一、單元學(xué)習(xí)主題本單元是“圖形的性質(zhì)”領(lǐng)域“三角形”主題中的“勾股定理”.二、單元學(xué)習(xí)內(nèi)容分析1.課標(biāo)分析《標(biāo)準(zhǔn)2022》指出“圖形的性質(zhì)”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,通過(guò)建立幾何模型,發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題的能力、抽象概括能力、符號(hào)表達(dá)能力,在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的過(guò)程中,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、化歸等思想方法,提升空間觀念和幾何直觀;通過(guò)合情推理和演繹推理,體會(huì)幾何的基本思想和思維模式.組織學(xué)生觀察直角三角形對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系時(shí),引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;在經(jīng)歷命題的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中,增強(qiáng)推理能力,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷確立幾何命題的過(guò)程,體會(huì)命題中條件和結(jié)論的表示,感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性,會(huì)借助圖形分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.而勾股定理更是搭建起了幾何圖形與數(shù)量關(guān)系的一座橋梁,是平面幾何也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一.2.本單元教學(xué)內(nèi)容分析人教版教材八年級(jí)下冊(cè)第十七章“勾股定理”,本章包括兩個(gè)小節(jié):17.1勾股定理;17.2勾股定理的逆定理.“勾股定理”揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,即在直角三角形中,已知任意兩邊長(zhǎng),就可以求出第三條邊長(zhǎng),其探究從特殊的等腰直角三角形出發(fā),到網(wǎng)格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過(guò)程和研究方法.證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積,并以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明勾股定理的不同思路.“勾股定理的逆定理”是利用邊長(zhǎng)關(guān)系來(lái)判定三角形是直角三角形的一種方法.勾股定理和它的逆定理是互為逆定理的關(guān)系,兩個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反,從勾股定理到它的逆定理,經(jīng)歷從直覺(jué)上升到嚴(yán)密的邏輯推理證明,認(rèn)識(shí)逆命題與逆定理的不同.三、單元學(xué)情分析學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)認(rèn)識(shí)了三角形的三邊關(guān)系,初步認(rèn)識(shí)到通過(guò)對(duì)幾何圖形分析其幾何特征從而得到數(shù)量關(guān)系.勾股定理是關(guān)于直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)特殊的結(jié)論,在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積關(guān)系,進(jìn)而得出三邊之間的關(guān)系,但是要從等腰直角三角形過(guò)渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形,并提出合理的猜想,對(duì)此,學(xué)生有較大困難,并且學(xué)生第一次嘗試用構(gòu)造圖形的方法來(lái)證明定理也存在較大困難.因此在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直角三角形這個(gè)幾何圖形的幾何特征90°的直角的理解.同樣,對(duì)于勾股定理的逆定理也是要先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)代數(shù)式a2+b2=c2的代數(shù)特征,再得出幾何結(jié)論.四、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程探索勾股定理,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力.2經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)測(cè)量、猜想、證明等探索勾股定理的逆定理的過(guò)程,體會(huì)“同一法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想.3.能夠運(yùn)用勾股定理得到無(wú)理數(shù),經(jīng)歷由形到數(shù)再到形的過(guò)程,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.4.能夠運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題,發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.5.經(jīng)歷探究勾股定理逆命題為真命題的過(guò)程,知道互逆命題與互逆定理.6.在探究勾股定理的過(guò)程中,理解趙爽弦圖的意義,了解勾股定理的相關(guān)史料,知道我們古代在研究勾股定理上的杰出成就,培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.五、單元學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法概覽六、單元評(píng)價(jià)與課后作業(yè)建議本單元課后作業(yè)整體設(shè)計(jì)體現(xiàn)以下原則:針對(duì)性原則:每課時(shí)作業(yè)嚴(yán)格按照新課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定針對(duì)性的作業(yè),及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)業(yè)質(zhì)量情況.層次性原則:教師注意將作業(yè)分層進(jìn)行,注重知識(shí)的層次性和學(xué)生的層次性.知識(shí)由易到難,由淺入深,循序漸進(jìn),突出基礎(chǔ)知識(shí),基本技能,滲透人人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),人人有所獲的思想.重視過(guò)程與方法,發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).根據(jù)以上建議,本單元課后作業(yè)設(shè)置為兩部分,基礎(chǔ)性課后作業(yè)和拓展性課后作業(yè).綜合訓(xùn)練一、選擇題1.如圖,帶陰影的長(zhǎng)方形的面積是()A.9cm2 B.24cm2C.45cm2 D.51cm22.若a,b,c是直角三角形的三條邊,下列說(shuō)法正確的是()A.a2,b2,c2能組成三角形B.3a,3b,3c能組成直角三角形C.a+3,b+4,c+5能組成直角三角形D.3a,4b,5c能組成直角三角形3.如圖,在長(zhǎng)方形紙片ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),且AE=1,BE的垂直平分線(xiàn)MN恰好過(guò)點(diǎn)C,則長(zhǎng)方形紙片的一邊AB的長(zhǎng)度為()A.1 B.2 C.3 D.24.如圖,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,∠ACB=90°,分別以AB,BC,AC為直徑作三個(gè)半圓,則陰影部分的面積為()A.14cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.48cm25.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(0,3),以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為()A.(-1,0) B.(-2,0) C.(-5+4,0) D.(-1.5,0)6.下列命題的逆命題是真命題的是()A.若a=b,則|a|=|b| B.全等三角形的周長(zhǎng)相等C.若a=0,則ab=0 D.有兩邊相等的三角形是等腰三角形7.勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖①,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按如圖②所示的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出()圖①圖②A.直角三角形的面積 B.最大正方形的面積C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和8.如圖①,第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱(chēng)ICME-7)會(huì)徽,在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形,恰好能組合得到如圖②所示的四邊形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30°,則點(diǎn)B到OC的距離為()圖①圖②A.55 B.255 C.1 二、填空題9.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一,在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問(wèn)折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是:如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長(zhǎng).如果設(shè)AC=x,則可列方程為.

