數(shù)學(xué)奧數(shù)高二題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.若函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+ax+b滿足f(1)=0，且f'(x)=6x^2-6x+a，求a的值。A.1B.2C.3D.42.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列的第5項(xiàng)。A.15B.17C.19D.213.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|，求z的實(shí)部。A.0B.1/2C.1D.3/24.對(duì)于橢圓C：\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，若直線l：y=kx+m與橢圓C交于兩點(diǎn)A和B，且AB的中點(diǎn)為(1,1)，求k的值。A.1B.-1C.2D.-2二、填空題（每題5分，共20分）5.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)f(x)的最小值。__________6.求滿足方程x^3-3x^2+2=0的實(shí)數(shù)解。__________7.若向量a=(1,2)，向量b=(-2,4)，求向量a與向量b的數(shù)量積。__________8.已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率為e，且e^2=1+(b/a)^2，求雙曲線的漸近線方程。__________三、解答題（每題15分，共30分）9.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。10.已知拋物線C：y^2=4x，點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，求過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C相切的直線方程。四、證明題（每題10分，共20分）11.證明：若a,b,c是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，則a^2+b^2+c^2≥1/3。12.證明：若z1,z2是復(fù)數(shù)，且|z1|=|z2|=1，則|z1+z2|≤2。答案一、選擇題1.答案：B解析：由f(1)=0得2-3+a+b=0，即a+b=1。又f'(x)=6x^2-6x+a，代入x=1得6-6+a=0，解得a=0。但題目中給出f'(x)=6x^2-6x+a，所以a=2。2.答案：C解析：根據(jù)遞推關(guān)系an+1=2an+1，可得a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15，a5=2a4+1=31。3.答案：B解析：由|z-1|=|z+i|得(z-1)(z-1)=(z+i)(z+i)，其中z為z的共軛復(fù)數(shù)。展開(kāi)后化簡(jiǎn)得2iz=2i，解得z=1/2。4.答案：A解析：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=2，y1+y2=2。代入橢圓方程得x1^2/4+y1^2/3=1，x2^2/4+y2^2/3=1。兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)/3=0，即2(x1-x2)/4+2(y1-y2)/3=0。又k=(y1-y2)/(x1-x2)，解得k=1。二、填空題5.答案：-1解析：f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最小值-1。6.答案：1或-1解析：x^3-3x^2+2=(x-1)^2(x+2)=0，解得x=1或x=-2。7.答案：-4解析：a·b=1(-2)+24=-2+8=6。8.答案：y=±(b/a)x解析：雙曲線的漸近線方程為y=±(b/a)x。三、解答題9.解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1。當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減。極值點(diǎn)為x=1。10.解：設(shè)切線方程為y-2=k(x-1)，即y=kx+2-k。代入拋物線方程得(kx+2-k)^2=4x。化簡(jiǎn)得(k^2-4)x^2+(4k-4k^2)x+(k^2-4k+4)=0。由判別式Δ=0得16k^2-16k^2+16k-16=0，解得k=1。所以切線方程為y=x+1。四、證明題11.證明：由柯西不等式得(a^2+b^2+c^2)(1