2025年金融工程碩士入學(xué)考試試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于無(wú)套利定價(jià)原理的表述中，錯(cuò)誤的是（）。A.無(wú)套利定價(jià)要求市場(chǎng)中不存在零成本、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)且正收益的套利機(jī)會(huì)B.無(wú)套利定價(jià)的核心是通過(guò)復(fù)制組合構(gòu)造與目標(biāo)資產(chǎn)等價(jià)的現(xiàn)金流C.無(wú)套利定價(jià)僅適用于完全市場(chǎng)，不完全市場(chǎng)無(wú)法應(yīng)用D.遠(yuǎn)期合約的無(wú)套利價(jià)格可通過(guò)持有成本模型推導(dǎo)2.假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為3%（連續(xù)復(fù)利），波動(dòng)率為20%。根據(jù)Black-Scholes模型，當(dāng)期權(quán)剩余期限為6個(gè)月時(shí)，以下參數(shù)計(jì)算正確的是（）。A.期權(quán)的d1值為0.175B.期權(quán)的d2值為0.175C.d1與d2的差值為0.2×√0.5D.d1與d2的差值為0.2×0.53.關(guān)于久期與凸性的關(guān)系，以下說(shuō)法正確的是（）。A.凸性是久期對(duì)收益率的一階導(dǎo)數(shù)B.當(dāng)收益率變動(dòng)較大時(shí)，僅用久期估計(jì)的價(jià)格變動(dòng)誤差會(huì)被凸性放大C.零息債券的凸性等于其久期的平方除以（1+收益率）D.相同久期的債券，凸性越大，利率風(fēng)險(xiǎn)越低4.風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，衍生品定價(jià)的核心邏輯是（）。A.投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好不影響定價(jià)，只需用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)期望收益B.投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)需調(diào)整期望收益，再用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)C.實(shí)際概率下的期望收益直接用風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)D.風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度僅適用于股票期權(quán)，不適用于利率衍生品5.某公司發(fā)行的可轉(zhuǎn)換債券面值1000元，轉(zhuǎn)股價(jià)格20元，當(dāng)前股價(jià)18元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率2%，剩余期限3年。以下表述錯(cuò)誤的是（）。A.轉(zhuǎn)換價(jià)值為900元（1000/20×18）B.純債價(jià)值需通過(guò)現(xiàn)金流折現(xiàn)計(jì)算，與公司信用風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)C.可轉(zhuǎn)債價(jià)值至少等于轉(zhuǎn)換價(jià)值與純債價(jià)值的最大值D.當(dāng)股價(jià)大幅上漲時(shí)，可轉(zhuǎn)債的股性減弱，債性增強(qiáng)6.關(guān)于VaR（在險(xiǎn)價(jià)值）與ES（預(yù)期損失）的對(duì)比，正確的是（）。A.VaR滿足次可加性，ES不滿足B.ES是尾部損失的期望值，比VaR更關(guān)注極端風(fēng)險(xiǎn)C.95%置信水平的VaR表示“最多損失5%的概率為95%”D.歷史模擬法計(jì)算VaR時(shí)不需要假設(shè)收益率分布，但計(jì)算效率高7.某歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)相同，執(zhí)行價(jià)均為K，期限均為T(mén)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，根據(jù)看漲-看跌平價(jià)關(guān)系，正確的等式是（）。A.C-P=S0-Ke^(-rT)B.C+P=S0+Ke^(-rT)C.C-P=Ke^(-rT)-S0D.C+P=S0-Ke^(-rT)8.以下關(guān)于二叉樹(shù)模型的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）。A.二叉樹(shù)模型通過(guò)離散時(shí)間步長(zhǎng)逼近連續(xù)時(shí)間的Black-Scholes模型B.風(fēng)險(xiǎn)中性概率p=(e^(rΔt)-d)/(u-d)，其中u=e^(σ√Δt)，d=1/uC.