山西省原平市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編專項測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，中，，將折疊，使點C與的中點D重合，折痕交于點M，交于點N，則線段的長為（

）.A． B． C．3 D．2、如圖，△ABC中，，以其三邊分別向外側(cè)作正方形，然后將整個圖形放置于如圖所示的長方形中，若要求圖中兩個陰影部分面積之和，則只需知道（

）A．以BC為邊的正方形面積 B．以AC為邊的正方形面積C．以AB為邊的正方形面積 D．△ABC的面積3、如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和3cm，高為6cm．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈達到點B，那么所用細線最短需要（

）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm4、如圖，長方形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形紙片折疊，使點D與點B重合，點C落在點H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為（

）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm25、如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底墻到左墻角的距離為1.5m，頂端距離地面2m，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面0.7m，那么小巷的寬度為（

）A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m6、如圖，在中，，cm，cm，點、分別在、邊上．現(xiàn)將沿翻折，使點落在點處．連接，則長度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．67、下列各組數(shù)：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股數(shù)的有(

)A．4組 B．3組 C．2組 D．1組第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍叮ㄕ?、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達池邊的水面D處，問水的深度是多少？則水深DE為_____尺．2、對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則____________．3、學(xué)習(xí)完《勾股定理》后，尹老師要求數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)測量學(xué)校旗桿的高度．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面并多出了一段，但這條繩子的長度未知．如圖，經(jīng)測量，繩子多出的部分長度為1米，將繩子沿地面拉直，繩子底端距離旗桿底端4米，則旗桿的高度為______米．4、已知a、b、c是一個三角形的三邊長，如果滿足，則這個三角形的形狀是_______．5、如圖，點在正方形的邊上，若，，那么正方形的面積為_．6、《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地，問木長幾何？”其意思為：今有墻高1丈，倚木桿于墻，使木之上端與墻平齊，牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．問木桿是多長？（1丈=10尺）設(shè)木桿長為x尺根據(jù)題意，可列方程為______．7、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．E為線段BD上一點，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上．若AB=10，BC=8，則△ACE的面積為________．8、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，則∠ACB的度數(shù)等于_____．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、下圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形CDEF為一木質(zhì)平臺的主視圖．小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大膽猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱AB段的正確長度．2、一個25米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時的距離為24米，如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，那么梯子底端B外移多少米？3、如圖，，兩個工廠位于一段直線形河道的異側(cè)，工廠至河道的距離為，工廠至河道的距離為，經(jīng)測量河道上、兩地間的距離為，現(xiàn)準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠．(1)設(shè)，請用的代數(shù)式表示的長______；（結(jié)果保留根號）(2)為了使，兩廠到污水處理廠的排污管道之和最短，請在圖中畫出污水廠位置，并求出排污管道最短長度？(3)通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運用數(shù)形結(jié)合思想，請你求出的最小值為多少？4、如圖，已知和中，，，，點C在線段BE上，連接DC交AE于點O．（1）DC與BE有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）若，，求DE的長．5、一架梯子長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？6、如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）連結(jié)AE，當BC＝5，AC＝12時，求AE的長．7、《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可得DN=CN，根據(jù)勾股定理可求DN的長，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵D是AB中點，AB=4，∴AD=BD=2，∵將△ABC折疊，使點C與AB的中點D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故選：D．【考點】本題考查了翻折變換、折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練運用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】如圖所示，過點C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，證明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，則，即可推出由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面積的面積即可求出陰影部分的面積，故選D【考點】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．3、B【解析】【詳解】要求所用細線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．解：將長方體展開,連接AB′，則AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB′=cm.故選B..4、A【解析】【分析】根據(jù)折疊的條件可得：，在中，利用勾股定理就可以求解．【詳解】將此長方形折疊，使點與點重合，，，根據(jù)勾股定理得：，解得：．．故選：A．【考點】本題考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】【分析】如圖，在Rt△ACB中，先根據(jù)勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根據(jù)勾股定理求出BD，進而可得答案．【詳解】解：如圖，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+0.72＝6.25，∴BD2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．故選：C．【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6、C【解析】【分析】當H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，于是得到結(jié)論．【詳解】解：當H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故選：C．【考點】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】【詳解】解：∵32+42=52，①符合勾股數(shù)的定義；∵42+52≠62，②不符合勾股數(shù)的定義；∵2.5和6.5不是正整數(shù)，③不符合勾股數(shù)的定義；∵82+152=172，④符合勾股數(shù)的定義，是勾股數(shù)的有：①④，共2組，故選：C．二、填空題1、12【解析】【分析】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．【詳解】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12．【考點】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．2、34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【考點】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．3、7.5；【解析】【分析】旗桿、拉直的繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖，設(shè)旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗桿的高度為7.5m，故答案為7.5．【考點】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4、直角三角形【解析】【分析】根據(jù)絕對值、完全平方數(shù)和算數(shù)平方根的非負性，可求解出a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，∵，∴三角形為直角三角形．故答案為直角三角形．【考點】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，運用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．5、．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)正方形的面積公式計算即可．【詳解】解：由勾股定理得，，正方形的面積，故答案為．【考點】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．6、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】當木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為x尺，則木桿底端離墻有（x-1）尺，根據(jù)勾股定理可列出方程．【詳解】解：如圖，設(shè)木桿AB長為x尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案為：102+（x-1）2=x2．【考點】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從而運用勾股定理解題．7、【解析】【分析】求出AC=6，面積法求出CD=，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD=，即可得B'D=B'C-CD=，設(shè)BE=B'E=x，則DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE=4，即可得到答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC==6，∵CD⊥AB，∴2S△ABC=AB?CD=AC?BC，∴CD==，在Rt△BCD中，BD=，∵將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B'落在CD的延長線上，∴B'C=BC=8，BE=B'E，∴B'D=B'C-CD=8-=，設(shè)BE=B'E=x，則DE=BD-BE=-x，在Rt△B'DE中，B'D2+DE2=B'E2，∴（）2+（-x）2=x2，解得x=4，∴BE=4，∴AE=AB-BE=6，∴△ACE的面積為AE?CD=×6×=，故答案為：．【考點】本題考查直角三角形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練運用勾股定理．8、90°##90度【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式求出AC=4，根據(jù)勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．【詳解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，∴×AC×DE=6，∴AC=4，∴，∵AB＝5，∴AB2＝25，∴，∴∠ACB=90°．故答案為：90°【考點】本題考查了勾股定理逆定理和三角形的面積應(yīng)用，熟練掌握勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．三、解答題1、小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【解析】【分析】延長FC交AB于點G，設(shè)BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，進而可得AB的正確長度【詳解】解：如圖，延長FC交AB于點G則CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米設(shè)BG=x米，則BC=(26－1－x)米在Rt△BGC中，∵∴解得

