第七章復(fù)數(shù)題型歸納【題型1復(fù)數(shù)的基本概念】【例1】下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①；②若，且，則；③若，則；④兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.A．1B．2C．0D．3【變式1-1】下列命題：①若，則是純虛數(shù)；②若，，且，則；③若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．④【變式1-2】復(fù)數(shù)，則（）A．的實(shí)部為B．的虛部為C．的實(shí)部為D．的虛部為【變式1-3】下列命題正確的是（）A．實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是空集B．任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小C．任何復(fù)數(shù)的平方均非負(fù)D．虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集【題型2復(fù)數(shù)的分類(lèi)】【例2】若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．2 D．【變式2-1】若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B．0 C．1 D．2【變式2-2】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．1 C．-1 D．【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【例3】已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【變式3-1】已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式3-3】在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，0，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．【題型4復(fù)數(shù)的模的計(jì)算】【例4】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【變式4-1】如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-2】若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(其中是虛數(shù)單位，)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【題型5復(fù)數(shù)的模的幾何意義】【例5】已知為虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【變式5-1】已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為（）A．1 B．3 C． D．【變式5-2】設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．【變式5-3】已知，，則的最大值為（）A． B． C． D．【題型6復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】【例6】已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．【變式6-1】記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A． B． C． D．【變式6-2】計(jì)算：(1)；(2).【變式6-3】已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，．(1)若是實(shí)數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．【題型7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根的問(wèn)題】【例7】已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A． B． C．1 D．9【變式7-1】已知，為關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)虛根，則（）A．B．C．D．【變式7-2】已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根，其中，是實(shí)數(shù)(1)求和的值；(2)若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值【變式7-3】已知復(fù)數(shù)，其中是正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位(1)如果為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)如果，是關(guān)于的方程的一個(gè)復(fù)根，求的值.【題型8復(fù)數(shù)的三角表示】【例8】（24-25高一下·上?！て谀?fù)數(shù)的三角形式是（）A．； B．；C．； D．.【變式8-1】棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式8-2】復(fù)數(shù)的三角形式是（）A． B．C． D．【變式8-3】歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【題型9復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示】【例9】已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，且，則（）A．B．C．D．【變式9-1】歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下列運(yùn)算一定正確的是（）A．B．C．D．【變式9-2】計(jì)算：(1)；(2).【變式9-3】設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若把繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得兩向量恰好重合，求復(fù)數(shù).【題型10復(fù)數(shù)中的新定義問(wèn)題】【例10】定義運(yùn)算，則滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【變式10-1】定義復(fù)數(shù)的大小關(guān)系：已知復(fù)數(shù)，，，，，．若或（且），稱(chēng)．若且，稱(chēng)．其余情形均為．復(fù)數(shù)u，v，w分別滿(mǎn)足：，，，則下列各式一定錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【變式10-2】定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)．【變式10-3】已知復(fù)數(shù)，，，若一復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則稱(chēng)此復(fù)數(shù)為“理想復(fù)數(shù)”，已知為“理想復(fù)數(shù)”．(1)求實(shí)數(shù)；(2)定義復(fù)數(shù)的一種運(yùn)算“”：，求．第七章復(fù)數(shù)題型歸納答案【題型1復(fù)數(shù)的基本概念】【例1】下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①；②若，且，則；③若，則；④兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.A．1B．2C．0D．3【解答過(guò)程】對(duì)于①，因?yàn)?，所以，故①正確；對(duì)于②，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)，時(shí)，成立，故③錯(cuò)誤；④正確.故選：B.【變式1-1】下列命題：①若，則是純虛數(shù)；②若，，且，則；③若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．④【解答過(guò)程】對(duì)于①，若，則不是純虛數(shù)，則①錯(cuò)誤；對(duì)于②，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，則②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，，此時(shí)不是純虛數(shù)，則③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集的關(guān)系可知，實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，則④正確.故選：.【變式1-2】復(fù)數(shù)，則（）A．的實(shí)部為B．的虛部為C．的實(shí)部為D．的虛部為【解答過(guò)程】因?yàn)椋?，所以與的實(shí)部均為1，A，C錯(cuò)誤；的虛部為，B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-3】下列命題正確的是（）A．實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是空集B．任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小C．任何復(fù)數(shù)的平方均非負(fù)D．虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集【解答過(guò)程】解：實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集，所以A不正確；任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小，不正確，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，所以B不正確；任何復(fù)數(shù)的平方均非負(fù)，反例，所以C不正確；虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集的并集為復(fù)數(shù)集，所以D正確，故選：D．