第第頁第03講利用幾何法解決空間角和距離學(xué)會利用幾何法求空間角及空間距離．1、異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).注：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．2、直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4、點到平面的距離已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則唯一，則是點到平面的距離。即：一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離（轉(zhuǎn)化為點到點的距離）結(jié)論：連結(jié)平面外一點與內(nèi)一點所得的線段中，垂線段最短.1、求異面直線所成的角的方法和步驟(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求①平移：經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角．②證明：證明所作的角是異面直線所成的角．③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．④取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角．2、求直線與平面所成的角的方法和步驟（1）垂線法求線面角：①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面做垂線，確定垂足O；②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.平移法求線面角是指利用圖形平移變換的性質(zhì)，構(gòu)造滿足求解的條件，進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運用平移法求解線面角問題時，我們可以利用圖象平移的性質(zhì)：圖形移動位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件關(guān)聯(lián)起來，以便將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來求解.（3）等體積法求線面角通過換底求體積求出斜線上一點到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖,已知平面α與斜線AP,PO⊥α,則P0線面角為∠PAO,，要求線面角，關(guān)鍵是求垂線段PO的長度，而垂線段PO的長度可看作點P到平面α的距離，在平面α內(nèi)找一個三角形(點A是其中一個頂點)與點P構(gòu)成三棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長度，從而達(dá)到簡便求解線面角的目的.3、求二面角的平面角的方法和步驟（1）求二面角大小的步驟是：①作：找出這個平面角；②證：證明這個角是二面角的平面角；③求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大?。?）確定二面角的平面角的方法①定義法（棱上一點雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．如：“三線合一型”、“全等型”②三垂線法（面上一點雙垂線法）最常用自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角③等體積法利用三棱錐等體積法求出點A到平面PBC的距離d，如圖，點A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為h（即△PAB中PB邊上的高），則二面角A-PB-C的正弦值為.③垂面法（空間一點垂面法）過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。④射影面積法已知平面內(nèi)的平面圖形的面積為，它在平面內(nèi)的射影的面積為，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則當(dāng)時，;當(dāng)時，.4、求解點面距的方法和步驟（1）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；（2）等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點線距離；（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點到面的距離．考點一：直接平移法求異面直線所成的角例1．在正方體中,分別為的中點,則異面直線與所成角的大小為（

）A．B．C．D．變式1．如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點，則與所成的角為（

）A．B．C．D．考點二：中位線平移法求異面直線所成的角例2．在四棱錐中，平面，，底面是菱形，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．變式1．在四棱錐中，所有側(cè)棱長都為，底面是邊長為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點，則異面直線OP與BM所成角為___________考點三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角例3．如圖，在長方體中，，，M、N分別是、AC的中點，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為（

）

A．B．C．D．變式1．在直三棱柱中，，，E是的中點，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）

A．B．C．D．考點四：補形法求異面直線所成的角例4．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A．B．C．D．變式1．在正方體中，E為的中點，平面與平面的交線為l，則l與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．考點五：通過證線面垂直證異面直線所成的角為90°例5．如圖，正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成角的大小為A．B．C．D．考點六：由異面直線所成的角求其他量例6．在長方體中，與和所成的角均為，則下面說法正確的是（

）A．B．C．D．變式1．如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A．B．C．D．考點七：垂線法求直線與平面所成的角例7．如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2，高為4，AB為底面圓O的直徑，C為上更靠近A的三等分點，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（

）

A．B．C．D．變式1．直三棱柱中，，，則與平面所成的角為（

）A．B．C．D．考點八：等體積法求直線與平面所成的角例8．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（

）A．B．C．D．考點九：平移法求直線與平面所成的角例9．如圖，已知平面ABC，，，，，，點和分別為和的中點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.考點十：由線面角求其他量例10．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點，平面.

(1)證明：為的中點；(2)若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.變式1．如圖，在中，O是的中點，.將沿折起，使B點移至圖中點位置．(1)求證：平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積取最大時，求二面角的余弦值；(3)在（2）的條件下，試問在線段上是否存在一點P，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論，并求的長．考點十一：定義法求二面角的平面角例11．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角平面角的大小.變式1．如圖，邊長為4的正方形中，點分別為的中點．將分別沿折起，使三點重合于點P．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．考點十二：三垂線法求二面角的平面角例12．四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點，F(xiàn)為PC中點．

(1)求證：平面；(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．考點十三：等體積法求二面角的平面角例13．已知四邊形ABCD中，，，O是AC的中點，將沿AC翻折至．(1)若，證明：平面ACD；(2)若D到平面PAC的距離為，求平面PAC與平面ACD夾角的大?。键c十六：由二面角大小求其他量例16．如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點A到達(dá)點P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．變式1．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小為.考點十七：等體積法求點面距例17．如圖在棱長為的正方體中，是上一點，且平面.

(1)求證：為的中點；(2)求點到平面的距離．一、單選題1.如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝（

）A．3B．4C．5D．62．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（

）A．45°B．60°C．90°D．135°3．已知正方體棱長為，則點到平面的距離為（）A．B．C．D．4．在四棱錐中，平面，四邊形ABCD為矩形，，PC與平面所成的角為，則該四棱錐外接球的體積為（）A．B．C．D．二、填空題5．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中劉徽注解“邪解立方得二塹堵”.如圖，在正方體中“邪解”得到一塹堵，為的中點，則異面直線與所成的角為______.6．菱形ABCD的對角線AC、BD的交點為O，P是菱形所在平面外一點，平面ABCD，則異面直線AC與PD所成角大小為______．三、解答題7．如圖，在直角梯形中，為的中點，將沿著翻折，使與點重合，且.

(1)證明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.8．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，面，且.

(1)求證平面.；(2)求與平面所成角的大小．9．如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．

(1)求證：平面PAD；(2)若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直線PB與面PAD所成的角．10．如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直線AM與直線PC所成的角為60°.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求異面直線PA與MB所成角的余弦值.

利用幾何法解決空間角和距離隨堂檢測1.如圖，在長方體中，，且為的中點，則直線與所成角的大小為（

）

A．B．C．D．2.如圖，在正三棱柱中，是棱的中點，在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A．B．