美式期權(quán)定價(jià)需在每個(gè)節(jié)點(diǎn)比較持有價(jià)值與立即行權(quán)價(jià)值D.當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，二叉樹(shù)模型的期權(quán)價(jià)格與Black-Scholes結(jié)果不一致9.利率互換中，浮動(dòng)利率端的定價(jià)依據(jù)是（）。A.當(dāng)前市場(chǎng)零息利率曲線B.未來(lái)各期的遠(yuǎn)期利率C.互換合約簽訂時(shí)的固定利率D.合約剩余期限內(nèi)的平均市場(chǎng)利率10.在Merton結(jié)構(gòu)模型中，公司違約概率的計(jì)算依賴(lài)于（）。A.公司股票價(jià)格的波動(dòng)率B.公司債券的信用利差C.公司資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率與負(fù)債水平D.宏觀經(jīng)濟(jì)周期指標(biāo)二、計(jì)算題（每題15分，共60分）1.（二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)）某股票當(dāng)前價(jià)格為40元，波動(dòng)率σ=30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=4%（連續(xù)復(fù)利），期限T=3個(gè)月（0.25年），使用兩步二叉樹(shù)模型計(jì)算執(zhí)行價(jià)K=42元的歐式看跌期權(quán)價(jià)格。（提示：Δt=0.125年，u=e^(σ√Δt)，d=1/u，風(fēng)險(xiǎn)中性概率p=(e^(rΔt)-d)/(u-d)）2.（VaR計(jì)算）某投資組合價(jià)值1000萬(wàn)元，日收益率服從正態(tài)分布，均值μ=0.05%，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.2%。計(jì)算99%置信水平下的10日VaR（保留兩位小數(shù)）。（提示：10日收益率均值=10×μ，標(biāo)準(zhǔn)差=√10×σ，N(-2.33)=0.01）3.（利率互換定價(jià)）假設(shè)當(dāng)前3年期零息利率為3%（連續(xù)復(fù)利），1年期零息利率2.5%，2年期零息利率2.8%。某公司簽訂了一份3年期的利率互換合約，名義本金1億元，固定利率支付方每年支付一次固定利率，浮動(dòng)利率方按1年期LIBOR付息（假設(shè)當(dāng)前1年期LIBOR為2.5%，第2年遠(yuǎn)期利率f(1,2)=3.1%，第3年遠(yuǎn)期利率f(2,3)=3.6%）。計(jì)算互換中固定利率的合理水平（即互換的公平固定利率）。4.（Merton模型違約概率）某公司資產(chǎn)價(jià)值V=5000萬(wàn)元，負(fù)債面值D=4500萬(wàn)元，資產(chǎn)波動(dòng)率σ=25%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=3%（連續(xù)復(fù)利），債務(wù)期限T=1年。計(jì)算該公司1年內(nèi)的違約概率（提示：違約發(fā)生在V_T<D時(shí)，d2=(ln(V/D)+(r-0.5σ2)T)/(σ√T)，N(-d2)為違約概率）。三、論述題（每題20分，共40分）1.結(jié)合當(dāng)前金融市場(chǎng)發(fā)展趨勢(shì)，論述金融工程在利率市場(chǎng)化進(jìn)程中的應(yīng)用與挑戰(zhàn)。要求：需涵蓋利率衍生品設(shè)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)管理、定價(jià)模型優(yōu)化等方面。2.近年來(lái)，人工智能（AI）技術(shù)在量化交易中廣泛應(yīng)用。請(qǐng)分析AI對(duì)金融工程研究與實(shí)踐的影響，包括優(yōu)勢(shì)、潛在風(fēng)險(xiǎn)及應(yīng)對(duì)策略。答案與解析一、單項(xiàng)選擇題1.C（無(wú)套利定價(jià)可推廣至不完全市場(chǎng)，通過(guò)尋找風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的存在性）2.A（d1=(ln(S/K)+(r+0.5σ2)T)/(σ√T)，d2=d1-σ√T，差值為σ√T=0.2×√0.5≈0.1414，故d1>d2）3.D（凸性是價(jià)格對(duì)收益率的二階導(dǎo)數(shù)，久期是一階導(dǎo)數(shù)；凸性越大，利率變動(dòng)時(shí)價(jià)格上升更多、下跌更少，風(fēng)險(xiǎn)更低）4.A（風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，所有資產(chǎn)的期望收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，定價(jià)時(shí)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)）5.D（股價(jià)上漲時(shí)，