第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江西省宜春市高安市石腦中學高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數列2，7，10，13，4，…，3n+1，…，則該數列的第40A.30 B.230 C.112.設函數y=f(x)在x=x0處可導，若Δx→0limf(xA.1 B.?1 C.?13 3.已知數列{an}，滿足an+1=11?A.2 B.12 C.?1 D.4.已知曲線y=eax在點(0,1)處的切線與直線2x?y+1=0垂直，則a=(

)A.12 B.?12 C.25.用數學歸納法證明等式1n+1+1n+2+…+13n+1>1(n≥2)A.增加了項

13(k+1)+1 B.增加了項

13k+2+13k+3+13k+46.已知函數f(x)的圖象如圖所示，不等式xf′(x)>0的解集是(

)A.(?3,?2)∪(0,2) B.(?3,?2)∪(2,3) C.(?2,0)∪(0,2) D.(?2,0)∪(2,3)7.數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，A.3×44 B.3×44+1 8.已知函數f(x)=(x+1)ex，f(x)=k有2個實數解，則k的取值范圍是(

)A.(?∞,?1e2) B.(?1e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列導數運算正確的是(

)A.(sin3x)′=3cos3x B.(e2)′=2e

C.[10.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2021>0A.數列{an}是遞減數列 B.|a1012|<|a1011|11.若函數f(x)=x3+x2?5x?2在區(qū)間(m,m+5)A.?4 B.?3.5 C.?3 D.?2.5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數f(x)=?x2+3xf′(1)+6ln(2x+1)，則f′(1)=

13.等比數列{an}的前n項和為Sn，若S4=4，S14.已知函數f(x)=x+1ex?ax有兩個極值點，則實數四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在①a7=1，②S8=48，③a8+a9=?4這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．

設等差數列{an}的前n項和為S16.(本小題15分)

已知函數f(x)=x3?3x2?9x+1(x∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區(qū)間和極值．

(2)若17.(本小題15分)

在遞增的等比數列{an}中，a2+a3+a4=39，且2a3?3是a2和a4的等差中項．

18.(本小題17分)

已知數列{an}滿足a1=2,an+1=2an+3?2n+1．

(1)證明：數列{a19.(本小題17分)

已知函數f(x)=ex?ax2，a∈R，f′(x)為函數f(x)的導函數．

(1)討論函數f′(x)的單調性；

(2)若任意x∈(0,1)，f(x)+f′(x)<2?a答案解析1.【答案】C

【解析】解：因為數列2，7，10，13，4，…，3n+1，…，

所以數列的通項公式為an=3n+1，

所以該數列的第40項為a40=2.【答案】C

【解析】解：∵Δx→0limf(x0?3Δx)?f(x0)Δx=?3Δx→03.【答案】C

【解析】解：數列{an}滿足an+1=11?an，若a1=12，

可得a2=11?a1=2，a3=11?a2=?1，a4.【答案】B

【解析】解：因為y=eax，所以y′=aeax，

又曲線y=eax在點(0,1)處的切線與直線2x?y+1=0垂直，

所以a×2=?1，所以a=?12．5.【答案】C

【解析】解：用數學歸納法證明等式1n+1+1n+2+…+13n+1>1(n≥2)的過程中，

假設n=k時不等式成立，左邊=1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1(k≥2)，

則當n=k+1時，左邊=1k+2+1k+3+…+13k+1+16.【答案】B

【解析】解：由圖可得：當x∈(?3,?2)時，f′(x)<0，則xf′(x)>0；

當x∈(?2,0)時，f′(x)>0，則xf′(x)<0；

當x∈(0,2)時，f′(x)<0，則xf′(x)<0；

當x∈(2,3)時，f′(x)>0，則xf′(x)>0．

則不等式xf′(x)>0的解集是(?3,?2)∪(2,3)．

故選：B．

根據函數圖象的單調性確定導函數f′(x)的符號，結合x的符號即可判斷．

本題主要考查了導數與單調性關系的應用，體現了數形結合思想的應用，屬于基礎題．7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查學生掌握等比數列的確定方法，會根據首項和公比寫出等比數列的通項公式，屬于中檔題．

【解答】

解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn?1(n≥2)，

兩式相減得：an+1?an=3(Sn?Sn?1)=3an，

則a8.【答案】B

【解析】解：因為f(x)=(x+1)ex，

所以f′(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，

令f′(x)>0，解得x>?2，

令f′(x)<0，解得x<?2，

所以函數f(x)在(?∞,?2)上單調遞減，在(?2,+∞)上單調遞增，

即有f(x)min=f(?2)=?1e2，

且當x→?∞時，f(x)→0，當x→+∞時，f(x)→+∞，

方程f(x)=k(k∈R)有2個解時，

只需函數9.【答案】AC

【解析】解：(sin3x)′=3cos3x，(e2)′=0，[ln(2x)]′=22x=1x，10.【答案】BC

【解析】解：由S2021=2021(a1+a2021)2=2021a1011>0，得a1011>0，

由S2022=2022(a1+a2022)2=1011(a1011+a1012)<0，得a1011+a1012<0，

∴a1012<0且|a1012|>|a101111.【答案】CD

【解析】【分析】本題考查利用導數研究函數的單調性和極值，利用導數根據函數最值求參，屬于中檔題．

由題意，對函數f(x)進行求導，利用導數得到f(x)的單調性和極值，將函數f(x)在區(qū)間(m,m+5)內有最小值，轉化成m<1<m+5，令f(x)=?5，列出等式求解即可．【解答】

