高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納與專題訓(xùn)練一、函數(shù)的基本概念函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其本質(zhì)是兩個集合之間的對應(yīng)關(guān)系。（一）函數(shù)的定義設(shè)\(A\)、\(B\)是非空的數(shù)集，如果對于集合\(A\)中的每一個元素\(x\)，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系\(f\)，在集合\(B\)中都有唯一的元素\(y\)與之對應(yīng)，那么就稱\(f:A→B\)為從集合\(A\)到集合\(B\)的一個函數(shù)，記作：\[y=f(x),\x\inA\]其中，\(x\)稱為自變量，\(A\)稱為函數(shù)的定義域；\(y\)稱為因變量，由\(x\)對應(yīng)的值組成的集合\(\{f(x)|x\inA\}\)稱為函數(shù)的值域（值域是\(B\)的子集）。（二）函數(shù)的三要素函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域稱為函數(shù)的三要素。其中，定義域和對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的關(guān)鍵（值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定）。1.定義域的求法定義域是函數(shù)的“輸入范圍”，需滿足：分式：分母不為零（如\(f(x)=\frac{1}{x-2}\)，定義域\(x≠2\)）；偶次根式：被開方數(shù)非負（如\(f(x)=\sqrt{x+1}\)，定義域\(x≥-1\)）；對數(shù)式：真數(shù)\(>0\)，底數(shù)\(>0\)且\(≠1\)（如\(f(x)=\log_2(x-1)\)，定義域\(x>1\)）；復(fù)合函數(shù)：逐層分析（如\(f(x)=\sqrt{\log_2(x-1)}\)，需滿足\(\log_2(x-1)≥0\)且\(x-1>0\)，即\(x≥2\)）。2.值域的求法值域是函數(shù)的“輸出范圍”，常見方法：觀察法：如\(f(x)=x2+1\)，值域為\([1,+∞)\)；配方法：如\(f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2\)，值域為\([2,+∞)\)；換元法：如\(f(x)=\sqrt{x-1}+1\)，令\(t=\sqrt{x-1}≥0\)，則\(f(t)=t+1≥1\)，值域為\([1,+∞)\)；單調(diào)性法：如\(f(x)=2^x+1\)，在\(R\)上單調(diào)遞增，值域為\((1,+∞)\)。（三）函數(shù)的表示方法1.解析法：用數(shù)學(xué)公式表示（如\(y=2x+1\)），便于計算和推理；2.列表法：用表格表示（如三角函數(shù)值表），適合離散數(shù)據(jù)；3.圖像法：用圖像表示（如拋物線），直觀反映函數(shù)變化趨勢。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的核心，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性。（一）單調(diào)性1.定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(I\)，區(qū)間\(D?I\)：若對任意\(x_1<x_2∈D\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(D\)上單調(diào)遞增；若對任意\(x_1<x_2∈D\)，都有\(zhòng)(f(x_1)>f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(D\)上單調(diào)遞減。2.判定方法定義法：步驟為“取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論”（如證明\(f(x)=x2+2x\)在\((-1,+∞)\)上單調(diào)遞增，見專題訓(xùn)練）；圖像法：圖像上升則遞增，下降則遞減；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：“同增異減”（如\(f(g(x))\)，若\(f\)和\(g\)都遞增，則\(f(g(x))\)遞增；若\(f\)遞增、\(g\)遞減，則\(f(g(x))\)遞減）。（二）奇偶性1.定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域\(D\)關(guān)于原點對稱：若對任意\(x∈D\)，都有\(zhòng)(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)為偶函數(shù)（圖像關(guān)于\(y\)軸對稱）；若對任意\(x∈D\)，都有\(zhòng)(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)為奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點對稱）。2.判定步驟第一步：檢查定義域是否關(guān)于原點對稱（若不對稱，直接判定為非奇非偶函數(shù)）；第二步：計算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較（如\(f(x)=x|x|\)，\(f(-x)=-x|x|=-f(x)\)，故為奇函數(shù)）。（三）周期性1.定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(I\)，若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x∈I\)，都有\(zhòng)(x+T∈I\)且\(f(x+T)=f(x)\)，則\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為周期（如\(\sinx\)的周期為\(2π\(zhòng))）。三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是函數(shù)的“基石”，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。