轉(zhuǎn)換價(jià)值接近或超過(guò)面值，可轉(zhuǎn)債股性增強(qiáng)，債性減弱）6.B（ES是VaR尾部的期望損失，更全面；VaR不滿足次可加性；95%VaR表示“損失超過(guò)VaR的概率為5%”）7.A（看漲-看跌平價(jià)公式：C+Ke^(-rT)=P+S0→C-P=S0-Ke^(-rT)）8.D（當(dāng)Δt→0時(shí)，二叉樹(shù)模型收斂于Black-Scholes模型）9.B（浮動(dòng)利率端的現(xiàn)值等于各期遠(yuǎn)期利率折現(xiàn)的現(xiàn)值之和）10.C（Merton模型假設(shè)公司違約由資產(chǎn)價(jià)值低于負(fù)債觸發(fā)，需資產(chǎn)波動(dòng)率與負(fù)債水平計(jì)算違約概率）二、計(jì)算題1.二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)步驟：（1）計(jì)算參數(shù)：Δt=0.25/2=0.125年，u=e^(0.3×√0.125)=e^(0.3×0.3536)=e^0.1061≈1.112，d=1/u≈0.899。（2）風(fēng)險(xiǎn)中性概率p=(e^(0.04×0.125)-d)/(u-d)=(e^0.005-0.899)/(1.112-0.899)≈(1.0050-0.899)/0.213≈0.106/0.213≈0.4976。（3）股票價(jià)格樹(shù)：-第0期：S0=40元-第1期：S_u=40×1.112=44.48元，S_d=40×0.899=35.96元-第2期：S_uu=44.48×1.112≈49.46元，S_ud=44.48×0.899≈40.00元，S_dd=35.96×0.899≈32.33元（4）看跌期權(quán)到期價(jià)值：-P_uu=max(42-49.46,0)=0-P_ud=max(42-40,0)=2元-P_dd=max(42-32.33,0)=9.67元（5）倒推計(jì)算期權(quán)價(jià)格：-第1期u節(jié)點(diǎn)：P_u=(p×P_uu+(1-p)×P_ud)e^(-rΔt)=(0.4976×0+0.5024×2)e^(-0.04×0.125)≈1.0048×0.995≈1.00元-第1期d節(jié)點(diǎn)：P_d=(p×P_ud+(1-p)×P_dd)e^(-rΔt)=(0.4976×2+0.5024×9.67)e^(-0.005)≈(0.9952+4.858)×0.995≈5.853×0.995≈5.82元-第0期期權(quán)價(jià)格：P=(p×P_u+(1-p)×P_d)e^(-rΔt)=(0.4976×1+0.5024×5.82)×0.995≈(0.4976+2.924)×0.995≈3.4216×0.995≈3.41元答案：約3.41元2.VaR計(jì)算步驟：（1）10日收益率均值μ_10=10×0.05%=0.5%（2）10日收益率標(biāo)準(zhǔn)差σ_10=√10×1.2%≈3.7947%（3）99%置信水平下，VaR=組合價(jià)值×[μ_10-z×σ_10]（注意：VaR通常取正數(shù)，即最大可能損失）z=2.33（對(duì)應(yīng)N(-2.33)=0.01）VaR=1000×[0.5%-(-2.33×3.7947%)]？不，正確公式應(yīng)為：VaR=組合價(jià)值×(z×σ_10-μ_10)（因VaR是損失超過(guò)某值的概率，當(dāng)μ較小時(shí)可近似為z×σ）更準(zhǔn)確的計(jì)算：VaR=1000×[-(μ_10-z×σ_10)]（損失為負(fù)收益）代入數(shù)值：μ_10=0.005，σ_10=0.037947，z=2.33VaR=1000×[-(0.005-2.33×0.037947)]=1000×[-(0.005-0.0884)]=1000×0.0834≈83.40萬(wàn)元答案：83.40萬(wàn)元3.利率互換公平固定利率計(jì)算：互換的公平固定利率K滿足固定端現(xiàn)值等于浮動(dòng)端現(xiàn)值。（1）浮動(dòng)端現(xiàn)值：浮動(dòng)利率支付為各期LIBOR，根據(jù)遠(yuǎn)期利率，第1年支付2.5%，第2年支付f(1,2)=3.1%，第3年支付f(2,3)=3.6%。浮動(dòng)端現(xiàn)值=Σ(遠(yuǎn)期利率×e^(-r_i×t_i))×名義本金，其中r_i為各期零息利率，t_i為時(shí)間（1,2,3年）。-第1年：(2.5%×e^(-0.025×1))×1億≈0.025×0.9753×1億≈243.83萬(wàn)元-第2年：(3.1%×e^(-0.028×2))×1億≈0.031×0.9456×1億≈293.14萬(wàn)元-第3年：(3.6%×e^(-0.03×3))×1億≈0.036×0.9139×1億≈329.00萬(wàn)元浮動(dòng)端總現(xiàn)值≈243.83+293.14+329.00≈865.97萬(wàn)元（2）固定端現(xiàn)值=K×(e^(-0.025×1)+e^(-0.028×2)+e^(-0.03×3))×1億=K×(0.9753+0.9456+0.9139)×1億=K×2.8348×1億（3）令固定端現(xiàn)值=浮動(dòng)端現(xiàn)值：K×2.8348×1億=