§7.6

卷積（卷積和）

一、卷積的定義二、離散卷積的性質(zhì)三、卷積計(jì)算四、常用因果序列的卷積和

(見下冊(cè)P34)返回一．卷積的定義任意序列x(n)可表示為d(n)的加權(quán)移位之線性組合:從序列關(guān)系中我們已知：對(duì)于零狀態(tài)的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)，若就必有：時(shí)不變均勻性則輸出卷積和的公式表明：返回h(n)將輸入輸出聯(lián)系起來(lái)，即零狀態(tài)響應(yīng)=x(n)*h(n)

系統(tǒng)對(duì)x(n)的響應(yīng)y(n)=每一樣值產(chǎn)生的響應(yīng)之和，在各處由x(m)加權(quán)?？杉有阅敲?，對(duì)于任意兩個(gè)序列的卷積和我們可以定義為：二．離散卷積的性質(zhì)1．交換律x1(n)*x2(n)=

x2(n)*x1(n)

2．結(jié)合律x1(n)*[x2(n)

*x3(n)]=[x1(n)*x2(n)]*x3(n)

證明：x1(n)*x2(n)=

證明:[x1(n)*x2(n)]*x3(n)=

=

x2(n)*x1(n)令m=n-kn-m=k令r=k-mk=m+r=x1(n)*[x2(n)*x3(n)]4．其它一些性質(zhì)x(n)*d(n)=

x(n)返回x(n)*u(n)=y(n-n1-n2)=x1(n-n1)*x2(n-n2)y(n)=x1(n)*x2(n)=x1(n)*x2(n)x1(n)*=x1(n)*x2(n)=*x2(n)=

x1(n)*

3．分配律x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=

x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)證明:x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=

=

x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)三.卷積計(jì)算m的范圍由x(n)、h(n)的范圍共同決定。1.y(n)的序列元素個(gè)數(shù)?若：例如：若x(n)的序列長(zhǎng)度為n1、h(n)的序列長(zhǎng)度為n2，則y(n)的序列長(zhǎng)度為n1

+n2

-1返回1.解析式(表達(dá)式）法求卷積（例7-6-1、例7-6-2）2.圖解法求卷積:（例7-6-3）3.對(duì)位相乘求和法求卷積（例7-6-4）4.利用性質(zhì)求卷積（例7-6-5

、例7-6-6

）5.利用單位樣值信號(hào)d(n)求卷積（例7-6-7）6.利用z變換求卷積7.利用計(jì)算機(jī)求卷積（FFT快速傅氏變換）2.幾種常用的求卷積方法例7-6-1從波形圖中可見求和上限n,下限0要點(diǎn)：定上下限返回波形返回已知離散信號(hào)x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)用函數(shù)式求卷積y(n)=x1(n)*x2(n)例7-6-2由卷積定義返回已知離散信號(hào)x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)用圖解法求卷積y(n)=x1(n)*x2(n)例7-6-3圖解法求卷積可分為：序列倒置

移位

相乘

取和4步首先將x2(n)反褶，然后確定x2(n-m)非零值區(qū)間的橫坐標(biāo)，其下限為n+2，上限為n+6，如圖所示。根據(jù)卷積的定義式:o52m1443·····x1(m)o621m·····x2(-m)o6+n2+n1m·····x2(n-m)再將x2(n-m)平移，并分區(qū)間求出卷積結(jié)果。o52m1443·····x1(m)o6+n2+n1m·····x2(n-m)1.當(dāng)n+6￡0時(shí)，即n￡-6，

y(n)=x1(n)*x2(n)=02.當(dāng)n+236時(shí)，即n3

4，

y(n)=x1(n)*x2(n)=03.當(dāng)n+631和n+2￡5時(shí)，即-5

￡n￡3，為y(n)的非0區(qū)間（1）當(dāng)n+63

1和n+6￡5時(shí)，即-5

￡n￡-1，（2）當(dāng)n+63

6和n+2￡5時(shí)，即0

￡n￡3返回則結(jié)果與例7-6-2相同.例7-6-4使用對(duì)位相乘求和法求卷積步驟：兩序列右對(duì)齊→逐個(gè)樣值對(duì)應(yīng)相乘但不進(jìn)位→同列乘積值相加（注意n=0的點(diǎn)）返回利用分配律例7-6-5返回已知離散信號(hào)x1(n)=n[u(n)-u(n-6)]x2(n)=u(n+6)-u(n+1)利用差分性質(zhì)求卷積y(n)=x1(n)*x2(n)例7-6-6又*x2(n)因?yàn)椋簒1(n)*x2(n)=x1(n)*x2(n)=[u(n+6)-u