《旋轉(zhuǎn)單元小結(jié)》知識(shí)梳理定義旋轉(zhuǎn)性質(zhì)三要素旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)方向?qū)?yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角知識(shí)梳理中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱定義性質(zhì)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形定義關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形常見的中心對(duì)稱圖形兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反線段、平行四邊形、圓等區(qū)別聯(lián)系知識(shí)梳理圖案設(shè)計(jì)軸對(duì)稱平移旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形圖形變換實(shí)際應(yīng)用重點(diǎn)解析1如圖，將三角形AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，則∠AOD的度數(shù)是()A.15° B.60°C.45° D.75°ABODCC解：關(guān)鍵找出旋轉(zhuǎn)角∠BOD=60°

，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=60°－15°=45°，故選C.重點(diǎn)解析2如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，三角形MNP繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋轉(zhuǎn)中心是()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C D.點(diǎn)DB解：作線段MM1與PP1

的垂直平分線，交點(diǎn)便是旋轉(zhuǎn)中心.N1M1DABPCNMP1重點(diǎn)解析3如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF，連接EF．(1)補(bǔ)充完成圖形；(2)若EF∥CD，求證：∠BDC=90°．解：(1)補(bǔ)全圖形，如圖(2)所示；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DC=FC，∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，∴△BDC≌△EFC(SAS)，∴∠BDC=∠EFC=90°．圖(1)圖(2)重點(diǎn)解析4如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A(3，2)，B(1，3).(1)將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；(2)

畫出△AOB關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的圖形△A2OB2，并寫出點(diǎn)A2，B2的坐標(biāo).xyOABA1B1A2B2解：(1)如圖所示；(2)如圖所示，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-3，-2)，B2的坐標(biāo)為(-1，-3).重點(diǎn)解析5如圖，有一張不規(guī)則紙片，若連接EB，則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD，請(qǐng)你用無刻度的直尺畫一條直線把這張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由.ABCFED解：

矩形FABE是中心對(duì)稱圖形，矩形

BCDE也是中心對(duì)稱圖形，所以經(jīng)過它們中心的直線把圖形分成全等的兩部分，面積相等.如圖直線l既經(jīng)過矩形FABE的中心，又經(jīng)過菱形BCDE的中心，所以它把紙片分成面積相等的兩部分.l重點(diǎn)解析6下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()A

B

C

DD重點(diǎn)解析7如圖所示的圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形(不考慮顏色)，直線m是它的一條對(duì)稱軸.已知圖中圓的半徑為r，你能借助軸對(duì)稱的方法求出圖中陰影部分的面積嗎？說說你的做法.m

深化練習(xí)1如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，將三角形AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到三角形COD，則旋轉(zhuǎn)過程中形成的陰影部分的面積為________．

深化練習(xí)2如圖，在正方形網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上，將三角形ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到三角形AB1C1.請(qǐng)你作出三角形AB1C1.解：如圖所示.深化練習(xí)3如圖，在等腰Rt△ABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AC=4,將一塊邊長(zhǎng)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)放在O點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持三角板的直角邊與AC相交，交點(diǎn)為D,另一條直角邊與BC相交，交點(diǎn)為E,則等腰直角三角形ABC的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段CD與CE長(zhǎng)度之和等于

.ABCDEO

深化練習(xí)3

如圖，在等腰Rt△ABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AC=4,將一塊邊長(zhǎng)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)放在O點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持三角板的直角邊與AC相交，交點(diǎn)為D,另一條直角邊與BC相交，交點(diǎn)為E,則等腰直角三角形ABC的邊被三角板覆蓋部分的兩條線段CD與CE長(zhǎng)度之和等于

.4ABCDEO深化練習(xí)4從前有一個(gè)財(cái)主，他有一塊平行四邊形的土地（如圖），地里有一個(gè)圓形池塘.財(cái)主立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個(gè)兒子，中間池塘也平分.財(cái)主的兩個(gè)兒子不知怎么做，你能想個(gè)辦法嗎？解：先找到平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)A，過A、B兩點(diǎn)作一條直線就可以了.AB深化練習(xí)5下列說法不正確的是()A.任何一個(gè)具有對(duì)稱中心的四邊形都是平行四邊形B.平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形C.線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是中心對(duì)稱圖形D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸都不止一條B

旋轉(zhuǎn)的概念及性質(zhì)1.如圖，△

ABC

繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)至△

ADE

，則旋轉(zhuǎn)角是(

A

)A.∠

BAD

B.∠

BAC

C.∠

BAE

D.∠

CAD

第1題圖A123456789101112132.將△

ABC

繞點(diǎn)

O

旋轉(zhuǎn)180°后恰好與△A'B'C'重合，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

(

A

)A.∠

ACB

＝∠

C

'

A

'

B

'B.點(diǎn)

B

與點(diǎn)

B

'是對(duì)稱點(diǎn)C.

AO

＝

A

'

O

D.

