遼寧十校聯(lián)合體數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作______。

A.A=B

B.A?B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)______時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

A.a>0

B.a<0

C.b>0

D.b<0

3.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4)的值為_(kāi)_____。

A.3

B.2

C.1

D.0

4.在三角函數(shù)中，sin(π/2-θ)等于______。

A.sinθ

B.-sinθ

C.cosθ

D.-cosθ

5.矩陣M=[[1,2],[3,4]]的行列式det(M)等于______。

A.1

B.2

C.7

D.10

6.在概率論中，事件A和事件B互斥的定義是______。

A.P(A∩B)=0

B.P(A∪B)=1

C.P(A|B)=0

D.P(B|A)=1

7.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/n)的斂散性為_(kāi)_____。

A.收斂

B.發(fā)散

C.條件收斂

D.絕對(duì)收斂

8.在線性代數(shù)中，向量組{(1,0),(0,1)}的秩為_(kāi)_____。

A.0

B.1

C.2

D.3

9.在解析幾何中，直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)為_(kāi)_____。

A.(0,b)

B.(k,0)

C.(-b,0)

D.(0,k)

10.在微積分中，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)的定義是______。

A.lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h存在

B.lim(h→0)[f(a)-f(a+h)]/h存在

C.lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]*h存在

D.lim(h→0)[f(a)-f(a+h)]*h存在

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)的有______。

A.f(x)=|x|

B.f(x)=1/x

C.f(x)=sin(x)

D.f(x)=tan(x)

2.在空間解析幾何中，平面x+2y+3z=6與下列哪個(gè)平面平行______。

A.x+2y+3z=1

B.2x+4y+6z=3

C.x-y+z=0

D.3x+6y+9z=5

3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有______。

A.∑(n=1to∞)(1/n^2)

B.∑(n=1to∞)(1/n)

C.∑(n=1to∞)((-1)^n/n^2)

D.∑(n=1to∞)((-1)^n/n)

4.在線性代數(shù)中，下列矩陣中可逆的有______。

A.[[1,0],[0,1]]

B.[[1,2],[2,4]]

C.[[3,0],[0,3]]

D.[[0,1],[1,0]]

5.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有______。

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=1/x

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)滿足f(2x)=4f(x)，且f(0)=1，則f(1)=______。

2.拋物線y=ax^2+bx+c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____。

3.若向量a=(1,2,3)與向量b=(x,y,z)垂直，則x+y+z=______。

4.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于______。

5.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的特征多項(xiàng)式為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx。

2.求極限lim(x→0)(sin(3x)-sin(x))/x。

3.解微分方程dy/dx=x^2+1，初始條件為y(0)=1。

4.計(jì)算二重積分∫∫_D(x^2+y^2)dA，其中D是由圓x^2+y^2=1圍成的區(qū)域。

5.求解線性方程組：

x+2y+z=1

2x+y+3z=2

3x+y+z=3

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C(A表示相等，B表示真包含于，C表示包含于，D表示真包含于)

2.A(a>0時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)為正，拋物線開(kāi)口向上)

3.A(分子分母同除以x^2，極限值為分子分母最高次項(xiàng)系數(shù)之比)

4.C(根據(jù)三角函數(shù)的和差公式，sin(π/2-θ)=cosθ)

5.C(det(M)=1*4-2*3=-2)

6.A(互斥事件定義：兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即它們的交事件概率為0)

7.B(調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，∑(1/n)發(fā)散)

8.C(兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的單位向量組成的向量組的秩為2)

9.A(直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的y坐標(biāo)為0，解得x=-b/k，即(0,b)當(dāng)k≠0時(shí)；當(dāng)k=0時(shí)，交點(diǎn)為(0,b))

10.A(函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的定義是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，即極限lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h存在)

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AC(絕對(duì)值函數(shù)和正弦函數(shù)在其定義域上連續(xù))

2.ABD(平行平面法向量成比例，只有A、B、D的法向量[1,2,3]與[2,4,6]和[3,6,9]成比例)

3.AC(p級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂，p=2時(shí)收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)當(dāng)絕對(duì)值單調(diào)遞減且趨于0時(shí)條件收斂)

4.ACD([1,0],[0,1]和[3,0],[0,3]和[0,1],[1,0]都是可逆矩陣，行列式非0)

5.AC(x^2和x^3在x=0處可導(dǎo)，|x|在x=0處不可導(dǎo)，1/x在x=0處無(wú)定義)

三、填空題答案及解析

1.2(令x=1/2，得f(1)=4f(1/2)=16f(1/4)，繼續(xù)令x=1/4，得f(1)=64f(1/8)，由f(0)=1，得f(1/2)=1/4，f(1/4)=1/16...歸納得f(1)=2)

2.(h/2,k/4,f(h/2)+f(-h/2)/2)(拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，或通過(guò)求焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離得到)

3.6(向量垂直條件：a·b=0，即1*x+2*y+3*z=0，x+y+z=6)

4.e-1(平均值=定積分/區(qū)間長(zhǎng)度=[∫_0^1e^xdx]/1=e-1)

5.x^2-5x+4(det(λI-A)=λ^2-5λ+4=(λ-1)(λ-4))

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：原式=x^2/2+x+ln|x|+C

簡(jiǎn)化被積函數(shù)：(x^2+2x+1)/(x+1)=x+1

∫(x+1)dx=x^2/2+x+C

2.解：原式=lim(3x→0)[sin3x/sinx*sinx/sinx]

=lim(3x→0)3cos(3x/2)cos(x/2)

=3

3.解：分離變量法

dy=(x^2+1)dx

∫dy=∫(x^2+1)dx

y=x^3/3+x+C

代入y(0)=1，得C=1

所以y=x^3/3+x+1

4.解：原式=∫_0^2π∫_0^1(r^2)rdrdθ

=∫_0^2π∫_0^1r^3drdθ

=∫_0^2π[1/4]dθ

=π/2

5.解：增廣矩陣：

[121|1]

[213|2]

[311|3]

行變換：

[-1-32|-1]

[213|2]

[311|3]

[-1-32|-1]

[077|4]

[0107|6]

[077|4]

[03-1|2]

[077|4]

[00-10|0]

解得：z=0,y=2/3,x=1/3

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷涵蓋高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，主要包括：

1.函數(shù)、極限、連續(xù)性

2.一元函數(shù)微積分

3.線性代數(shù)基礎(chǔ)

4.空間解析幾何

5.常微分方程

6.多元微積分

7.概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

各題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題考