第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市林甸一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=1,a(2sinB-3cosC)=3A.3 B.32 C.3或22.已知復(fù)數(shù)z=(3i-1)(1-iA.z的虛部為-2i B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

C.z的共軛復(fù)數(shù)z-3.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形O'A'B'C'，且O'A'//A.22 B.2 C.44.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題：

①m?α，n?α，m//β，n/?/β?α/?/β②nA.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是對(duì)角線AC1上的點(diǎn)(點(diǎn)M與A、C1不重合)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為(

)

①存在點(diǎn)M，使得平面A1DM⊥平面BC1D；

②存在點(diǎn)M，使得DM/?/平面B1CD1；

③若△A1A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.已知三棱錐P-ABC的外接球的球心為O，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=4，PAA.13 B.63 C.7.已知向量a，b滿足|a|=2|b|=2，且|2aA.1 B.2 C.2 D.8.已知向量a=(cosπ3,sinA.?x∈R，|2a-3b|>1 B.?x∈(-∞,0)，使得(a+二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知O為△ABC的外心，b=8，c=5，△ABC的面積S滿足(bA.S=103 B.|AO|=310.若(1+i)n=(1-i)n，其中A.104 B.106 C.108 D.10911.如圖，點(diǎn)M是正方體ABCD-A1B1C1A.點(diǎn)M存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿足CM⊥AD1

B.若正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐B-C1MD體積的最大值為13

C.在線段AD1上存在點(diǎn)M，使異面直線B1M三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知二面角α-l-β的棱上有A，B兩點(diǎn)，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l.若AB=6，13.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=|z1+z2|，z14.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知向量m=(cosC,2cos2B2-1),n=(b,c-四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F，G分別為線段PB，AD的中點(diǎn)．

(1)證明：AF//平面PGC；

(2)在線段BD上找一點(diǎn)H，使得FH/?/平面PGC，說(shuō)明理由并求此時(shí)BHBD16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC=BD=DC=23，AD=AB=PD=PB=2．

(1)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，M為DC的中點(diǎn)，求證：平面BEM//平面17.(本小題15分)

設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2．

(1)若4e1-3e18.(本小題17分)

已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足b(tanA+tanB)=2ctanB．

(1)求A的大?。?/p>

(2)若△19.(本小題17分)

如圖，在海岸A北偏西75°方向，距離A為2海里的C處有一艘緝私艇，該緝私艇發(fā)現(xiàn)在C正東與C距離6海里的B處有一走私船，走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.緝私艇奉命以103海里/時(shí)的速度攔截走私船．

(1)問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快攔截到走私船？求緝私艇沿最快攔截到走私船所需要的時(shí)間．

(2)若緝私艇最快在D處攔截到走私船，D位于A北偏東θ處，求D與A的距離及sinθ的值．

參考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.AD

10.AC

11.ABD

12.213.-114.14

915.解：(1)證明：取PC得中點(diǎn)Q，連接QF，

因?yàn)镕為PB的中點(diǎn)，

所以QF//BC，且QF=12BC，

又因?yàn)锳G//BC，且AG=12BC，

所以QF//AG且QF=AG，

故四邊形AGQF是平行四邊形，

故AF//GQ，

又因?yàn)锳F?平面PGC，GQ?平面PGC，

所以AF//平面PGC；

(2)連接AE，與BD相交于H，則H為BD的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，即為所求．

理由如下：在平行四邊形ABCD中，

因?yàn)镋、G分別是BC、AD中點(diǎn)，

則AG//CE，AG=CE，

即四邊形AECG是平行四邊形，

于是得AE//CG，令CG∩BD=M，

則BH=HM=MD，

而AE?平面PCG，CG?平面PCG，

因此AE//平面PCG，

由(1)知EF//平面PCG16.(1)證明：在等邊三角形BCD中，因?yàn)镸為DC的中點(diǎn)，

所以BM⊥CD，

因?yàn)锳D=AB=2，BD=23，

所以∠ADB=∠ABD=30°，

∠ADC=30°+60°=90°，即AD⊥CD，

所以BM//AD，

又BM?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BM//平面PAD，

又E為PC的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，所以EM//PD，

又EM?平面PAD，PD?平面PAD，所以EM//平面PAD，

又EM∩BM=M，所以平面BEM//平面PAD．

(2)解：過(guò)A作AN//BC，交CD于N，再過(guò)N作NF//PC，交PD于F，連接AF，

則F即為所求，

由∠ABC=30°+60°=90°，可得∠NAB=90°，∠DAN=120°-90°=30°，

在直角三角形ADN中，ND=ADtan30°=233，

則CN=23-233=433，

所以DN：CN=1：217.解：(1)因?yàn)閍=e1-2e2，b=e1+3e2，

所以λa+ub=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2，

因?yàn)?e1-3e2=λ18.(1)因?yàn)?sinC=sinB+cosBtanA，

所以2sinC=sinB+cosB?sinAcosA=sinBcosA+cosBsinAcosA=sin(B+A)cosA=sinCcosA，

所以2sinCcosA=sinC，因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC>0，

所以cosA=12，又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因?yàn)閏osAa+cosCc=sinAsinB3sinC19.(1)假設(shè)緝私艇最快在D處攔截到走私船，所需要的時(shí)間為t小時(shí)，

在△BCD中，CD=103t，BD=10t，∠CBD=120°，

由正弦定理知，CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，

所以103tsin120°=10tsin∠BCD，解得sin∠BCD=12，

因?yàn)?<∠BCD<