23.1.2平行線分線段成比例第23章

圖形的相似【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：23.1.2平行線分線段成比例副標題：探究平行線與線段比例的關(guān)系幻燈片2：復(fù)習(xí)回顧成比例線段的定義：四條線段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)，則這四條線段成比例。比例的基本性質(zhì)：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)，則\(ad=bc\)。引入：平行線是幾何中常見的圖形，當一組平行線截兩條直線時，所得的線段之間是否存在比例關(guān)系呢？這就是本節(jié)課要探究的內(nèi)容?；脽羝?：平行線分線段成比例的基本事實實驗探究：如圖，三條平行線\(l_1\parallell_2\parallell_3\)截兩條直線\(a\)、\(b\)，交點分別為\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)。測量線段\(AB\)、\(BC\)、\(DE\)、\(EF\)的長度，計算\(\frac{AB}{BC}\)和\(\frac{DE}{EF}\)的值，會發(fā)現(xiàn)兩者相等?；臼聦崳簝蓷l直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。符號表示：若\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，則\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，\(\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}\)，\(\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}\)等（根據(jù)對應(yīng)線段的不同組合）?；脽羝?：基本事實的理解與拓展對應(yīng)線段：指被平行線截得的線段中，位置相對應(yīng)的線段。例如，在\(l_1\parallell_2\parallell_3\)中，\(AB\)與\(DE\)是對應(yīng)線段，\(BC\)與\(EF\)是對應(yīng)線段。多種比例形式：由\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，根據(jù)比例的基本性質(zhì)和合比性質(zhì)，還可得到\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)等。示例：若\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，\(AB=2\)，\(BC=3\)，\(DE=4\)，則由\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)可得\(\frac{2}{3}=\frac{4}{EF}\)，解得\(EF=6\)?；脽羝?：推論——平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）推論內(nèi)容：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。圖形表示：在\(\triangleABC\)中，若\(DE\parallelBC\)，則\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，\(\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}\)。推導(dǎo)依據(jù)：將三角形的兩邊看作被平行線\(DE\)和\(BC\)所截的兩條直線，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實可直接得出。幻燈片6：推論的應(yīng)用場景已知平行線和部分線段長度，求未知線段長度。證明兩條線段成比例。結(jié)合比例性質(zhì)，解決與三角形相關(guān)的比例問題。幻燈片7：例題1——利用基本事實求線段長度題目：如圖，直線\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，直線\(a\)、\(b\)與它們分別交于點\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)，若\(AB=3\)，\(BC=6\)，\(DE=2\)，求\(EF\)的長度。解答過程：因為\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實，可得\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)。代入已知數(shù)據(jù)：\(\frac{3}{6}=\frac{2}{EF}\)。解得\(EF=4\)。結(jié)論：\(EF\)的長度為\(4\)?；脽羝?：例題2——利用推論求線段長度題目：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(AE=4\)，求\(EC\)的長度。解答過程：因為\(DE\parallelBC\)，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得對應(yīng)線段成比例，可得\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)。代入已知數(shù)據(jù)：\(\frac{2}{3}=\frac{4}{EC}\)。解得\(EC=6\)。結(jié)論：\(EC\)的長度為\(6\)?；脽羝?：例題3——證明線段成比例題目：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，交\(AB\)于點\(D\)，交\(AC\)于點\(E\)，求證：\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)。證明過程：因為\(DE\parallelBC\)，所以\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)（平行線分線段成比例推論）。根據(jù)比例的基本性質(zhì)，交叉相乘得\(AD\cdotAC=AE\cdotAB\)。兩邊同時除以\(AE\cdotAC\)（\(AE\neq0\)，\(AC\neq0\)），可得\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)。結(jié)論：\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)成立?；脽羝?0：易錯點分析對應(yīng)線段識別錯誤：在應(yīng)用基本事實或推論時，分不清哪條線段與哪條線段對應(yīng)，導(dǎo)致比例式列錯。例如，將\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)錯誤寫成\(\frac{AB}{BC}=\frac{EF}{DE}\)。忽略“一組平行線”的條件：只有當截線被一組平行線所截時，對應(yīng)線段才成比例，若平行線的組數(shù)不夠或不是平行線，則不能應(yīng)用該性質(zhì)。在三角形中，平行線的位置判斷錯誤：推論中強調(diào)“平行于三角形一邊的直線”，若直線不平行于三角形的任一邊，則不能應(yīng)用該推論。計算時單位不統(tǒng)一：在涉及線段長度計算時，若單位不統(tǒng)一，會導(dǎo)致結(jié)果錯誤，需先統(tǒng)一單位再計算?；脽羝?1：課堂練習(xí)1——基礎(chǔ)應(yīng)用題目：如圖，直線\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，截直線\(m\)、\(n\)于點\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)，若\(AB:BC=2:3\)，\(DE=4\)，則\(EF=\)______。答案：\(6\)?；脽羝?2：課堂練習(xí)2——綜合應(yīng)用題目：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=3\)，\(AB=9\)，\(AE=2\)，求\(AC\)的長度。解答過程：因為\(DE\parallelBC\)，所以\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)。代入數(shù)據(jù)：\(\frac{3}{9}=\frac{2}{AC}\)。解得\(AC=6\)。答案：\(6\)。幻燈片13：課堂小結(jié)平行線分線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線所截，對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得對應(yīng)線段成比例。應(yīng)用要點：準確識別對應(yīng)線段，牢記適用條件，熟練進行比例計算和證明?；脽羝?4：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：如圖，\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，\(AB=5\)，\(BC=10\)，\(DE=3\)，求\(EF\)的長。在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=4\)，\(DB=6\)，\(AC=15\)，求\(AE\)的長。提升作業(yè)：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(DF\parallelAC\)，求證：\(\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FC}\)。已知在\(\triangleABC\)中，直線\(DE\)交\(AB\)于\(D\)，交\(AC\)于\(E\)，若\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，求證：\(DE\parallelBC\)。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解1.平行線等分線段定理推論1推論22.平行線等分線段定理的應(yīng)用把線段n

