2.2.3整式加減第2章

整式及其加減【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********2.2.3整式加減匯報(bào)人：[教師姓名]匯報(bào)班級(jí)：[具體班級(jí)]知識(shí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)以及去括號(hào)和添括號(hào)的知識(shí)。合并同類項(xiàng)是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)；去括號(hào)和添括號(hào)是代數(shù)式變形的重要方法，它們都遵循一定的法則。今天我們要學(xué)習(xí)的整式加減，就是以這些知識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行的運(yùn)算。學(xué)習(xí)目標(biāo)理解整式加減的意義，知道整式加減的實(shí)質(zhì)是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)。能熟練進(jìn)行整式的加減運(yùn)算，包括整式的加法和減法。能運(yùn)用整式加減解決實(shí)際問題，提高分析和解決問題的能力。感受整式加減在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。課堂導(dǎo)入我們來看一個(gè)問題：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\((3x+2y)\)厘米，寬為\((x-y)\)厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米呢？長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式是\(2??(é??+???)\)，所以這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)可以表示為\(2[(3x+2y)+(x-y)]\)厘米。要算出這個(gè)結(jié)果，我們需要先去掉括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，這就是整式的加減運(yùn)算。通過今天的學(xué)習(xí)，我們就能輕松解決這類問題。知識(shí)點(diǎn)：整式加減的意義整式的加減就是求幾個(gè)整式的和或差的運(yùn)算。它的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用去括號(hào)法則和合并同類項(xiàng)法則，將整式化簡(jiǎn)為一個(gè)最簡(jiǎn)整式（即不含同類項(xiàng)的整式）。例如：求整式\(3x+2y\)與\(x-y\)的和，就是進(jìn)行整式的加法運(yùn)算，可表示為\((3x+2y)+(x-y)\)。求整式\(5a^2-3b^2\)與\(2a^2+b^2\)的差，就是進(jìn)行整式的減法運(yùn)算，可表示為\((5a^2-3b^2)-(2a^2+b^2)\)。知識(shí)點(diǎn)：整式加減的步驟整式加減的一般步驟如下：去括號(hào)：如果整式加減運(yùn)算中有括號(hào)，要先根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)。如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)不變；如果括號(hào)前面是“-”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)都要改變。合并同類項(xiàng)：去掉括號(hào)后，按照合并同類項(xiàng)的法則，把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，使結(jié)果化為最簡(jiǎn)整式。例如，計(jì)算\((3x+2y)+(x-y)\)：去括號(hào)：\(3x+2y+x-y\)；合并同類項(xiàng)：\((3x+x)+(2y-y)=4x+y\)。再如，計(jì)算\((5a^2-3b^2)-(2a^2+b^2)\)：去括號(hào)：\(5a^2-3b^2-2a^2-b^2\)；合并同類項(xiàng)：\((5a^2-2a^2)+(-3b^2-b^2)=3a^2-4b^2\)。例題解析例1：計(jì)算：（1）\((2x^2+3x-1)+(x^2-2x+5)\)；（2）\((4a^2b-3ab^2)-(2a^2b-5ab^2)\)；（3）\(3(x^2-2xy+y^2)-2(x^2-xy+y^2)\)。