相似三角形幾何問題解析專題講義一、引言：相似三角形的地位與作用相似三角形是平面幾何的核心內容之一，它建立了圖形“形狀相似”與“數量比例”之間的橋梁，是解決復雜幾何問題的關鍵工具。從基礎的邊長計算、面積求解，到進階的比例式證明、圓與函數綜合問題，相似三角形均發(fā)揮著不可替代的作用。在中考、高考中，相似三角形相關題目常以選擇題、填空題、解答題等形式出現，占比約15%-20%，且多與全等、圓、函數等知識綜合考查，凸顯其“幾何樞紐”的地位。本講義將系統梳理相似三角形的基本概念、判定定理、常見模型、性質應用及綜合解題策略，旨在幫助學習者構建完整的知識體系，提升解決相似三角形問題的能力。二、相似三角形的基本概念與判定定理（一）基本概念1.相似多邊形：對應角相等、對應邊成比例的多邊形叫做相似多邊形。2.相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比（或相似系數），記作\(k\)（\(k>0\)）。3.相似三角形：三個角對應相等、三條邊對應成比例的三角形叫做相似三角形。若\(\triangleABC\)與\(\triangleDEF\)相似，記作\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)，其中相似比\(k=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}\)（注意：相似比的順序與三角形順序一致）。（二）判定定理相似三角形的判定是解決問題的核心依據，需嚴格掌握以下定理：判定定理條件結論**AA判定**兩個角對應相等兩三角形相似**SAS判定**兩邊對應成比例且夾角相等兩三角形相似**SSS判定**三邊對應成比例兩三角形相似**直角三角形特殊判定（HL）**斜邊與一條直角邊對應成比例兩直角三角形相似注：AA判定是最常用的方法（只需找到兩組對應角相等）；SAS判定中“夾角”是關鍵，若兩邊對應成比例但夾角不相等，則無法判定相似；直角三角形相似可優(yōu)先考慮HL，或轉化為AA判定（如一個銳角相等）。三、常見相似模型解析相似三角形的問題多以“模型化”形式呈現，掌握以下常見模型是快速解題的關鍵。（一）A字模型（正A與反A）1.結構特征正A模型：一條直線平行于三角形的一邊，與另外兩邊（或兩邊延長線）相交，形成“A”字形結構（如圖1）。反A模型：三角形內部有一點，連接兩邊形成的角等于原三角形的一個角，形成“反A”字形結構（如圖2）。2.判定與結論正A模型：若\(DE\parallelBC\)，則\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)（AA判定，公共角\(\angleA\)，同位角\(\angleADE=\angleB\)），相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)。反A模型：若\(\angleADE=\angleB\)（或\(\angleAED=\angleC\)），則\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)（AA判定，公共角\(\angleA\)，對應角相等），相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)。典型例題例1：在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(AE=1.5\)，求\(AC\)的長。解：由\(DE\parallelBC\)，得\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)，相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)。根據相似三角形對應邊成比例，\(\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}\)，即\(\frac{1.5}{AC}=\frac{2}{5}\)，解得\(AC=3.75\)。（二）8字模型（正8與反8）1.結構特征正8模型：兩條直線平行，被另外兩條直線所截，形成“8”字形結構（如圖3）。反8模型：兩條直線相交，形成對頂角，且另外兩組角相等，形成“反8”字形結構（如圖4）。2.判定與結論正8模型：若\(AB\parallelCD\)，則\(\triangleAOB\backsim\triangleCOD\)（AA判定，同位角\(\angleA=\angleC\)，\(\angleB=\angleD\)），相似比\(k=\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}\)。反8模型：若\(\angleA=\angleC\)（或\(\angleB=\angleD\)），且\(\angleAOB=\angleCOD\)（對頂角相等），則\(\triangleAOB\backsim\triangleCOD\)（AA判定），相似比\(k=\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}\)。典型例題例2：如圖，\(AB\parallelCD\)，\(AO=3\)，\(OC=6\)，\(BO=2\)，求\(OD\)的長。解：由\(AB\parallelCD\)，得\(\triangleAOB\backsim\triangleCOD\)，相似比\(k=\frac{AO}{OC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。根據相似三角形對應邊成比例，\(\frac{BO}{OD}=\frac{1}{2}\)，即\(\frac{2}{OD}=\frac{1}{2}\)，解得\(OD=4\)。