《正多邊形和圓（第二課時(shí)）》知識(shí)回顧正多邊形的性質(zhì)正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的有關(guān)計(jì)算添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距中心半徑邊心距中心角正多邊形的對(duì)稱性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)利用等分圓周畫圓內(nèi)接正多邊形.課堂導(dǎo)入正多邊形和圓有什么關(guān)系？你能借助圓畫一個(gè)正多邊形嗎？知識(shí)點(diǎn)1新知探究已知⊙O

的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．度量法①：用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．OBCA12知識(shí)點(diǎn)1新知探究度量法②：用量角器度量，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．OBCA已知⊙O

的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．知識(shí)點(diǎn)1新知探究度量法③：用圓規(guī)在⊙O上順次截取6條長(zhǎng)度等于半徑(2cm)的弦，連接其中的AB，BC，CA

即可．OBCA已知⊙O

的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．知識(shí)點(diǎn)1新知探究對(duì)于一些特殊的正多邊形，還可以用圓規(guī)和直尺來作圖.例如，我們也可以這樣來作正六邊形.由于正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，所以在半徑為R的圓上依次截取等于R的弦，就可以把圓六等分，順次連接各分點(diǎn)即可得到半徑為R的正六邊形.知識(shí)點(diǎn)1新知探究對(duì)于一些特殊的正多邊形，還可以用圓規(guī)和直尺來作圖.再如，用直尺和圓規(guī)作兩條互相垂直的直徑，就可以把圓四等分，從而作出正方形.知識(shí)點(diǎn)1新知探究

知識(shí)點(diǎn)1新知探究用尺規(guī)等分圓：用尺規(guī)作圖的方法等分圓周，然后依次連接圓上各分點(diǎn)得到正多邊形，這種方法有局限性，不是任意正多邊形都能用此法作圖，這種方法從理論上講是一種準(zhǔn)確方法．知識(shí)點(diǎn)1新知探究活學(xué)巧記份相等分割圓，n值必須不小于3，依次連接各分點(diǎn)，內(nèi)接正n邊形在眼前.跟蹤訓(xùn)練新知探究用等分圓周的方法畫出下列圖案.解：在第一個(gè)圖中把圓六等分，分別以六等分點(diǎn)A,B,C,D,E,F為圓心，都以O(shè)A為半徑畫弧即可得到圖案．在第二個(gè)圖中把圓五等分，分別以五等分點(diǎn)A,B,C,D,E為圓心，都以AB為半徑畫弧即可得到圖案．隨堂練習(xí)1畫一個(gè)半徑為2cm的正五邊形，再作出這個(gè)正五邊形的各條對(duì)角線，畫出一個(gè)五角星.隨堂練習(xí)2面積相等的正三角形與正六邊形的邊長(zhǎng)之比為

.

課堂小結(jié)用量角器等分圓正多邊形的畫法此方法可將圓任意n等分，所以用該方法可作出任意正多邊形，但邊數(shù)很大時(shí)，容易產(chǎn)生較大的誤差.用尺規(guī)等分圓此方法是一種比較準(zhǔn)確的等分圓的方法，但有局限性，不能將圓任意等分.對(duì)接中考1已知⊙O如圖所示.(1)求作⊙O的內(nèi)接正方形(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若⊙O的半徑為4，求它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).

對(duì)接中考2如圖，正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M.求證：(1)AC//ED；(2)ME=AE.

對(duì)接中考2如圖，正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M.求證：(1)AC//ED；(2)ME=AE.