（一）一次函數(shù)表達式：\(y=kx+b\)（\(k≠0\)）；定義域：\(R\)；值域：\(R\)；圖像：直線（\(k\)為斜率，\(b\)為截距）；性質(zhì)：\(k>0\)時單調(diào)遞增，\(k<0\)時單調(diào)遞減。（二）二次函數(shù)表達式：\(y=ax2+bx+c\)（\(a≠0\)）；定義域：\(R\)；值域：\(a>0\)時\([\frac{4ac-b2}{4a},+∞)\)，\(a<0\)時\((-∞,\frac{4ac-b2}{4a}]\)；圖像：拋物線（\(a\)決定開口方向，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，頂點\((-\frac{2a},\frac{4ac-b2}{4a})\)）；性質(zhì)：\(a>0\)時，對稱軸左側(cè)遞減、右側(cè)遞增；\(a<0\)時相反。（三）指數(shù)函數(shù)表達式：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）；定義域：\(R\)；值域：\((0,+∞)\)；圖像：過點\((0,1)\)（\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減）；性質(zhì)：\(a^x>0\)，\(a^0=1\)。（四）對數(shù)函數(shù)表達式：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）；定義域：\((0,+∞)\)；值域：\(R\)；圖像：過點\((1,0)\)（\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減）；性質(zhì)：與指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)互為反函數(shù)（圖像關(guān)于\(y=x\)對稱）。（五）冪函數(shù)表達式：\(y=x^α\)（\(α\)為常數(shù)）；定義域：隨\(α\)變化（如\(α=1\)時\(R\)，\(α=\frac{1}{2}\)時\([0,+∞)\)，\(α=-1\)時\(x≠0\)）；性質(zhì)：\(α>0\)時，在\((0,+∞)\)上遞增；\(α<0\)時，在\((0,+∞)\)上遞減。四、函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)是解決實際問題的工具，主要應(yīng)用于函數(shù)與方程、函數(shù)模型。（一）函數(shù)與方程零點定義：\(f(x)=0\)的解（即函數(shù)圖像與\(x\)軸的交點橫坐標）；零點存在定理：若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)f(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)必有零點（如\(f(x)=x-1\)在\([0,2]\)上，\(f(0)=-1\)，\(f(2)=1\)，故\((0,2)\)內(nèi)有零點\(x=1\)）；二分法：通過不斷縮小零點區(qū)間，求近似值的方法（如求\(\sqrt{2}\)的近似值）。（二）函數(shù)模型的應(yīng)用1.一次函數(shù)模型：線性增長（如\(y=kx+b\)，表示勻速運動的路程）；2.二次函數(shù)模型：拋物線增長（如利潤函數(shù)\(L(x)=-ax2+bx+c\)，求最大利潤）；3.指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)增長（如\(y=a(1+r)^t\)，\(a\)為初始值，\(r\)為增長率，\(t\)為時間，表示人口增長）；4.對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)增長（如\(y=\log_at+b\)，增長緩慢，如地震震級與能量的關(guān)系）。五、專題訓(xùn)練（一）定義域與值域問題例題1：求\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\ln(x-2)}\)的定義域。解析：需滿足：\(x-1≥0\)（根號非負）；\(\ln(x-2)≠0\)（分母非零）；\(x-2>0\)（對數(shù)真數(shù)>0）。解得\(x>2\)且\(x≠3\)，即定義域為\((2,3)∪(3,+∞)\)。練習(xí)1：求\(f(x)=\log_2(\sqrt{x+1}-1)\)的定義域。（答案：\(x>0\)）（二）單調(diào)性與奇偶性問題例題2：證明\(f(x)=x2+2x\)在\((-1,+∞)\)上單調(diào)遞增。解析：1.取值：設(shè)\(x_1<x_2∈(-1,+∞)\)；2.作差：\(f(x_1)-f(x_2)=(x_12+2x_1)-(x_22+2x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)；3.判斷符號：\(x_1-x_2<0\)，\(x_1+x_2+2>0\)（因\(x_1>-1\)，\(x_2>-1\)），故乘積<0；4.結(jié)論：\(f(x_1)<f(x_2)\)，單調(diào)遞增。練習(xí)2：證明\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+∞)\)上單調(diào)遞減。（答案：略）（三）基本初等函數(shù)圖像與性質(zhì)問題例題3：比較\(2^{0.3}\)、\(0.3^2\)、\(\log_20.3\)的大小。解析：\(2^{0.3}>2^0=1\)（指數(shù)函數(shù)遞增）；\(0<0.3^2<0.3^0=1\)（指數(shù)函數(shù)遞減）；\(\log_20.3<\log_21=0\)（對數(shù)函數(shù)遞增）。故順序為：\(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}\)。練習(xí)3：比較\(\log_32\)、\(\log_23\)、\(2^3\)的大小。（答案：\(\log_32<\log_23<2^3\)）（四）函數(shù)應(yīng)用問題例題4：某商店銷售商品，成本10元/件，售價\(x\)元（\(x≥10\)），銷售量\(y=____x\)（\(x≤20\)），求利潤\(L(x)\)的最大值。解析：利潤函數(shù)：\(L(x)=(x-10)y=(x-10)(____x)=-10x2+300x-2000\)；對稱軸：\(x=-\frac{300}{2×(-10)}=15\)（在\([10,20]\)內(nèi)）；最大值：\(L(15)=-10×152+300×____=250\)元。練習(xí)4：某工廠月產(chǎn)量\(y=100×2^x\)（\(x\)為月份），求第3到第