第頁(yè)第15講2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解雙曲線中a，b，c，e的幾何意義及范圍。②會(huì)根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾何性質(zhì)，會(huì)用雙曲線的幾何意義解決相關(guān)問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問題知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系【即學(xué)即練1】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，由于焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02：等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；【即學(xué)即練2】經(jīng)過點(diǎn)且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為【答案】【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，所求雙曲線方程為：.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)03：直線與雙曲線的位置關(guān)系1、代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時(shí)，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；【即學(xué)即練3】直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】2【詳解】由，可得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故答案為：2知識(shí)點(diǎn)04：弦長(zhǎng)公式1、直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則為直線斜率2、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng).【即學(xué)即練4】過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，所以．故答案為：知識(shí)點(diǎn)05：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）【即學(xué)即練5】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)椋?，則，所以漸近線方程為.故選：C.知識(shí)點(diǎn)06：雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以【即學(xué)即練6】過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A題型01由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)【例1】（多選）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（

）A．焦距B．頂點(diǎn)坐標(biāo)C．離心率D．漸近線方程【答案】CD【詳解】由方程，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，，則焦距為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，漸近線方程為.故選：CD.【變式1】（多選）已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為1B．虛軸長(zhǎng)為2C．離心率D．漸近線方程為【答案】BCD【詳解】由可知，，故實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率，漸近線方程為，即.故選：BCD題型02根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)雙曲線的方程為，故，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.【變式1】一雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點(diǎn)所在軸相同，則該雙曲線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在軸上，離心率，即，所以，又因?yàn)殡p曲線的虛軸長(zhǎng)為，即，所以，即，所以，所以所求雙曲線的方程為：.故選：C.【變式2】已知雙曲線的離心率，實(shí)半軸長(zhǎng)為4，則雙曲線的方程為.【答案】【詳解】由已知可得,即得,所以雙曲線方程為:.故答案為:.題型03雙曲線的漸近線問題【例1】已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2B．C．D．【答案】C【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為，∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.∴雙曲線的離心率為.故選：C.【例2】已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由得雙曲線的漸近線方程為．∵雙曲線的離心率為2，∴，解得，∴雙曲線的漸近線方程為．故選：A．【變式1】雙曲線的右焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為（

）A．2B．C．3D．4【答案】A【詳解】依題意得，，，所以，，，所以漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，所以點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A【變式2】已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作直線的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于兩點(diǎn)（如圖）.若構(gòu)成以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】【詳解】由題意可得，由雙曲線的定義及點(diǎn)在右支上，，又點(diǎn)在左支上，則，則，在中，由余弦定理可得，而與漸近線垂直，于是，即，從而得，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：題型04雙曲線的離心率問題（定值）【例1】古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率.【答案】【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，則，，可得四邊形為平行四邊形，

又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．設(shè)，，在中，，則，，，，，，解得．雙曲線的離心率為．故答案為：．【例2】已知雙曲線，（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為.【答案】【詳解】

如圖所示，設(shè)，則，所以，又M在第一象限，即，故，因?yàn)椋^M作軸于D，，故，即，故，解之得（負(fù)值舍去）.故答案為：【變式1】已知直線是雙曲線（）的一條漸近線，則的離心率為.【答案】【詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，所以C的離心率為.故答案為：題型05雙曲線的離心率問題（最值或范圍）【例1】已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】如圖，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?故選：A.

【例2】雙曲線（，）的焦距為，已知點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】依題意直線：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故選：B【變式1】設(shè)點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O且斜率的直線與雙曲線C交于A?B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P，BF的中點(diǎn)為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線方程知，，則.因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，由對(duì)稱性，原點(diǎn)平分線段，又原點(diǎn)平分線段，所以四邊形為平行四邊形.在和中，分別有中位線，，，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，為直角三角?不妨設(shè)在第一象限，設(shè)直線傾斜角為，則，且，在Rt中可得：，所以，因?yàn)?，所以，又在上為增函?shù)，所以.故答案為：

【變式2】已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是.【答案】【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對(duì)稱性可知點(diǎn)B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闉橹本€的傾斜角，且，所以在中，，且，則，即，即，即，解得，所以該雙曲線離心率的取值范圍是，故答案為：題型06根據(jù)雙曲線的離心率求參數(shù)【例1】已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，可得，即，解得，即雙曲線的漸近線的方程為.故選：B.【變式1】已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，若的離心率為，則的值為（

）A．3B．C．2D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因?yàn)?即.故選：A題型07直線與雙曲線的位置關(guān)系【例1】已知直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由得，方程在有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，所以,解得.故答案為：.【變式1】已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【答案】【詳解】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正，且不等，于是，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：