（三）母子型相似（直角三角形射影定理）1.結構特征直角三角形斜邊上的高將原三角形分成兩個小直角三角形，與原三角形形成“母子”結構（如圖5）。2.判定與結論判定：\(\triangleABC\backsim\triangleABD\backsim\triangleCBD\)（AA判定，公共角+直角相等）。結論（射影定理）：\(AC^2=AD\cdotAB\)（直角邊的平方等于其在斜邊上的射影與斜邊的乘積）；\(BC^2=BD\cdotAB\)；\(CD^2=AD\cdotBD\)（斜邊上的高的平方等于兩射影的乘積）。典型例題例3：在Rt\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(CD\perpAB\)于\(D\)，若\(AD=2\)，\(BD=8\)，求\(AC\)、\(BC\)、\(CD\)的長。解：根據射影定理：\(AC^2=AD\cdotAB=2\times(2+8)=20\)，故\(AC=2\sqrt{5}\)；\(BC^2=BD\cdotAB=8\times10=80\)，故\(BC=4\sqrt{5}\)；\(CD^2=AD\cdotBD=2\times8=16\)，故\(CD=4\)。（四）一線三等角模型1.結構特征一條直線上有三個相等的角（如\(\angleB=\angleC=\angleADE\)），且這三個角的頂點均在該直線上（如圖6）。2.判定與結論判定：若\(\angleB=\angleC=\angleADE\)，則\(\triangleABD\backsim\triangleDCE\)（AA判定，\(\angleB=\angleC\)，\(\angleBAD=\angleEDC\)）。結論：相似比\(k=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{DE}\)。典型例題例4：在等腰\(\triangleABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，點\(D\)在\(BC\)上（\(BD=2\)），點\(E\)在\(AC\)上，且\(\angleADE=\angleB\)，求\(CE\)的長。解：由\(AB=AC\)，得\(\angleB=\angleC\)；由\(\angleADE=\angleB\)，得\(\angleADE=\angleC\)；由外角定理，\(\angleADC=\angleADE+\angleEDC=\angleB+\angleBAD\)，故\(\angleEDC=\angleBAD\)；因此，\(\triangleABD\backsim\triangleDCE\)（AA判定）。相似比\(k=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}\)，其中\(zhòng)(DC=BC-BD=6-2=4\)，代入得\(\frac{5}{4}=\frac{2}{CE}\)，解得\(CE=\frac{8}{5}=1.6\)。四、相似三角形的性質及應用（一）核心性質相似三角形的性質是解決問題的“工具庫”，需牢記以下結論（設\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)）：1.對應角相等：\(\angleA=\angleD\)，\(\angleB=\angleE\)，\(\angleC=\angleF\)；2.對應邊成比例：\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)；3.對應線段成比例：對應中線、高線、角平分線的比等于\(k\)；4.周長比：\(\frac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleDEF}}=k\)；5.面積比：\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleDEF}}=k^2\)（面積比為相似比的平方）。（二）性質的應用場景1.求未知邊長例5：若\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)，相似比為\(3:2\)，\(AB=9\)，則\(DE=\)？解：由對應邊成比例，\(\frac{AB}{DE}=\frac{3}{2}\)，即\(\frac{9}{DE}=\frac{3}{2}\)，解得\(DE=6\)。2.求圖形面積例6：若\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)，面積比為\(4:9\)，則相似比為\(2:3\)，周長比為\(2:3\)。3.證明比例式與等積式例7：已知\(DE\parallelBC\)，證明\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)。證明：由\(DE\parallelBC\)，得\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)，相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)。根據分比定理，\(\frac{AD}{AB-AD}=\frac{AE}{AC-AE}\)，即\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)。五、相似三角形與其他幾何知識的綜合（一）與全等三角形的綜合例8：在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(BC\)邊上的中線，\(E\)是\(AD\)上一點，且\(BE=CE\)，證明\(\triangleABE\backsim\triangleDCE\)。