)三角函數(shù)的和角公式，$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$。

4.A

解：拋物線$y=x^2$的標(biāo)準(zhǔn)方程為$y=\frac{1}{4}x^2$，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(0,\frac{1}{4p})$，其中$p$是焦距，對于$y=x^2$，$p=\frac{1}{4}$，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為$(0,0)$。

5.C

解：在三維空間中，過空間一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與已知直線垂直，這些直線構(gòu)成一個平面。

6.B

解：圓的方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$中，$(a,b)$表示圓心的坐標(biāo)。

7.A

解：事件A和事件B互斥是指兩個事件不能同時發(fā)生。

8.A

解：數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_n=a_{n-1}+d$，則稱該數(shù)列為等差數(shù)列，其中$d$是公差。

9.B

解：在解析幾何中，直線$y=kx+b$的斜率$k$表示直線的傾斜程度，$k$的絕對值越大，直線越陡峭。

10.A

解：根據(jù)極限的定義，$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$。

**二、多項選擇題答案及詳解**

1.A,C,D

解：$y=x^3$是單調(diào)遞增的；$y=\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；$y=e^x$是單調(diào)遞增的；$y=\lnx$在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.A,B,D

解：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$是三角恒等式；$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$是正切的定義；$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta$不成立；$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$是三角恒等式。

3.A,C

解：$x^2+y^2=1$表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；$x^2-y^2=1$表示雙曲線；$x^2+y^2+2x-4y+1=0$可以化簡為$(x+1)^2+(y-2)^2=4$，表示以$(-1,2)$為圓心，半徑為2的圓；$y=x^2$表示拋物線。

4.B,C

解：過空間一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直是錯誤的，只有一條；兩條平行線確定一個平面是正確的；三個不共線的點(diǎn)確定一個平面是正確的；空間中任意三點(diǎn)可以確定一個平面是不正確的，如果三點(diǎn)共線則不能確定平面。

5.A,B,C,D

解：互斥事件不可能同時發(fā)生是正確的；事件A的補(bǔ)事件記作$\bar{A}$是正確的；概率公理之一：必然事件的概率為1是正確的；概率公理之一：不可能事件的概率為0是正確的。

**三、填空題答案及詳解**

1.[-2,2]

解：要使$\sqrt{4-x^2}$有意義，必須$4-x^2\geq0$，即$x^2\leq4$，解得$-2\leqx\leq2$。

2.$-\frac{4}{5}$

解：由$\tan\alpha=\frac{3}{4}$，且$\alpha$是第二象限角，可知$\sin\alpha>0$，$\cos\alpha<0$。根據(jù)$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，可得$\cos\alpha=-\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=-\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}=-\frac{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}{\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{\frac{25}{16}}}{\frac{3}{4}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}=-\frac{5}{3}\cdot\frac{4}{4}=-\frac{4}{5}$。

3.(1,-1)

解：拋物線$y=2x^2-4x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=2$，$b=-4$，$c=1$，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{4}{4},\frac{4\cdot2\cdot1-(-4)^2}{4\cdot2})=(1,\frac{8-16}{8})=(1,-1)$。

4.$\frac{1}{4}$

解：一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中（去掉大小王）有13張紅桃，所以抽到紅桃的概率是$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$。

5.$2n-1$

解：數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2$，公差$d=2$。等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$，$d=2$，得$a_n=1+(n-1)\cdot2=1+2n-2=2n-1$。

**四、計算題答案及詳解**

1.最小值為3

解：$f(x)=|x-1|+|x+2|$可以分段討論：

-當(dāng)$x<-2$時，$f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1$

-當(dāng)$-2\leqx\leq1$時，$f(x)=-(x-1)+(x+2)=3$

-當(dāng)$x>1$時，$f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1$

在$-2\leqx\leq1$時，$f(x)=3$，而在其他區(qū)間，$f(x)$的值都大于3，所以最小值為3。

2.解集為$\{x|-2<x\leq4\}$

解：解第一個不等式$2x-1>x+3$，得$x>4$

解第二個不等式$x^2-4\leq0$，得$-2\leqx\leq2$

解集為兩個不等式解集的交集，即$\{x|-2\leqx\leq2\}\cap\{x|x>4\}=\{x|-2<x\leq4\}$

3.邊$a$的長度為$\sqrt{13}$

解：根據(jù)余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，代入$b=4$，$c=3$，$A=60^\circ$，得$a^2=4^2+3^2-2\cdot4\cdot3\cdot\cos60^\circ=16+9-24\cdot\frac{1}{2}=25-12=13$，所以$a=\sqrt{13}$。

4.積分結(jié)果為$\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^{3/2}-2x^{1/2}+C$

解：$\int(2x+\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})\,dx=\int2x\,dx+\intx^{1/2}\,dx-\intx^{-1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^3