【題型2復(fù)數(shù)的分類(lèi)】【例2】若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．2 D．【解答過(guò)程】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得：，故選：C.【變式2-1】若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A． B．0 C．1 D．2【解答過(guò)程】若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則，解得.故選：A.【變式2-2】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．1 C．-1 D．【解答過(guò)程】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得.故選：A.【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【例3】已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【解答過(guò)程】由題意得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：B.【變式3-1】已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答過(guò)程】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，其關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，則，所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．故選：A.【變式3-2】已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解答過(guò)程】，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.【變式3-3】在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，0，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．【解答過(guò)程】由題知，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則有，.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以，即，得，所以點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：C.【題型4復(fù)數(shù)的模的計(jì)算】【例4】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【解答過(guò)程】設(shè)，則，即，解得，所以，，故選：A.【變式4-1】如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答過(guò)程】由圖可得，所以，所以.故選：C.【變式4-2】（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(其中是虛數(shù)單位，)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答過(guò)程】由得，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式4-3】若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)純虛數(shù)可得，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.【解答過(guò)程】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，解得，則故選：B.【題型5復(fù)數(shù)的模的幾何意義】【例5】已知為虛數(shù)單位，如果復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【解答過(guò)程】設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，因，且，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段，如圖所示.故的最小值問(wèn)題可理解為：動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，求的最小值，故只需作，交線段于點(diǎn)，則即為所求的最小值1，故的最小值是1.故選：A.【變式5-1】已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為（）A．1 B．3 C． D．【解答過(guò)程】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．【變式5-2】設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．【解答過(guò)程】因?yàn)?，所以點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)閮蓚€(gè)同心圓所形成的圓環(huán)，其中一個(gè)半徑為，另一個(gè)半徑為，則其面積為.故選：A.【變式5-3】已知，，則的最大值為（）A． B． C． D．【解答過(guò)程】設(shè)，則，所以，表示以為圓心，半徑為的圓，則，表示與之間的距離，即與圓上任意一點(diǎn)的距離，因，所以在圓外，所以.故選：D.【題型6復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】【例6】已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．【解答過(guò)程】因?yàn)?，所?故選：B.【變式6-1】記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A． B． C． D．【解答過(guò)程】由，得，所以.故選：A.【變式6-2】計(jì)算：(1)；(2).【解答過(guò)程】（1）.（2）.【變式6-3】已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，．(1)若是實(shí)數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．【解答過(guò)程】（1）因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即，所以，所以.（2）因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以且，解得，所以，所以.【題型7復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根的問(wèn)題】【例7】已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A． B． C．1 D．9【解答過(guò)程】由題意可得關(guān)于的方程的另一個(gè)根為，則，解得，則.故選：D.【變式7-1】已知，為關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩個(gè)虛根，則（）A．B．C．D．【解答過(guò)程】由，，∴方程的兩個(gè)虛根為，或，，不妨取，，則，，∴.故選：B.【變式7-2】已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根，其中，是實(shí)數(shù)(1)求和的值；(2)若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根（，是實(shí)數(shù)），所以也為方程的根，所以，所以；（2）由（1）可知，又是純虛數(shù)，所以，解得.【變式7-3】已知復(fù)數(shù)，其中是正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位(1)如果為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)如果，是關(guān)于的方程的一個(gè)復(fù)根，求的值.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得（負(fù)值舍去），所以.（2）因?yàn)椋?，則，因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)復(fù)根，所以與是的兩個(gè)復(fù)根，故，則，所以.【題型8復(fù)數(shù)的三角表示】【例8】復(fù)數(shù)的三角形式是（）A．； B．；C．； D．.【解答過(guò)程】，故選：C.【變式8-1】棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答過(guò)程】，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.【變式8-2】復(fù)數(shù)的三角形式是（）A． B．C． D．【解答過(guò)程】依題意，令，則，所以，因?yàn)?，所以，所以的三角形式?故選：D.【變式8-3】歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為【解答過(guò)程】對(duì)于A，，其虛部為1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,，故的共軛復(fù)數(shù)為，D正確，故選：D.【題型9復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示】【例9】已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，且，則（）A．B．C．D．【解答過(guò)程】逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，所以=.故選：A.【變式9-1】歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下列運(yùn)算一定正確的是（）A．B．C．D．【解答過(guò)程】.故選：C.【變式9-2】計(jì)算：(1)；(2).【解答過(guò)程】（