證明：由\(AB=AC\)，\(AD\)是中線，得\(AD\perpBC\)（等腰三角形三線合一）；由\(BE=CE\)，得\(\angleEBC=\angleECB\)；由\(\angleABC=\angleACB\)，得\(\angleABE=\angleABC-\angleEBC=\angleACB-\angleECB=\angleDCE\)；由\(AD\perpBC\)，得\(\angleBAE+\angleABD=90^\circ\)，\(\angleCDE+\angleDCE=90^\circ\)，故\(\angleBAE=\angleCDE\)；因此，\(\triangleABE\backsim\triangleDCE\)（AA判定）。（二）與圓的綜合例9：如圖，\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，\(CD\perpAB\)于\(D\)，\(AC\)交\(\odotO\)于\(E\)，證明\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)。證明：由\(AB\)是直徑，得\(\angleAEB=90^\circ\)（圓周角定理）；由\(CD\perpAB\)，得\(\angleADC=90^\circ\)；由\(\angleEAB=\angleCAD\)（公共角），得\(\triangleAEB\backsim\triangleADC\)（AA判定）；進一步，\(\angleADE=\angleABC\)（同弧\(AC\)所對的圓周角相等），故\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)（AA判定）。（三）與函數的綜合例10：在平面直角坐標系中，點\(A(0,3)\)，\(B(4,0)\)，點\(C\)在\(x\)軸上，且\(\triangleABC\backsim\triangleAOB\)，求點\(C\)的坐標。解：先求\(\triangleAOB\)的邊長：\(OA=3\)，\(OB=4\)，\(AB=5\)（勾股定理）；設點\(C\)坐標為\((c,0)\)，則\(BC=|c-4|\)，\(AC=\sqrt{c^2+3^2}\)；分兩種情況討論：1.\(\triangleABC\backsim\triangleAOB\)：相似比\(k=\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{OB}\)，即\(\frac{5}{3}=\frac{|c-4|}{4}\)，解得\(c=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}\)或\(c=4-\frac{20}{3}=-\frac{8}{3}\)；2.\(\triangleABC\backsim\triangleBOA\)：相似比\(k=\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{OA}\)，即\(\frac{5}{4}=\frac{|c-4|}{3}\)，解得\(c=4+\frac{15}{4}=\frac{31}{4}\)或\(c=4-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}\)。結論：點\(C\)的坐標為\(\left(\frac{32}{3},0\right)\)、\(\left(-\frac{8}{3},0\right)\)、\(\left(\frac{31}{4},0\right)\)或\(\left(\frac{1}{4},0\right)\)。六、解題策略與技巧（一）尋找相似三角形的關鍵線索1.關注角的關系：公共角、對頂角、平行帶來的同位角/內錯角、等腰三角形的底角、直角三角形的銳角、圓周角等；2.識別模型結構：A字、8字、母子型、一線三等角等模型是相似三角形的“信號”，需熟練記憶；3.利用比例關系：若題目中出現比例式（如\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)），可嘗試尋找相似三角形或作平行線構造模型。（二）構造相似三角形的輔助線技巧1.作平行線：若需構造A字或8字模型，可過某點作已知邊的平行線（如例7中作\(DE\parallelBC\)）；2.作垂線：若需構造直角三角形相似，可作某邊的垂線（如例3中作\(CD\perpAB\)）；3.作角平分線：若需構造相等的角，可作角平分線（如例8中作\(AD\)平分\(\angleBAC\)）。（三）比例關系的轉化技巧1.中間比的利用：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)且\(\frac{e}=\fracz3jilz61osys{f}\)，則\(\frac{a}{e}=\frac{c}{f}\)（如例2中用\(\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}\)）；2.等線段替換：若\(AB=CD\)，則\(\frac{AB}{EF}=\frac{CD}{EF}\)（如例4中用\(\angleB=\angleC\)替換）；3.面積比與相似比的轉化：若\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)，則\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleDEF}}=\left(\frac