解：已知f(x)=x3+x2?5x?2，函數定義域為R，

可得f′(x)=3x2+2x?5=(3x+5)(x?1)，

當x<?53時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當?53<x<1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；

當x>1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

所以當x=1時，

函數f(x)取得極小值，極小值f(1)=?5，

若函數f(x)在區(qū)間(m,m+5)內有最小值，

則m<1<m+5，

解得?4<m<1，

當f(x)=?5，

即x3+x2?5x+3=0時，

整理得(x?1)212.【答案】?1

【解析】【分析】本題考查了導數的運算，解題的關鍵是掌握常見函數的求導公式以及復合函數的求導公式，考查了運算能力，屬于基礎題．

先求出f′(x)，然后令x=1，即可求得f′(1)．【解答】

解：因為f(x)=?x2+3xf′(1)+6ln(2x+1)，

所以f′(x)=?2x+3f′(1)+122x+1，

則f′(1)=?2+3f′(1)+122+1，

13.【答案】28

【解析】解：若{an}的公比為?1，則S4=0，不符合題意，

所以{an}的公比不為?1，

故S4，S8?S4，S12?S8成等比數列，

因為S4=4，S8=12，所以(S8?S14.【答案】(?1【解析】解：因為函數f(x)=x+1ex?ax有兩個極值點，所以方程f′(x)=?xex?a=0有兩不等實根，

令g(x)=xex，則g(x)=xex與直線y=?a有兩不同交點，

又g′(x)=1?xex，由g′(x)=1?xex=0得x=1，

所以，當x<1時，g′(x)>0，即g(x)=xex單調遞增；

當x>1時，g′(x)<0，即g(x)=xex單調遞減；

所以g(x)max=g(1)=1e，又g(0)=0，

當x趨向于正無窮時，g(x)趨于0，且g(x)=xex>0；15.【答案】an=?2n+15；

49【解析】(1)選①，設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，

由題意得a7=a1+6d=1S4=4a1+6d=40，

解得a1=13，d=?2，

∴數列{an}的通項公式為an=13+(n?1)?(?2)=?2n+15；

選②，設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，

由題意得S8=8a1+28d=48S4=4a1+6d=40，

解得a1=13，d=?2，

∴數列{an}的通項公式為an=13+(n?1)?(?2)=?2n+15；

選③，設等差數列{an}的首項為a1，公差為16.【答案】解：(1)因為f(x)=x3?3x2?9x+1(x∈R)，

則f′(x)=3x2?6x?9=3(x+1)(x?3)x(?∞,?1)?1(?1,3)3(3,+∞)f′(x)+0?0+f(x)增極大值減極小值增所以，函數f(x)的增區(qū)間為(?∞,?1)、(3,+∞)，減區(qū)間為(?1,3)，

函數f(x)的極大值為f(?1)=?1?3+9+1=6，極小值為f(3)=27?27?27+1=?26．

(2)由(1)可知，函數f(x)在區(qū)間[?2,?1]上單調遞增，在[?1,3]上單調遞減，在[3,4]上單調遞增，

且f(?2)=?8?12+18+1=?1，故當x∈[?2,4]時，f(x)min=min{f(?2),f(3)}=f(3)=?26，

因為2a?1≤f(x)，對?x∈[?2,4]恒成立，則2a?1≤f(x)min=?26，解得a≤?252【解析】(1)利用導數與函數單調性之間的關系可求得函數f(x)的增區(qū)間和減區(qū)間，即求得函數f(x)的極大值和極小值；

(2)利用導數求出函數f(x)在區(qū)間[?2,4]上的最小值，可得出2a?1≤f(x)，由此可解得實數a的取值范圍．

本題考查利用導數研究函數的極值，涉及導數與函數單調性之間的關系，屬于簡單題．17.【答案】解：(1)∵在遞增的等比數列{an}中，a2+a3+a4=39，且2a3?3是a2和a4的等差中項，

∴a2+a4=2(2a3?3)，

∵a2+a3+a4=39，

∴2(2a3?3)+a3=39，

解得a3=9，

故a【解析】(1)根據條件求出a3=9，結合a2+a4=30可得公比q=3，由此計算a1=2可得數列18.【答案】證明：數列{an}滿足a1=2,an+1=2an+3?2n+1，

兩邊同時除以2n+1，可得an+12n+1=an【解析】(1)證明：數列{an}滿足a1=2,an+1=2an+3?2n+1，

兩邊同時除以2n+1，可得an+12n+1=an2n+3，

即an+12n+1?an2n=3，且a12=1，

所以數列{an2n}是以1為首項，3為公差的等差數列．

(2)(i)由(1)19.【答案】答案見解析；

[e?1,+∞)．

【解析】解：(1)根據題目：已知函數f(x)=ex?ax2，a∈R，

因為f(x)=ex?ax2，且定義域為R，

所以f′(x)=ex?2ax，令g(x)=ex?2ax，則g′(x)=ex?2a，

當a≤0時，g′(x)>0，函數f′(x)在R上單調遞增；

當a>0時，令g′(x)>0，得到x∈(ln2a,+∞)，令g′(x)<0，得到x∈(?∞,ln2a)，