∴BA=BG＋GA=8+1=9（米）∴小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【考點】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形2、8米．【解析】【分析】梯子下滑4米，梯子的長度不變始終為25米，利用勾股定理分別求出OB、OB＇的長度，進而求出BB＇的長度即可．【詳解】解：如圖，依題意可知AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，∴BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，∴BO＝7(米)，移動后，＝20(米)，∴(米)，∴(米)．答：梯子底端B外移8米．【考點】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用及勾股定理在直角三角形中的正確運用，本題中求的長度是解題的關(guān)鍵．3、(1)+；(2)污水廠位置見解析，排污管道最短長度為10km；(3)13【解析】【分析】（1）依據(jù)ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根據(jù)勾股定理可用x表示出AE＋BE的長；（2）根據(jù)兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．過點B作BF⊥AC于F，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長；（3）根據(jù)AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代數(shù)式的值為13．(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得AE＝，BE＝，∴AE+BE＝+；(2)解：根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置，如圖：過點B作BF⊥AC于F，則有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，∴AF＝AC＋CF＝6，在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，∴排污管道最短長度10km；(3)解：根據(jù)以上推理，可作出下圖：設(shè)ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．當A、E、B共線時求出AB的值即為原式最小值．當A、E、B共線時，＝＝13，即其最小值為13．故答案為：13．【考點】本題考查了最短路線問題，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，利用兩點之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．4、（1），見解析；（2）【解析】【分析】（1）易證，再根據(jù)全等性質(zhì)即可求得；（2）由BC和CE可得BE，再由全等的，再根據(jù)勾股定理即可求得；【詳解】（1）．證明：．在和中，．（