等分.證明同一直線上的線段相等.復(fù)習(xí)導(dǎo)入ABCmnDEF翻開我們的作業(yè)本，每一頁都是由一些間距相等的平行線組成的.推進新課AB=BCDE=EF相鄰的三條平行線現(xiàn)在讓我們觀察一般的情況.做一做ADBmFECn不相鄰的三條平行線①當m、n兩條直線平行時，AD、DB、FE、EC這四條線段的長度有什么關(guān)系？圖23.1.4ADBmFECn不相鄰的三條平行線②當m、n兩條直線不平行時，AD、DB、FE、EC這四條線段的長度有什么關(guān)系？圖23.1.5兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.ADBmFECn的基本事實平行線分線斷成比例思考（1）如圖，當圖23.1.5中的點A

與點F

重合時就形成一個三角形的特殊情況，此時，AD、DB、AE、EC

這四條線段之間會有怎樣的關(guān)系？ADB（F）EC在△ABC中，DE∥BC，過點A

作DE

的平行線.平行線分線段成比例的基本事實比例有關(guān)性質(zhì)ADB（F）EC思考（2）如圖，當圖23.1.5中的直線m、n相交于第二條平行上某點時，是否也有類似的成比例線段呢？ADBmECn過點A

作DE

的平行線平行線分線段成比例的基本事實平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.歸納：ADB（F）ECADBmECn如圖，l1∥l2∥l3，AB=4，DE=3，EF=6，求BC

的長.例3解∵l1∥l2∥l3，∵AB=4，DE=3，EF=6，

∴BC=8.ABCDEFl1l2l3如圖，E

為□

ABCD

的邊CD

的延長線上的一點，連結(jié)BE，交AC

于點O，交AD

于點F.求證：例4ABCDEOF∵AF∥BC

，∵

AB

∥CE,

ABCDEOF證明隨堂演練1.如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯誤的是（）ACEBDFl1l2l3D2.如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2

與這三條平行線分別交于點A、B、C

和點D、E、F，AB=4，BC=3，DF=9，求EF

的長.EDFBl2ACl1解過A、F

做直線l3，交平行線BE于G點，可得Gl3EDFBl2ACl1Gl3兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)：將一條線段AB

分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即，則可得出這一比值等0.618···.這種分割稱為黃金分割，點P

叫做線段AB

的黃金分割點.黃金分割A(yù)PB自然界的黃金分割女神維納斯D返回A返回2．[2025太原期中]如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE∶BE＝1∶2，DF＝3，則FC的長為(

)A．6 B．3C．5 D．9返回3．如圖，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的長等于________．4.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC．若AD＝6，AB＝8，則AE∶AC＝(

)A．3∶1B．3∶4C．3∶5D．2∶3B返回5．如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為________．返回返回6．如圖是某同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P表示的數(shù)是________．返回7．如圖，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于點O