曲線方程題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.方程$x^{2}+y^{2}=1$表示的曲線是（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線2.拋物線$y=x^{2}$的焦點坐標是（）A.$(0,\frac{1}{4})$B.$(\frac{1}{4},0)$C.$(0,1)$D.$(1,0)$3.橢圓$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的長軸長為（）A.3B.4C.6D.84.雙曲線$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的漸近線方程是（）A.$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$B.$y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x$C.$y=\pm\frac{5}{4}x$D.$y=\pm\frac{4}{5}x$5.曲線$y=2x^{2}+1$在點$(1,3)$處的切線斜率為（）A.4B.5C.6D.86.已知點$P(x,y)$在曲線$x^{2}+y^{2}-4x=0$上，則$x^{2}+y^{2}$的最大值為（）A.4B.8C.12D.167.與橢圓$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$有相同焦點，且過點$(4,3)$的橢圓方程是（）A.$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{20}=1$B.$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{25}=1$C.$\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{20}=1$D.$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{24}=1$8.拋物線$y^{2}=8x$上一點$P$到焦點的距離為5，則點$P$的橫坐標為（）A.3B.4C.5D.69.雙曲線$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的離心率為$\sqrt{5}$，則其漸近線方程為（）A.$y=\pm\frac{1}{2}x$B.$y=\pm2x$C.$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}x$D.$y=\pm\sqrt{5}x$10.曲線$y=\lnx$在點$(1,0)$處的切線方程是（）A.$y=x-1$B.$y=-x+1$C.$y=2x-2$D.$y=-2x+2$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列曲線方程中，是橢圓方程的有（）A.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$B.$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$C.$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{9}=1$D.$x^{2}+y^{2}=4$2.拋物線$y^{2}=2px$（$p\gt0$）的性質(zhì)正確的有（）A.焦點坐標為$(\frac{p}{2},0)$B.準線方程為$x=-\frac{p}{2}$C.開口向右D.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離3.橢圓$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gtb\gt0$）的離心率$e$滿足（）A.$0\lte\lt1$B.$e=\frac{c}{a}$（$c$為半焦距）C.$e^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}$D.離心率越大橢圓越扁4.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的漸近線方程為（）A.$y=\frac{a}x$B.$y=-\frac{a}x$C.$y=\frac{a}x$D.$y=-\frac{a}x$5.曲線$y=x^{3}$在某點處的切線可能是（）A.$y=0$B.$y=3x-2$C.$y=3x+2$D.$y=2x$6.下列關(guān)于曲線方程的說法正確的有（）A.方程$x^{2}+y^{2}-2x+4y+5=0$表示一個點B.方程$y^{2}=4x$與$x^{2}=4y$表示同一條曲線C.圓$x^{2}+y^{2}=r^{2}$的圓心為$(0,0)$，半徑為$r$D.橢圓與雙曲線都有兩個焦點7.已知橢圓$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$（$m\gt0$，$n\gt0$），若$m\gtn$，則（）A.焦點在$x$軸上B.長半軸長為$\sqrt{m}$C.短半軸長為$\sqrt{n}$D.離心率$e=\sqrt{1-\frac{n}{m}}$8.拋物線$x^{2}=-2py$（$p\gt0$）的相關(guān)性質(zhì)有（）A.焦點坐標為$(0,-\frac{p}{2})$B.準線方程為$y=\frac{p}{2}$C.開口向下D.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離9.雙曲線$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的性質(zhì)正確的是（）A.焦點在$y$軸上B.漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$C.離心率$e=\frac{c}{a}$（$c$為半焦距）D.實軸長為$2a$10.曲線$y=\sinx$在點$(\frac{\pi}{2},1)$處的切線（）A.斜率為0B.方程為$y=1$C.與$x$軸平行D.與$y$軸平行三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程$x^{2}+y^{2}+2x-4y+5=0$表示一個圓。（）2.拋物線$y=-x^{2}$的開口向上。（）3.橢圓$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gtb\gt0$）中，$a$一定大于$b$。（）4.雙曲線$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{2}x$。（）5.曲線$y=x^{2}$在點$(0,0)$處的切線方程是$y=0$。（）6.方程$x^{2}+y^{2}=-1$表示的曲線不存在。（）7.橢圓的離心率越大，橢圓越圓。（）8.拋物線$y^{2}=4x$的焦點到準線的距離是2。（）9.雙曲線$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的實軸長是$2b$。（）10.曲線$y=\cosx$在點$(\pi,-1)$處的切線斜率為0。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求橢圓$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦點坐標和離心率。-答案：$a=5$，$b=3$，則$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$。焦點坐標為$(\pm4,0)$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$。2.求雙曲線$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的漸近線方程。-答案：對于雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$。這里$a=4$，$b=3$，漸近線方程是$y=\pm\frac{3}{4}x$。3.已知拋物線$y^{2}=8x$，求其焦點坐標和準線方程。-答案：拋物線$y^{2}=2px$（$p\gt0$），這里$2p=8$，$p=4$。焦點坐標為$(2,0)$，準線方程為$x=-2$。4.求曲線$y=x^{3}-2x+1$在點$(1,0)$處的切線方程。-答案：對$y=x^{3}-2x+1$求導(dǎo)得$y^\prime=3x^{2}-2$，將$x=1$代入，切線斜率$k=1$，切線方程為$y-0=1\times(x-1)$，即$y=x-1$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論橢圓與雙曲線在方程形式、幾何性質(zhì)上的異同點。-答案：相同點：都有焦點、離心率等概念。不同點：方程形式上，橢圓是“+”號，雙曲線是“-”號。幾何性質(zhì)上，橢圓離心率$0\lte\lt1$，雙曲線$e\gt1$；橢圓無漸近線，雙曲線有漸近線。2.如何根據(jù)曲線方程判斷曲線類型？-答案：圓方程形式為$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$；橢圓為$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）等形式；雙曲線為$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$等；拋物線為$y^{2}=2px$等形式，根據(jù)形式特征判斷。3.拋物線的焦點和準線有什么作用？-答案：焦點和準線定義了拋物線上點的性質(zhì)，拋物線上任一點到焦點和準線距離相等。利用此性質(zhì)可解決拋物線的相關(guān)問題，如求方程、證明幾何關(guān)系等，在實際和理論中都有重要意義。4.曲線的切線在研究曲線性質(zhì)中有哪些應(yīng)用？-答案：可通過切線斜率了解曲線在某點的變化率，判斷曲線的單調(diào)性。切線還能用于近似計算，在切點附近用切線近似代替曲線。此外，研究曲線切線可分析曲線的凹凸性等性質(zhì)。答案