865.97萬(wàn)→K=865.97/(2.8348×10000)≈3.05%答案：約3.05%4.Merton模型違約概率計(jì)算：（1）計(jì)算d2：d2=(ln(V/D)+(r-0.5σ2)T)/(σ√T)=ln(5000/4500)+(0.03-0.5×0.252)×1/(0.25×1)=ln(1.1111)+(0.03-0.03125)/0.25≈0.1054-0.0125/0.25≈0.1054-0.05=0.0554（2）違約概率=N(-d2)=N(-0.0554)≈0.478（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，N(-0.05)=0.4801，N(-0.06)=0.4761，線性插值得約0.478）答案：約47.8%三、論述題1.金融工程在利率市場(chǎng)化中的應(yīng)用與挑戰(zhàn)利率市場(chǎng)化是指利率由市場(chǎng)供求決定的改革過(guò)程，金融工程在其中的核心作用體現(xiàn)在衍生品設(shè)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)管理和定價(jià)模型優(yōu)化三方面：（1）利率衍生品設(shè)計(jì)：利率市場(chǎng)化后，利率波動(dòng)加劇，市場(chǎng)主體（銀行、企業(yè)、投資者）面臨更大的利率風(fēng)險(xiǎn)。金融工程通過(guò)設(shè)計(jì)利率互換、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）、利率期權(quán)（如利率上限/下限期權(quán)）等衍生品，為市場(chǎng)提供對(duì)沖工具。例如，商業(yè)銀行可通過(guò)利率互換將浮動(dòng)利率負(fù)債轉(zhuǎn)換為固定利率，鎖定成本；企業(yè)可通過(guò)FRA對(duì)沖未來(lái)融資利率上升的風(fēng)險(xiǎn)。（2）風(fēng)險(xiǎn)管理：利率市場(chǎng)化要求更精準(zhǔn)的利率風(fēng)險(xiǎn)度量。金融工程中的久期-凸性模型、利率敏感性缺口分析、VaR與ES（預(yù)期損失）等方法被廣泛應(yīng)用。例如，銀行需通過(guò)久期匹配管理資產(chǎn)負(fù)債表的利率風(fēng)險(xiǎn)；保險(xiǎn)公司需用隨機(jī)利率模型（如Vasicek模型、CIR模型）評(píng)估長(zhǎng)期負(fù)債的利率敏感性。（3）定價(jià)模型優(yōu)化：利率市場(chǎng)化后，利率期限結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，傳統(tǒng)的靜態(tài)模型（如持有成本模型）難以適應(yīng)。金融工程推動(dòng)了動(dòng)態(tài)利率模型的發(fā)展，如Hull-White模型、Black-Karasinski模型，這些模型能更好地?cái)M合市場(chǎng)利率的隨機(jī)波動(dòng)特征，提高衍生品定價(jià)的準(zhǔn)確性。例如，在利率互換定價(jià)中，需基于市場(chǎng)零息曲線和遠(yuǎn)期利率構(gòu)建無(wú)套利定價(jià)模型，確保合約公平性。挑戰(zhàn)：-數(shù)據(jù)與模型風(fēng)險(xiǎn)：利率市場(chǎng)化初期，歷史數(shù)據(jù)不足，模型參數(shù)估計(jì)誤差大（如波動(dòng)率、均值回歸速度），可能導(dǎo)致定價(jià)偏差。-市場(chǎng)流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)：衍生品市場(chǎng)發(fā)展初期，部分產(chǎn)品（如長(zhǎng)期利率期權(quán)）流動(dòng)性不足，影響對(duì)沖效率。-監(jiān)管協(xié)調(diào)：利率衍生品的復(fù)雜性可能引發(fā)監(jiān)管套利，需完善宏觀審慎框架，防范系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。綜上，金融工程是利率市場(chǎng)化的重要工具，但需在模型優(yōu)化、數(shù)據(jù)積累和監(jiān)管創(chuàng)新中應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)。2.AI對(duì)金融工程研究與實(shí)踐的影響AI技術(shù)（如機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理）正在重塑金融工程的研究范式和實(shí)踐模式：（1）優(yōu)勢(shì)：-非線性關(guān)系捕捉：傳統(tǒng)金融模型（如Black-Scholes、CAPM）假設(shè)線性關(guān)系或正態(tài)分布，而AI（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)森林）能自動(dòng)學(xué)習(xí)高維、非線性的市場(chǎng)特征，提升預(yù)測(cè)精度。例如，LSTM網(wǎng)絡(luò)可捕捉時(shí)間序列中的長(zhǎng)記憶性，優(yōu)化股票收