10.命題“在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”的逆命題是

,它是命題.

11.如圖①,直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°,其三邊上分別有一個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作:由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形,再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形.圖②是1次操作后的圖形,圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形,人們把它稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”.若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2,則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為.

12.如圖,長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細(xì)線(xiàn)從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線(xiàn)最短需要cm.

三、解答題13.若a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),且a,b,c滿(mǎn)足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.(1)求出a,b,c的值;(2)△ABC是直角三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.14.為了減少交通事故的發(fā)生,某條例規(guī)定:小汽車(chē)在城市街道上行駛速度不得超過(guò)70km/h.如圖,一輛小汽車(chē)在一條由東向西的城市街道上直道行駛,某一時(shí)刻剛好行駛到路邊車(chē)速監(jiān)測(cè)儀的正前方30m處,過(guò)了2s后,測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速監(jiān)測(cè)儀的距離為50m,問(wèn)這輛小汽車(chē)超速了嗎?15.如圖,在正方形ABCD中,M為AB的中點(diǎn),N為AD上的一點(diǎn),且AN=14AD,試猜想△CMN是什么三角形,請(qǐng)證明你的結(jié)論16.[問(wèn)題情境]勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理,它有很多種證明方法,我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖,利用面積法進(jìn)行證明,著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球,作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話(huà)”的語(yǔ)言.[定理表述]請(qǐng)你根據(jù)圖①中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號(hào)語(yǔ)言敘述).圖①圖②[嘗試證明]以圖①中的直角三角形為基礎(chǔ),可以構(gòu)造出以a,b為底,以a+b為高的直角梯形(如圖②),請(qǐng)你利用圖②,驗(yàn)證勾股定理.[知識(shí)拓展]利用圖②中的直角梯形,我們可以證明a+b因?yàn)锽C=a+b,AD=,

又因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BCD中有BCAD(填大小關(guān)系),即,

所以a+17.閱讀:能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a,b,c,稱(chēng)為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》,其勾股數(shù)組公式為a=12(m2-n應(yīng)用:當(dāng)n=1時(shí),求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng).綜合訓(xùn)練一、選擇題1.C2.B∵a,b,c是直角三角形的三條邊,∴3a,3b,3c能組成直角三角形,a2,b2,c2不一定能組成三角形,其他情況都不能得到直角三角形.3.C連接CE(圖略),則CE=BC=2,AE=1,由勾股定理,得CD=3.4.C由勾股定理可證,分別以直角邊AC,BC為直徑的兩半圓的面積和等于以斜邊AB為直徑的半圓的面積,故陰影部分的面積等于Rt△ABC的面積.5.A6.DA的逆命題是若|a|=|b|,則a=b,假命題;B的逆命題是周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形,假命題;C的逆命題是若ab=0,則a=0,假命題;D的逆命題是等腰三角形的其中兩邊相等,真命題.7.C8.B二、填空題9.x2+32=(10-x)210.在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°真把題中的結(jié)論作為條件,把條件作為結(jié)論,可知此命題為真命題.11.48如圖,把題圖②中各個(gè)小正方形標(biāo)上字母,設(shè)正方形a的邊長(zhǎng)為x,正方形b的邊長(zhǎng)為y.∴正方形a的面積為x2,正方形b的面積為y2.由題意,得正方形c的邊長(zhǎng)為2,并且是直角三角形的斜邊,∴正方形c的面積為4.根據(jù)勾股定理可得x2+y2=22=4.∴正方形a的面積+正方形b的面積=4.∴題圖①中所有正方形的面積和=4+4=8.同理可得,正方形e的面積+正方形f的面積=正方形a的面積,正方形g的面積+正方形h的面積=正方形b的面積,∴正方形e的面積+正方形f的面積+正方形g的面積+正方形h的面積=正方形a的面積+正方形b的面積=4.∴題圖②中所有正方形的面積和=題圖①中所有正方形的面積和+4=12.即1次操作后所有正方形的面積和=題圖①中所有正方形的面積和+4=12.同理可得2次操作后增加的8個(gè)小正方形的面積和也是4.∴2次操作后所有正方形的面積和=題圖①中所有正方形的面積和+2×4=8+8=16.∴10次操作后所有正方形的面積和=題圖①中所有正方形的面積和+10×4=8+40=48.12.10把該長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面展開(kāi)(圖略),連接AB,即為所用最短細(xì)線(xiàn).由勾股定理,得AB=(1+1+3+3)2三、解答題13.解(1)由題意得a-5=0,b-12=0,c-13=0,∴a=5,b=12,c=13.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:∵a2+b2=52+122=25+144=169,c2=132=169,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.14.解這輛小汽車(chē)超速了.理由:由勾股定理,得BC=AB2-AC2=50因?yàn)?0m/s=72km/h>70km/h,所以這輛小汽車(chē)超速了.15.解猜想△CMN是直角三角形.證明如下:設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則AM=2a,AN=a,DN=3a.在Rt△AMN中,由勾股定理,得MN2=5a2.同理可得CN2=25a2,CM2=20a2.所以MN2+CM2=CN2.所以△CMN是直角三角形.16.解[定理表述]如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.[嘗試證明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC.又∠EDC+∠DEC=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.∴∠AED=90°.∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED,∴12(a+b)(a+b)=12ab