認(rèn)識(shí)正多邊形1234567891011121314151617181.(滄州?？计谥?下列圖形是正多邊形的是(

C

)C【解析】A.是等腰三角形，不是正多邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；B.是矩形，不是正多邊形，故該選項(xiàng)不符合題意；C.是正五邊形，故該選項(xiàng)符合題意；D.是一般六邊形，不是正多邊形，故該選項(xiàng)不符合題意.1234567891011121314151617182.以下必為正多邊形的是(

C

)A.圓內(nèi)接平行四邊形B.圓內(nèi)接矩形C.圓內(nèi)接菱形D.圓內(nèi)接梯形C123456789101112131415161718【解析】A.圓內(nèi)接平行四邊形是矩形，不一定是正多邊形，該選項(xiàng)不

符合題意；B.圓內(nèi)接矩形還是矩形，該選項(xiàng)不符合題意；C.∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，菱形的對(duì)角相等，四條邊相等，∴菱

形的每個(gè)內(nèi)角為90°.∴圓內(nèi)接菱形是正方形，該選項(xiàng)符合題意；D.圓內(nèi)接梯形不一定是正多邊形，該選項(xiàng)不符合題意.123456789101112131415161718

正多邊形的有關(guān)計(jì)算3.(石家莊校聯(lián)考期末)若一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的中心角是60°，則

這個(gè)多邊形是(

D

)A.正九邊形B.正八邊形C.正七邊形D.正六邊形

D1234567891011121314151617184.(衡水校聯(lián)考二模)如圖，

BD

，

DF

是正六邊形

ABCDEF

的兩條

對(duì)角線，已知四邊形

ABDF

的面積為8，則陰影部分的面積為(

B

)A.2B.4第4題圖B123456789101112131415161718【解析】如圖，連接

AD

，則

AD

過正六邊形

ABCDEF

的外接圓的圓心

O

，連接

OB

，

∵正六邊形

ABCDEF

，

∵

OA

＝

OB

，∴△

AOB

是等邊三角形.∴

OA

＝

OB

＝

AB

＝

BC

.

∴

S△

BCD

＝

S△

BOD

＝

S△

AOB

.

∴

S陰影部分＝

S△

ABD

＝4.1234567891011121314151617185.(保定二模)如圖，一個(gè)正多邊形紙片被一塊矩形擋板遮住一部

分，則這個(gè)正多邊形紙片的邊數(shù)是(

C

)A.4B.5C.6D.7第5題圖C【解析】根據(jù)正多邊形的定義把多邊形補(bǔ)充完整如圖，由圖形，得這個(gè)正多邊形紙片是六邊形，123456789101112131415161718

A.六B.四C.五D.三B123456789101112131415161718【解析】如圖，∵圓

A

是正多邊形的內(nèi)切圓，∴∠

ACD

＝∠

ABD

＝90°，

AC

＝

AB

，

CD

＝

BD

.

∵正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)的比為1∶2，∴

AB

＝

BD

.

∴△

ABD

是等腰直角三角形.∴∠

BAD

＝45°，∴∠

CAB

＝90°，即正多邊形的中心角是90°.∴它的邊數(shù)＝360°÷90°＝4.1234567891011121314151617187.(邢臺(tái)?？茧A段練習(xí))已知一個(gè)三角形的內(nèi)心與外心重合，若它的

內(nèi)切圓的半徑為2，則它的外接圓的面積為(

D

)A.4πB.8πC.12πD.16πD123456789101112131415161718【解析】∵一個(gè)三角形的內(nèi)心與外心重合.∴該三角形是等邊三角形.如圖，根據(jù)題意，△

ABC

是等邊三角形，其內(nèi)心與外心均為點(diǎn)

O

，連接

OB

，過點(diǎn)

O

作

OD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，則

OD

＝2.∵∠

ABC

＝60°，

OB

平分∠

ABC

，

在Rt△

OBD

中，

OB

＝2

OD

＝4，∴△

ABC

的外接圓的半徑為4.∴它的外接圓的面積為π×42＝16π.123456789101112131415161718

正多邊形畫法8.(衡水校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，已知☉

O

.

