3/33.1.2空間向量的基本定理一、教學(xué)目標(biāo)：1.了解空間向量基本定理及其推論；2.理解空間向量的基底、基向量的概念。二、教學(xué)重點(diǎn)：向量的分解（空間向量基本定理及其推論）三、教學(xué)難點(diǎn)：空間作圖四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：（一）復(fù)習(xí)引入1.復(fù)習(xí)向量與平面平行、共面向量的概念．區(qū)別：(1)向量與平面平行時(shí)，向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平行時(shí)兩者是沒有公共點(diǎn)的．(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．2.空間共面向量定理及其推論．(1)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x，y，使得p=xa+yb．(2)共面向量定理的推論：空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)O，有．對平面向量基本定理加以推廣，應(yīng)用上面的三個(gè)公式可以解決與四點(diǎn)共面有關(guān)的問題，得出空間向量基本定理。（二）新課講授問題1.兩個(gè)平面向量貢獻(xiàn)的判定與性質(zhì)，是對于空間向量仍然成立？共線向量定理兩個(gè)空間向量a,b(b≠0)，a//b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)x，使得a=xb問題2.在平面向量中，向量與向量（≠0）共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ．那么，空間任意一個(gè)向量與兩個(gè)不共線的向量，共面時(shí)，它們之間存在什么樣的關(guān)系呢？通常我們把平行于同一個(gè)平面的向量叫共面向量；理解：(1)若，為不共線且同在平面α內(nèi)，則與，共面的意義是在α內(nèi)或∥．(2)空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了．平面向量中，向量與非零向量共線的充要條件是，類比到空間向量，即有：共面向量定理如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得＝x＋y．這就是說，向量可以由不共線的兩個(gè)向量，線性表示．問題3.如果向量、、分別和向量a、b、c共線，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc事實(shí)上，對空間任一向量，我們都可以構(gòu)造出上述平行六面體，由此我們得到了空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對于空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．證明：存在性：唯一性：設(shè)另有一組實(shí)數(shù)x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，則有xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y(tǒng)－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y(tǒng)’且z＝z’．故實(shí)數(shù)x、y、z是唯一的．由上述定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成，我們把｛a、b、c｝叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量．說明：(1)空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是零向量．（零向量與任意非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面）(3)一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量．由定理的證明過程可以得到下面的推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四個(gè)點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使．說明：若x＋y＋z＝1，則根據(jù)共面向量定理得：P、A、B、C四點(diǎn)共面．四、課時(shí)小結(jié)1.空間向量基本定理也成為空間向量分解定理，它與平面向量基本定理類似，區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中多了以“項(xiàng)”。證明的思路