【變式2】若直線l過點(diǎn)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有條．【答案】4【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線為，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，代入曲線方程整理得，若，則，此時(shí)有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸近線的直線，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則由，得，此時(shí)有一條直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上，這樣的直線共有4條．故答案為：4題型08弦長(zhǎng)問題【例1】已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，故或，故直線方程為或【變式1】已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，且該雙曲線過點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過左焦點(diǎn)作斜率為的弦AB，求AB的長(zhǎng)；(3)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)25(3)54【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，由題意得，解得，所以雙曲線方程為.（2）依題意得直線AB的方程為，設(shè)，.聯(lián)立，得，，且，所以.（3）由（2）知A，B兩點(diǎn)都在雙曲線左支上，且，由雙曲線定義，，從而，的周長(zhǎng)為．題型09三角形面積問題【例1】已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，而，且，所以，故，故選：D.【例2】已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上.若的周長(zhǎng)為，則的面積是.【答案】【詳解】解：設(shè)，因?yàn)殡p曲線：（）的離心率為3，所以，即，又的周長(zhǎng)為，所以，由雙曲線的定義得，解得，由余弦定理得，則，所以，故答案為：【變式1】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18B．10C．9D．6【答案】C【詳解】直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則四邊形為矩形，所以，，

由雙曲線可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以．故選：C．【變式2】已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，其中與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，若，且，則的面積為.【答案】【詳解】由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，解得，所以，.故答案為：題型10中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法【例1】已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.【變式1】雙曲線的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線方程為.【答案】【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可得此弦所在的直線斜率存在，設(shè)弦的兩端分別為，，則有，兩式相減得，所以，又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，故直線斜率，則所求直線方程為，整理得，由得，，故該直線滿足題意，故答案為：【變式2】已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）【詳解】（1）由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即課后鞏固練習(xí)一、單選題1．雙曲線的離心率為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，，所以，的離心率，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.2．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.3．若雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或B．C．D．【答案】C【詳解】由題可得，解得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.4．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，點(diǎn)在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，即，由題可知，，得．故選：D.5．過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2B．3C．4D．6【答案】C【詳解】左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦，又，所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，因?yàn)閷?shí)數(shù)使得的直線恰有3條，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于軸對(duì)稱.如圖所示：

所以當(dāng)時(shí)，有3條直線滿足題意.故選：C6．已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，而，且，所以，故，故選：D.7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，若，則（

）A．2B．4C．8D．16【答案】A【詳解】雙曲線，則，，，由可得，設(shè)為右支上一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接、，則四邊形為矩形，所以，設(shè)，，則，，所以.故選：A8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線分別經(jīng)過雙曲線的實(shí)軸和虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，，到直線的距離和大于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)直線經(jīng)過，則直線的方程為，即，則到直線的距離分別為，，故，解得，故離心率，故雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B二、填空題9．若雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，則的焦距為.【答案】【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，把點(diǎn)代入雙曲線方程可得，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，，，，所以雙曲線的焦距為．故答案為：．10．已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【答案】【詳解】由消去y得：，由于l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正，且不等，于是，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：

三、解答題11．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由已知，，又，則，所以雙曲線方程為.（2）由，得，則，設(shè)，，則，，所以.12．已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由離心率又,所以，又右頂點(diǎn)為，所以，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，則由得，因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于、兩點(diǎn)，所以，解得，因此，因?yàn)?，所以，所以，所以，?B能力提升1．直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0B．1C．2D．3【答案】D【詳解】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，又雙曲線，則，，右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為，故選：D.

2．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為，所以，可得，又因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：假設(shè)存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒有實(shí)根，所以假設(shè)不成立，即不存在過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)為.第15講2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為B．C的漸近線方程為C．C的離心率為D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】C【詳解】對(duì)A，C的實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)B，C的漸近線方程為，B錯(cuò)；對(duì)C，C的離心率為，C對(duì)；對(duì)D，C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，D錯(cuò).故選：C2.如圖所示，點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（

）

A．3B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，則，雙曲線的漸近線斜率為．故選：B．3.已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2B．C．D．【答案】C【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為，∴由雙曲線兩條漸近線的夾角為，可得.∴雙曲線的離心率為.故選：C.4.已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由雙曲線（其中），得，則雙曲線離心率，因?yàn)椋裕瑒t，所以，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：A.5.過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A6.與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線方程為．【答案】【詳解】解：設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，即，解得或（舍去），故所求雙曲線方程為．故答案為：7.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】【詳解】雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，所以雙曲線方程為，又，則該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．8.已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故該圓的