解：（1）\(\begin{align*}&(2x^2+3x-1)+(x^2-2x+5)\\=&2x^2+3x-1+x^2-2x+5\\=&(2x^2+x^2)+(3x-2x)+(-1+5)\\=&3x^2+x+4\end{align*}\)（2）\(\begin{align*}&(4a^2b-3ab^2)-(2a^2b-5ab^2)\\=&4a^2b-3ab^2-2a^2b+5ab^2\\=&(4a^2b-2a^2b)+(-3ab^2+5ab^2)\\=&2a^2b+2ab^2\end{align*}\)（3）\(\begin{align*}&3(x^2-2xy+y^2)-2(x^2-xy+y^2)\\=&3x^2-6xy+3y^2-2x^2+2xy-2y^2\\=&(3x^2-2x^2)+(-6xy+2xy)+(3y^2-2y^2)\\=&x^2-4xy+y^2\end{align*}\)例2：先化簡(jiǎn)，再求值：（1）\((5x^2-3y^2)-(5x^2+3y^2)\)，其中\(zhòng)(x=1\)，\(y=-1\)；（2）\(2(2a+b)^2-3(2a+b)+8(2a+b)^2-6(2a+b)\)，其中\(zhòng)(a=-\frac{3}{4}\)，\(b=\frac{1}{2}\)。解：（1）先化簡(jiǎn)：\(\begin{align*}&(5x^2-3y^2)-(5x^2+3y^2)\\=&5x^2-3y^2-5x^2-3y^2\\=&-6y^2\end{align*}\)當(dāng)\(x=1\)，\(y=-1\)時(shí)，代入得：\(-6??(-1)^2=-6??1=-6\)（2）先化簡(jiǎn)，把\((2a+b)\)看作一個(gè)整體合并同類項(xiàng)：\(\begin{align*}&2(2a+b)^2-3(2a+b)+8(2a+b)^2-6(2a+b)\\=&(2+8)(2a+b)^2+(-3-6)(2a+b)\\=&10(2a+b)^2-9(2a+b)\end{align*}\)當(dāng)\(a=-\frac{3}{4}\)，\(b=\frac{1}{2}\)時(shí)，計(jì)算\(2a+b\)：\(2??(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1\)把\(2a+b=-1\)代入化簡(jiǎn)后的式子得：\(\begin{align*}&10??(-1)^2-9??(-1)\\=&10??1+9\\=&19\end{align*}\)例3：已知一個(gè)多項(xiàng)式與\(3x^2-2x+5\)的和是\(x^2+x-1\)，求這個(gè)多項(xiàng)式。解：設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式為\(A\)，根據(jù)題意可得：\(A+(3x^2-2x+5)=x^2+x-1\)所以\(A=(x^2+x-1)-(3x^2-2x+5)\)\(\begin{align*}&=x^2+x-1-3x^2+2x-5\\&=(x^2-3x^2)+(x+2x)+(-1-5)\\&=-2x^2+3x-6\end{align*}\)答：這個(gè)多項(xiàng)式是\(-2x^2+3x-6\)。例4：如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形空地中，有一塊正方形草坪和一塊長(zhǎng)方形花壇，正方形草坪的邊長(zhǎng)為\(a\)米，長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為\(b\)米，寬為\(c\)米，長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)為\((3a+b)\)米，寬為\((2a+c)\)米。求空地中除了草坪和花壇之外的面積。解：首先計(jì)算長(zhǎng)方形空地的面積：\((3a+b)(2a+c)\)（此處暫不展開計(jì)算，僅進(jìn)行整式加減相關(guān)的面積差計(jì)算）正方形草坪的面積為\(a^2\)平方米，長(zhǎng)方形花壇的面積為\(bc\)平方米。則空地中除了草坪和花壇之外的面積=長(zhǎng)方形空地的面積-正方形草坪的面積-長(zhǎng)方形花壇的面積，即：\((3a+b)(2a+c)-a^2-bc\)（展開并化簡(jiǎn)）\(\begin{align*}&=6a^2+3ac+2ab+bc-a^2-bc\\&=(6a^2-a^2)+2ab+3ac+(bc-bc)\\&=5a^2+2ab+3ac\end{align*}\)答：空地中除了草坪和花壇之外的面積是\((5a^2+2ab+3ac)\)平方米。小練習(xí)計(jì)算：（1）\((2x-3y)+(5x+4y)\)；（2）\((8a-7b)-(4a-5b)\)；（3）\(3(x^2-2x+1)-2(2x^2-3x-3)\)。先化簡(jiǎn)，再求值：（1）\(3x^2-[7x-(4x-3)-2x^2]\)，其中\(zhòng)(x=-1\)；（2）\(5(3a^2b-ab^2)-(ab^2+3a^2b)\)，其中\(zhòng)(a=\frac{1}{2}\)，\(b=-1\)。已知一個(gè)多項(xiàng)式減去\(x^2-2y^2\)等于\(3x^2+y^2\)，求這個(gè)多項(xiàng)式。一個(gè)三角形的第一條邊長(zhǎng)為\((2a+b)\)厘米，第二條邊比第一條邊短\((a-b)\)厘米，第三條邊是第一條邊與第二條邊的和的一半。求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。填空：（1）若\(A=x^2-2x+1\)，\(B=3x-2\)，則\(A+B=???

