第第頁(yè)第12講直線的方程根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式名稱條件方程圖形點(diǎn)斜式直線l過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)斜截式直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)(直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距)y＝kx＋b注：1．直線的點(diǎn)斜式及斜截式方程適用條件是什么？斜率存在及已知點(diǎn)(或直線在y軸上的截距)．2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)的直線有無(wú)數(shù)條，可以分為兩類：(1)斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直線，方程為x－x0＝0，即x＝x0.3．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是y＝0；當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程．此時(shí)可將方程寫成x＝x0.特別地，y軸的方程是x＝0.4．直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b是直線的點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)的特例．如：直線l的斜率為k且過(guò)點(diǎn)(0，b)，該直線方程為y＝kx＋b.5．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零．6．斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別：當(dāng)k≠0時(shí)，y＝kx＋b為一次函數(shù)；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，不是一次函數(shù)．故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一條直線的斜截式方程．知識(shí)點(diǎn)2直線的兩點(diǎn)式與截距式方程兩點(diǎn)式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距a，在y軸上截距b圖形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過(guò)原點(diǎn)的直線注：（1）兩點(diǎn)式方程①利用兩點(diǎn)式求直線方程必須滿足x1≠x2且y1≠y2，即直線不垂直于坐標(biāo)軸．（即：當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程表示．）②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)．③方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等．截距式方程①如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程．②將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖．③與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示．④過(guò)原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零．知識(shí)點(diǎn)3直線的一般式方程1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．2．系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時(shí)，則－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y軸上的截距)；當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－eq\f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時(shí)不存在斜率．3．直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)．④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程．4.當(dāng)直線方程Ax＋By＋C＝0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0有如下性質(zhì)：①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；②當(dāng)A≠0，B＝0，C≠0時(shí)，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；③當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；④當(dāng)A＝0，B≠0，C＝0時(shí)，直線與x軸重合；⑤當(dāng)A≠0，B＝0，C＝0時(shí)，直線與y軸重合．注：（1）平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示（2）每一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)都能表示一條直線1、求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．2、直線的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別；(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡(jiǎn)單，而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數(shù)的圖象問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)把一次函數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進(jìn)行判斷．3、求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．4、截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問(wèn)題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．5、求直線一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．6、含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距.令y＝0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．7、利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時(shí)兩直線與y軸的交點(diǎn)不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時(shí)，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時(shí)，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.注若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時(shí)，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個(gè)條件．8、利用一般式解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.9、與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程．（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C1；②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過(guò)點(diǎn)確定C2.考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程例1．已知直線的方程是，則（）A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1B．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為-1D．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為1變式1．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線不經(jīng)過(guò)第__________象限.變式2．直線過(guò)點(diǎn)，且與向量垂直，則直線的方程為______.考點(diǎn)二：直線的斜截式方程例2．【多選】一次函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限C．時(shí)，函數(shù)圖像必經(jīng)過(guò)一、三象限D(zhuǎn)．時(shí)，函數(shù)在實(shí)數(shù)上恒為增函數(shù)變式1．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程例3．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來(lái)人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，則的歐拉線方程為______．考點(diǎn)四：直線的截距式方程例4．【多選】過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()A．y=-x+5B．y=x+5C．y=D．y=-變式1．過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程為（

）A．B．C．或D．或或變式2．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為0(不過(guò)原點(diǎn))的直線方程為______，此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為______.變式3．若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為______．考點(diǎn)五：直線的一般式方程（一）直線的一般式方程及辨析例5．【多選】已知直線l的方程為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則直線l的斜率小于0B．若，則直線l的傾斜角為C．直線l可能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D．若，則直線l的傾斜角為變式1．以下關(guān)于直線的說(shuō)法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．直線一定不經(jīng)過(guò)第三象限C．直線一定經(jīng)過(guò)第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線（二）直線的一般式方程的應(yīng)用例6．若直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則有（

）A．，B．，C．，D．，變式1．若直線不過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A．B．C．D．考點(diǎn)六：兩直線平行與垂直的應(yīng)用由直線方程的一般式研究直線的平行與垂直例7．若直線l：與直線m：互相平行，則______．變式1．若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2B．C．2或D．或變式2．直線：，：，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要由兩條直線的平行、垂直求直線方程例8．已知直線，求：(1)過(guò)點(diǎn)且與直線l平行的直線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且與直線l垂直的直線的方程．變式1．已知直線：，則與已知直線l平行且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線方程為_________．考點(diǎn)七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例9．不論取何值時(shí)，直線恒過(guò)第____象限．變式1．已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x?y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.考點(diǎn)八：直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積、周長(zhǎng)問(wèn)題例10.已知直線與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為______________變式1．過(guò)點(diǎn)的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求面積的最小值以及面積最小時(shí)直線的方程;(2)是否存在直線，使的周長(zhǎng)為12，若存在，求出直線的方程;若不存在，說(shuō)明理由.變式2．過(guò)點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．一、單選題1．過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的方程是（）A．B．C．D．2．若，，則直線不經(jīng)過(guò)第象限（

）A．一B．二C．三D．四3．已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A．B．C．D．4．若直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或0B．1C．0D．0或5．若直線與垂直，則m的值為（

）A．B．C．5D．6．直線與(不同時(shí)為0)的位置關(guān)系是（

）A．平行B．垂直C．斜交D．與的值有關(guān)7．直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（

）A．，B．，C．，D．，8．直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．二、填空題9．已知平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)、、，若直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行，則的方程為________.10．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是______．11．已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過(guò)定點(diǎn)_____.12．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(0，1)，且與x，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于2，則直線l的方程是___.13．已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則________．三、解答題14．已知點(diǎn)求：(1)BC邊上的中線所在直線的方程；(2)BC邊上的高所在直線方程；(3)BC邊的垂直平分線的方程.15．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的一般式方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的一般式方程，并求此最小值．直線的方程隨堂檢測(cè)1.已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（

）A．B．