數(shù)學(xué)歸納法題目及答案6一、選擇題（每題3分，共15分）1.數(shù)學(xué)歸納法的第一步是證明當(dāng)n取第一個值時命題成立，這個值通常是（）A.0B.1C.2D.3答案：B2.使用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，第二步需要證明（）A.當(dāng)n=k時命題成立B.當(dāng)n=k+1時命題成立C.當(dāng)n=k+2時命題成立D.當(dāng)n=k+3時命題成立答案：B3.數(shù)學(xué)歸納法中，從k到k+1的步驟被稱為（）A.基礎(chǔ)步驟B.歸納步驟C.遞推步驟D.驗證步驟答案：C4.如果一個命題對于所有自然數(shù)都成立，那么這個命題是（）A.真命題B.假命題C.不確定命題D.矛盾命題答案：A5.數(shù)學(xué)歸納法不適用于證明（）A.等式B.不等式C.整除性D.無理數(shù)的性質(zhì)答案：D二、填空題（每題2分，共10分）1.數(shù)學(xué)歸納法的第一步是證明當(dāng)n=______時命題成立。答案：12.數(shù)學(xué)歸納法的第二步是證明如果命題對n=k成立，那么它也對n=______成立。答案：k+13.如果一個命題對于所有自然數(shù)n都成立，那么這個命題被稱為______。答案：真命題4.數(shù)學(xué)歸納法不適用于證明______的性質(zhì)。答案：無理數(shù)5.數(shù)學(xué)歸納法的遞推步驟是證明如果命題對n=k成立，那么它也對n=______成立。答案：k+1三、解答題（每題10分，共40分）1.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1(1+1)/2=1，等式成立。（2）歸納步驟：假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。當(dāng)n=k+1時，左邊=1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=k(k+3)/2+1=(k+1)(k+2)/2。因此，當(dāng)n=k+1時，等式也成立。綜上，對于所有自然數(shù)n，有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。2.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有2^n>n^2。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=2^1=2，右邊=1^2=1，不等式成立。（2）歸納步驟：假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即2^k>k^2。當(dāng)n=k+1時，左邊=2^(k+1)=22^k>2k^2。由于k≥1，所以2k^2>(k+1)^2，即2^(k+1)>(k+1)^2。因此，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立。綜上，對于所有自然數(shù)n，有2^n>n^2。3.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=1^2=1，右邊=1(1+1)(21+1)/6=1，等式成立。（2）歸納步驟：假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6。當(dāng)n=k+1時，左邊=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2?；喌茫鹤筮?(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6。因此，當(dāng)n=k+1時，等式也成立。綜上，對于所有自然數(shù)n，有1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。4.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有1+1/2+1/3+...+1/n≥ln(n+1)。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=ln(1+1)=ln2，不等式成立。（2）歸納步驟：假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即1+1/2+1/3+...+1/k≥ln(k+1)。當(dāng)n=k+1時，左邊=1+1/2+1/3+...+1/k+1/(k+1)≥ln(k+1)+1/(k+1)。由于ln(k+1)+1/(k+1)≥ln(k+1)+ln(1+1/(k+1))=ln((k+1)(k+2)/(k+1))=ln(k+2)，所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立。綜上，對于所有自然數(shù)n，有1+1/2+1/3+...+1/n≥ln(n+1)。四、證明題（每題15分，共30分）1.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1^2=1，等式成立。（2）歸納步驟：假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即1+3+5+...+(2k-1)=k^2。當(dāng)n=k+1時，左邊=1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2。因此，當(dāng)n=k+1時，等式也成立。綜上，對于所有自然數(shù)n，有1+3+5+...+(2n-1)=n^2。2.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=1^3=1，右邊=(1+1)^2=4，等式不成立。因此，這個命題是錯誤的，不能用數(shù)學(xué)歸納法證明。3.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有自然數(shù)n，有1+2^2+3^3+...+n^n≥n^(n+1)/(n+1)。答案：（1）基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1^(1+1)/(1+1)=1/2，不等式成立。（2）歸納步驟：假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即1+2^2+3^3+...+k^k≥k^(k+1)/(k+1)。當(dāng)n=k+1時，左邊=1+2^2+3^3+...+k^k+(k+1)^(k+1)≥k^(k+1)/(k+1)+(k+1)^(k+1)。由于k^(k+1)/(k+1)+(k+1)^(k+1)≥(k+1)^(k+1)/(k+1)+(k+1)^(k+1)=(k+1)^(k+2)/(k+1)，所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立。綜上，對于所有自然數(shù)n，有1+2^2+3^3+...+n^n≥n^(n+1)/(n+1)。4.使用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所