???\)。（2）計(jì)算\((a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=???

???\)。（3）若多項(xiàng)式\(2x^2+ax-y+6\)與多項(xiàng)式\(2bx^2-3x+5y-1\)的差不含\(x^2\)項(xiàng)和\(x\)項(xiàng)，則\(a=???

???\)，\(b=???

???\)。思考討論整式加減運(yùn)算的關(guān)鍵是什么？整式加減運(yùn)算的關(guān)鍵是正確地去括號(hào)和熟練地合并同類項(xiàng)。去括號(hào)時(shí)，要嚴(yán)格按照去括號(hào)法則進(jìn)行，注意括號(hào)前面的符號(hào)對(duì)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)的影響；合并同類項(xiàng)時(shí)，要準(zhǔn)確找到同類項(xiàng)，再按照合并同類項(xiàng)的法則將系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。在進(jìn)行整式加減時(shí)，如何處理多層括號(hào)？在進(jìn)行整式加減時(shí)，如果遇到多層括號(hào)，可以由內(nèi)向外逐層去括號(hào)，也可以由外向內(nèi)逐層去括號(hào)。每去掉一層括號(hào)后，要及時(shí)合并同類項(xiàng)，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。例如，計(jì)算\(a-[b-(c-d)]\)，可以先去小括號(hào)得\(a-[b-c+d]\)，再去中括號(hào)得\(a-b+c-d\)。課堂小結(jié)整式加減的實(shí)質(zhì)：去括號(hào)和合并同類項(xiàng)。整式加減的步驟：去括號(hào)：根據(jù)去括號(hào)法則去掉整式中的括號(hào)；合并同類項(xiàng)：將去括號(hào)后的多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)。整式加減的應(yīng)用：可以求幾個(gè)整式的和或差，也可以解決與面積、周長(zhǎng)等相關(guān)的實(shí)際問題。在進(jìn)行整式加減時(shí)，要注意符號(hào)的變化和同類項(xiàng)的準(zhǔn)確識(shí)別，以保證運(yùn)算的正確性。課后作業(yè)教材P78練習(xí)1、2、3、4題。計(jì)算：（1）\((5m+4n)-(7m-2n)\)；（2）\(2(x^2-xy)-3(2x^2-3xy)\)；（3）\(3a^2-[5a-(\frac{1}{2}a-3)+2a^2]\)。先化簡(jiǎn)，再求值：（1）\((2x^2-y^2)-2(3y^2-2x^2)\)，其中\(zhòng)(x=-1\)，\(y=2\)；（2）已知\(x+y=3\)，\(xy=-2\)，求\(3(x+y)-2(xy+x+y)\)的值。已知多項(xiàng)式\(A=3x^2-2x+1\)，\(B=2x^2+3x-4\)，求\(2A-3B\)。一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\((2x+3)\)厘米，寬為\((x-1)\)厘米，另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為\((x+2)\)厘米。求長(zhǎng)方形的面積與正方形的面積的差。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.掌握整式加減的運(yùn)算法則，并能熟練地進(jìn)行整式的加減計(jì)算.2.能將多項(xiàng)式按照某一個(gè)字母的升冪（降冪）排列.3.經(jīng)歷整式加減的法則概括過程，提高思考及語(yǔ)言表達(dá)能力，培養(yǎng)符號(hào)感.學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧回顧添括號(hào)法則，在下列各題的括號(hào)內(nèi)，填寫適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：（1）-9a2+16b2=-（）；（2）b2-4a2+4a-1=b2-（）；（3）2x-x2+y2=2x+（）；（4）2a-b-x+3y=2a-b-（）；（5）am-bn-an-bm=am+（）-bm.9a2-16b24a2-4a+1-x2+yx-3y-bn-an進(jìn)行新課知識(shí)點(diǎn)一整式加減利用學(xué)過的知識(shí)計(jì)算下列式子：（1）(5x+4y)+(2x-3y)（2）(5x+4y)-(2x-3y)解：

