第十一章

磁場(chǎng)

第57講帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

基礎(chǔ)梳理·易錯(cuò)辨析

核心考點(diǎn)·重點(diǎn)突破

名師講壇·素養(yǎng)提升

提能訓(xùn)練練案[57]

返回導(dǎo)航

基礎(chǔ)梳理·易錯(cuò)辨析

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一、洛倫茲力

運(yùn)動(dòng)電荷

1．洛倫茲力：磁場(chǎng)對(duì)____________的作用力。

2．洛倫茲力的方向(左手定則)

垂直

(1)伸出左手，使拇指與其余四個(gè)手指________，并且都與手掌在同

一個(gè)平面內(nèi)。

四指

(2)讓磁感線從掌心進(jìn)入，并使________指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向(或

負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向)。

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拇指

(3)________所指的方向就是運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力的方

向。

正電荷負(fù)電荷

如圖，①表示__________運(yùn)動(dòng)的方向或__________運(yùn)動(dòng)的反方向，

磁場(chǎng)

②表示________的方向，③表示__洛__倫__茲__力____的方向。

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3．洛倫茲力的大小：F＝___q_v_B_s_in__θ___，θ是v與B之間的夾角。

(1)當(dāng)v∥B時(shí)，F(xiàn)＝___0___。

(2)當(dāng)v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝____q_v_B____。

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二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1．洛倫茲力的特點(diǎn)：由于洛倫茲力F⊥___B___，F(xiàn)⊥___v___，即F

平面

垂直于B和v決定的________，所以洛倫茲力不改變帶電粒子速度的

大小不做功

________，或者說，洛倫茲力對(duì)帶電粒子__________。

2．粒子的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

不受洛倫茲力勻速直線運(yùn)動(dòng)

(1)若v0∥B，則粒子_____________，在磁場(chǎng)中做______________。

勻速圓周運(yùn)動(dòng)

(2)若v0⊥B，則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做________________。

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3．基本公式

(1)由qvB＝_______，得r＝______。

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1．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)一定會(huì)受到磁場(chǎng)力的作用。(×)

2．洛倫茲力的方向在特殊情況下可能與帶電粒子的速度方向不垂

直。(×)

×

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4．由于安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，所以洛倫茲力也可能做

功。(×)

5．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)半徑與帶電

粒子的比荷有關(guān)。(√)

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核心考點(diǎn)·重點(diǎn)突破

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1對(duì)洛倫茲力的理解

(基礎(chǔ)考點(diǎn)·自主探究)

1．洛倫茲力的特點(diǎn)

(1)洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永

不做功。

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。

(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力時(shí)，要注意

將四指指向負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。

2．洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別

(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力。

(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。

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3．洛倫茲力與靜電力的比較

洛倫茲力靜電力

產(chǎn)生

v≠0且v不與B平行電荷處在電場(chǎng)中

條件

大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE

正電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，負(fù)電荷

方向F⊥B且F⊥v

受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反

做功

任何情況下都不做功可能做正功，可能做負(fù)功，也可能不做功

情況

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【跟蹤訓(xùn)練】

1(洛倫茲力的特點(diǎn))真空中豎直放置一通電長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線，俯視圖如圖

所示。以導(dǎo)線為圓心作圓，光滑絕緣管ab水平放置，兩端恰好落在圓周

上。直徑略小于絕緣管直徑的帶正電小球自a端以速度v0向b端運(yùn)動(dòng)過程

中，下列說法正確的是()

A．小球先加速后減速

B．小球受到的洛倫茲力始終為零

C．小球在ab中點(diǎn)受到的洛倫茲力為零

D．小球受到洛倫茲力時(shí)，洛倫茲力方向始終豎直向上

[答案]C

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[解析]根據(jù)安培定則可知，直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感線如圖中虛

線所示，洛倫茲力始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直，故不做功，小球速率不

變，A錯(cuò)誤；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到ab中點(diǎn)時(shí)，磁感線與速度方向平行，所受洛倫茲

力為零，自a端到中點(diǎn)洛倫茲力豎直向下，中點(diǎn)到b端洛倫茲力豎直向

上，B、D錯(cuò)誤，C正確。

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2(洛倫茲力與靜電力的比較)如圖所示，甲、乙是豎直面內(nèi)兩個(gè)相同

的半圓形光滑軌道，M、N分別為兩軌道的最低點(diǎn)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于甲

軌道平面，勻強(qiáng)電場(chǎng)平行于乙軌道平面，兩個(gè)完全相同的帶正電小球

a、b分別從甲、乙兩軌道的右側(cè)最高點(diǎn)由靜止釋放，在它們第一次到達(dá)

最低點(diǎn)的過程中，下列說法正確的是()

A．a(chǎn)球下滑的時(shí)間比b球下滑的時(shí)間長(zhǎng)

B．a(chǎn)、b兩球的機(jī)械能均不守恒

C．a(chǎn)球到M點(diǎn)的速度小于b球到N點(diǎn)的速度

D．a(chǎn)球?qū)點(diǎn)的壓力大于b球?qū)點(diǎn)的壓力

[答案]D

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2帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

(能力考點(diǎn)·深度研析)

1．帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定

(1)圓心的確定方法

①若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力

F的方向，其交點(diǎn)即為圓心，如圖甲。

②若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，弦的中

垂線與速度垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖乙。

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(2)半徑的計(jì)算方法

方法二連半徑構(gòu)出三角形，由數(shù)學(xué)方法解三角形或勾股定理求得

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常用到的幾何關(guān)系

①粒子的偏轉(zhuǎn)角等于半徑掃過的圓心角，如圖乙，φ＝α。

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(3)時(shí)間的計(jì)算方法

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2．帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的常見情形

(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)