用尺規(guī)作☉

O

的內(nèi)接正

六邊形

ABCDEF

(不寫作法、保留作圖痕跡).解：正六邊形

ABCDEF

如圖所示(答案不唯一).123456789101112131415161718

正多邊形的外角9.若正多邊形的一個(gè)外角等于45°，則這個(gè)正多邊形是(

C

)A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形【解析】∵任意多邊形的外角和為360°，正多邊形的一個(gè)外角等于45°，∴正多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8.C123456789101112131415161718

10.(保定期中)如圖所示的正六邊形花環(huán)繞中心至少旋轉(zhuǎn)α度能與自

身重合，則α為(

B

)A.30°B.60°C.120°D.180°第10題圖B123456789101112131415161718【解析】如圖所示，點(diǎn)

O

為正六邊形的中心，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，將點(diǎn)

A

繞點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)

B

，∠

AOB

的度數(shù)即

為所求.∵這是一個(gè)正六邊形，

∴α＝60.12345678910111213141516171811.(滄州模擬預(yù)測(cè))如圖，將一個(gè)正

n

邊形繞其中心

O

旋轉(zhuǎn)45°或60°

都能和其本身重合，則

n

的最小值是(

D

)A.6B.8C.12D.24第11題圖D【解析】∵正

n

邊形繞其中心

O

旋轉(zhuǎn)45°或60°都能和其本身重合，45°和60°的最大公約數(shù)為15°，∴正

n

邊形的中心角最大為15°.∴360°÷15°＝24.12345678910111213141516171812.利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖所示的圖案，則相鄰兩等

分點(diǎn)之間的距離為(

A

)A.3C.4D.6第12題圖A12345678910111213141516171813.如圖，☉

O

與正五邊形

ABCDE

的兩邊

AE

，

CD

分別相切于

A

，

C

兩

點(diǎn)，則∠

AOC

的度數(shù)是(

A

)A.144°B.130°C.129°D.108°第13題圖A123456789101112131415161718

12345678910111213141516171814.(衡水二模)如圖，

N

是正六邊形

ABCDEF

對(duì)角線

CF

上一點(diǎn)，

延長(zhǎng)

FE

，

CD

相交于點(diǎn)

M

，若

S△

ABN

＝2，則

S五邊形

ABCMF

＝(

C

)A.10B.12C.14D.16第14題圖C【解析】如圖，連接

BE

，

AD

，記正六邊形

ABCDEF

中心為

O

，∵正六邊形

ABCDEF

，∴

S△

AOB

＝

S△

ABN

＝2＝

S△

BOC

＝

S△

AOF

＝

S△

DOE

＝

S△

EOF

＝

S△

COD

＝

S△

DEM

.

∴

S五邊形

ABCMF

＝2×7＝14.12345678910111213141516171815.(保定二模)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形紙片

ABCDEF

上剪一

個(gè)正方形

GHIJ

，若

GH

∥

AB

，則得到的正方形邊長(zhǎng)最大為(

D

)第15題圖D123456789101112131415161718【解析】當(dāng)正方形頂點(diǎn)落在正六邊形邊上時(shí)，正方形面積最大.如圖，取正六邊形的中心

O

，連接

OA

，

OF

，

OG

，

OF

交

GJ

于點(diǎn)

M

，此時(shí)，

OF

垂直平分

GJ

，正方形的中心也是

O

，△

AFO

是等邊三

角形，∴∠

GFO

＝60°，∠

GOF

＝45°，

OF

＝

AF

＝2.

123456789101112131415161718

A.6C.8D.9第16題圖D123456789101112131415161718【解析】如圖，連接

BF

.

∵在正六邊形

ABCDEF

中，∠

A

＝∠

ABC

＝120°，

AB

＝

AF

，∴∠

ABF

＝30°.∴∠

CBF

＝∠

ABC

－∠

ABF

＝90°.∵在正六邊形

ABCDEF

中，∠

BOC

＝60°，

OB

＝

OC

，∴△

BOC

是等邊三角形.∴∠

BCF

＝60°.∴△

BCF

是含30°角的直角三角形.123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

12345678910111