(5x+4y)+(2x-3y）=5x+4y+2x-3y=7x+y解：

(5x+4y)-(2x-3y)=5x+4y-2x+3y=3x+7y整式的加減運(yùn)算可歸結(jié)為去括號(hào)、合并同類項(xiàng)去括號(hào)合并同類項(xiàng)思考：觀察計(jì)算過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？求多項(xiàng)式4-5x2+3x與-2x+7x2-3的差.例3解：(4-5x2+3x)-(-2x+7x2-3)=4-5x2+3x+2x-7x2+3=(-5x2-7x2)+(3x+2x)+(4+3)=-12x2+5x+7有括號(hào)要先去括號(hào)有同類項(xiàng)再合并同類項(xiàng)結(jié)果中不能再有同類項(xiàng)整式加減的運(yùn)算結(jié)果，通常將多項(xiàng)式按照某個(gè)字母（如x）的指數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┮来闻帕?，這種排列叫作關(guān)于這個(gè)字母（如x）的降（升）冪排列.按照x的降冪排序注意：整式加減的結(jié)果要最簡(jiǎn)：

不能有同類項(xiàng)；含字母的項(xiàng)的系數(shù)不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，如果有帶分?jǐn)?shù)，必須將其化成假分?jǐn)?shù)；一般不含括號(hào).練一練：已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2，求下列結(jié)果并按x的降冪排列：（1）A-2B；（2）2A+B.解：（1）A-2B=(3x2-2xy+y2)-2(2x2+3xy-4y2)=3x2-2xy+y2-4x2-6xy+8y2=-x2-8xy+9y2去括號(hào)時(shí)要注意括號(hào)前面系數(shù)按照y的降冪排序

9y2-8xy-x2練一練：已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2，求下列結(jié)果并按x的降冪排列：（1）A-2B；（2）2A+B.解：（2）

2A+B=2(3x2-2xy+y2)+(2x2+3xy-4y2)=6x2-4xy+2y2+2x2+3xy-4y2=8x2-xy-2y2歸納：1.幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加、減連接，然后進(jìn)行計(jì)算.2.整式加減實(shí)際上就是：去括號(hào)、合并同類項(xiàng).3.整式加減的結(jié)果要最簡(jiǎn)，不能含有同類項(xiàng).4.運(yùn)算結(jié)果，常將多項(xiàng)式按某個(gè)字母的降（升）冪排列.知識(shí)點(diǎn)二整式的化簡(jiǎn)求值先化簡(jiǎn)，再求值.例45a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)]，其中a=4.解：原式=5a2-(a2-2a+5a2-2a2+6a)=5a2-(4a2+4a)=5a2-4a2-4a=a2-4a當(dāng)a=4時(shí)，原式=a2-4a=42-4×4=0.思考：還可以怎樣化簡(jiǎn)？由內(nèi)向外，先去小括號(hào)由外向內(nèi)，先去大括號(hào)解：原式=5a2-a2+(2a-5a2)+2(a2-3a)=5a2-a2+2a-5a2+2a2-6a=a2-4a5a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)]，其中a=4.當(dāng)a=4時(shí)，原式=a2-4a=42-4×4=0.先化簡(jiǎn)，再求值.例4練一練：先化簡(jiǎn)，再求值：（1）(2x2-5x+4)-3(x2-x+1)，其中x=-2；（2）3a2b+(-2ab2+a2b)-2(a2b+2ab2)，其中a=-2，b=-1.解：（1）原式=2x2-5x+4-3x2+3x-3=-x2-2x+1當(dāng)x=-2時(shí)，原式=-x2-2x+1=-(-2)2-2×(-2)+1=-4+4+1=1練一練：先化