(2)平行邊界(往往存在臨界條件，如圖所示)

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(3)圓形邊界

①速度指向圓心：沿徑向射入必沿徑向射出，如圖甲所示。粒子軌

跡所對(duì)應(yīng)的圓心角一定等于速度的偏向角。

②速度方向不指向圓心：如圖乙所示。粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與

半徑夾角為θ，則粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與半徑夾角也為θ。

③環(huán)形磁場(chǎng)：如圖丙所示，帶電粒

子沿徑向射入磁場(chǎng)，若要求粒子只在環(huán)

形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則一定沿半徑方向

射出，當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與內(nèi)圓相切

時(shí)，粒子有最大速度或磁場(chǎng)有最小磁感

應(yīng)強(qiáng)度。

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?考向1帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

(2024·廣西卷)Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域如圖所示，磁

感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒

子，以初速度v從O點(diǎn)沿x軸正向開始運(yùn)動(dòng)，粒子過y軸時(shí)速度與y軸正向

夾角為45°，交點(diǎn)為P。不計(jì)粒子重力，則P點(diǎn)至O點(diǎn)的距離為()

[答案]C

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?考向2帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

(2024·湖北卷)如圖所示，在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域

內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。圓形區(qū)域外有

大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為

q(q>0)的帶電粒子沿直徑AC方向從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域。不計(jì)重力，下列

說法正確的是()

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A．粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能經(jīng)過O點(diǎn)

B．粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向

[答案]D

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反思提升

無(wú)論帶電粒子在哪類邊界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，解題時(shí)要抓住三

個(gè)步驟：

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【跟蹤訓(xùn)練】

3

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A．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為L(zhǎng)

B．與OC成45°角入射的粒子將從AC邊射出

C．在AC邊界上有粒子射出的區(qū)域長(zhǎng)度為L(zhǎng)

D．所有從OA邊界射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等

[答案]ABC

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4(帶電粒子在正方形邊界中的運(yùn)動(dòng))(多選)(2024·河北卷)如圖，真空區(qū)

域有同心正方形ABCD和abcd，其各對(duì)應(yīng)邊平行，ABCD的邊長(zhǎng)一定，

abcd的邊長(zhǎng)可調(diào)，兩正方形之間充滿恒定勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于正方形

所在平面。A處有一個(gè)粒子源，可逐個(gè)發(fā)射速度不等、比荷相等的粒

子，粒子沿AD方向進(jìn)入磁場(chǎng)。調(diào)整abcd的邊長(zhǎng)，可使速度大小合適的粒

子經(jīng)ad邊穿過無(wú)磁場(chǎng)區(qū)后由BC邊射出。對(duì)滿足前述條件的粒子，下列說

法正確的是()

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A．若粒子穿過ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為45°，則粒子必垂直

BC射出

B．若粒子穿過ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為60°，則粒子必垂直

BC射出

C．若粒子經(jīng)cd邊垂直BC射出，則粒子穿過ad邊時(shí)速度方向與ad邊

夾角必為45°

D．若粒子經(jīng)bc邊垂直BC射出，則粒子穿過ad邊時(shí)速度方向與ad邊

夾角必為60°

[答案]AD

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[解析]設(shè)粒子穿過ad邊時(shí)速度方向與ad邊夾角為θ。若粒子穿過ad

邊、cd邊垂直BC射出，則運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌

跡的半徑為r，ef的長(zhǎng)度為l，則rsinθ＋lcosθ＝rcosθ＋lsinθ，即(r－

l)(sinθ－cosθ)＝0，可得r＝l或θ＝45°時(shí)，粒子必垂直BC射出，其中

當(dāng)r＝l時(shí)，與θ大小無(wú)關(guān)，A正確，C錯(cuò)誤；若粒子穿過ad邊時(shí)速度方向

與ad邊夾角為60°，且粒子從cd邊再次進(jìn)入磁場(chǎng)，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如

圖乙所示，可見粒子不可能垂直BC射出，B錯(cuò)誤；若粒子穿過ad邊、bc

邊垂直BC射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖丙所示，設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)1，小正方形

邊長(zhǎng)為L(zhǎng)2，對(duì)粒子穿過ad邊前在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)幾何關(guān)系有

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名師講壇·素養(yǎng)提升

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帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題

?考向1磁場(chǎng)方向不確定形成多解

分析圖例

只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，

而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)

度方向，由于磁感應(yīng)強(qiáng)

度方向不確定而形成多

粒子帶正電，若B垂直紙面向里，其軌跡為a，

解

若B垂直紙面向外，其軌跡為b

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(多選)一質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)

磁場(chǎng)中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若磁場(chǎng)方向

垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面，且作用在負(fù)電荷的靜電力恰好是磁場(chǎng)力的三倍，

則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是()

[答案]BD

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?考向2帶電粒子電性不確定形成多解

分析圖例

帶電粒子可能帶正電荷，

也可能帶負(fù)電荷，初速度

相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁

場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成

如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌

多解

跡為b

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(多選)如圖所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)存在垂直紙

面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在MN邊界放一剛性擋板，粒

子碰到擋板則能夠以原速率彈回。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以某

一速度垂直于磁場(chǎng)方向從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，恰好從Q點(diǎn)射出。下列說法正確

的是()

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A．帶電粒子一定帶負(fù)電荷

[答案]CD

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?考向3臨界狀態(tài)不確定形成多解

(多選)長(zhǎng)為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所

示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為l，極板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷

量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度

v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是()

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[答案]AB

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?考向4運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解

分析圖例

帶電粒子在部分是電場(chǎng)，

部分是磁場(chǎng)或相鄰兩部分

磁場(chǎng)方向不同的空間運(yùn)動(dòng)

時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，

CD＝l，l＝n·2r，即粒子到D點(diǎn)半徑有