AB

∥

A

'

B

'第2題圖A123456789101112133.(滄州東光縣期中)如圖，三角形乙是三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到

的，則說法正確的是(

B

)A.繞點(diǎn)

P

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°B.繞點(diǎn)

N

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°C.繞點(diǎn)

Q

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°D.繞點(diǎn)

M

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°B12345678910111213

中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形4.如圖，四幅作品分別代表“立春”“立夏”“芒種”“大雪”，其中

既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是(

D

)D123456789101112135.(衡水二模)三個(gè)全等的等邊三角形按圖1所示位置擺放，現(xiàn)添加

一個(gè)大小相同的等邊三角形，使四個(gè)等邊三角形組成一個(gè)中心對(duì)稱圖形

(如圖2)，則添加的等邊三角形所放置的位置是(

D

)A.①B.②C.③D.④D123456789101112136.(邢臺(tái)三中一模)如圖，將△

ABC

繞點(diǎn)

C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△

DEC

，連接

AE

，

BD

，添加下列條件后不一定使四邊形

ABDE

既是中

心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是(

A

)A.

AB

＝

BC

B.

AC

＝

BC

D.

AC

⊥

BC

A12345678910111213【解析】由題意，得△

ABC

≌△

DEC

，

A

，

C

，

D

三點(diǎn)共線，

B

，

C

，

E

三點(diǎn)共線.∴

AC

＝

DC

，

BC

＝

EC

.

∴四邊形

ABDE

是平行四邊形.根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，平行四邊形

ABDE

一定是中心對(duì)稱圖形.添加

AB

＝

BC

，四邊形

ABDE

不一定是軸對(duì)稱圖形，那么A選項(xiàng)符

合題意；12345678910111213

12345678910111213

旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△

ABC

與△

DEF

關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)

稱，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為

?.(－1，0)

【解析】將變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行連線，交點(diǎn)

M

(－1，0)即為旋轉(zhuǎn)中

心，故答案為(－1，0).12345678910111213

12345678910111213【解析】如圖，過點(diǎn)

A

作

AH

⊥

OB

于點(diǎn)

H

，設(shè)

OH

＝

m

，則

BH

＝6－m

，∵

AH2＝

OA2－

OH2＝

AB2－

BH2，

∴

m

＝2.

123456789101112139.如圖，一段拋物線：

y

＝

x

(

x

－2)(0≤

x

≤2)，記為

C1，它與

x

軸交于

點(diǎn)

O

，

A1；將

C1繞點(diǎn)

A1旋轉(zhuǎn)180°得到

C2，交

x

軸于點(diǎn)

A2；將

C2繞點(diǎn)

A2

旋轉(zhuǎn)180°得到

C3，交

x

軸于點(diǎn)

A3；……，如此進(jìn)行下去，直至得

C10.(1)請(qǐng)寫出拋物線

C2的解析式：

.(寫出一

般式)y

＝－

x2＋6

x

－8(2≤

x

≤4)

12345678910111213【解析】(1)拋物線

C1：

y

＝

x

(

x

－2)(0≤

x

≤2)與

x

軸交于點(diǎn)

O

，

A

；∴

C1的圖象過

O

(0，0)，

A1(2，0)兩點(diǎn).∵將

C1繞點(diǎn)

A1旋轉(zhuǎn)180°得到

C2，∴拋物線

C2的解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為－1，且

過點(diǎn)

A1(2，0)，

A2(4，0)，∴拋物線

C2的解析式為

y

＝－(

x

－2)(

x

－4)＝－

x2＋6

x

－8(2≤

x

≤4).∴拋物線

C10的解析式為

y

＝－(

x

－18)(

x

－20)(18≤

x

≤20).12345678910111213(2)若

P

(19，

a

)在第10段拋物線

C10上，則

a

＝

?.【解析】(2)∵將

C1繞點(diǎn)

A1旋轉(zhuǎn)180°得到

C2，

交

x

軸于點(diǎn)

A1(2，0)，

A2(4，0)，將

C2繞點(diǎn)

A2旋轉(zhuǎn)180°得到

C3，交

x

軸于

A2(4，0)，

A3(6，0)，…如此進(jìn)行下去，直至得到

C10，∴拋物線

C10的與

x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

A9(18，0)，

A10(20，0)，且圖象在

x

軸上方.1

∴拋物線

C10的解析∴把(19，

a

)代入，得

a

＝－(19－18)×(19－20)＝1.1234567891011121310.如圖是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的8×8方格，線段

AB

的端點(diǎn)在格點(diǎn)

上.建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)

A

，

B

的坐標(biāo)分別為(2，1)和(－1，3).(1)畫出該平面直角坐標(biāo)系

xOy

；解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；12345678910111213(2)畫出線段

AB

關(guān)于原點(diǎn)

O

成中心對(duì)稱的線段

A1

B1；解：(2)如圖，線段

A1

B1即為所求；12345678910111213(3)畫出以點(diǎn)

A

，

B

，

O

為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形.(畫出一個(gè)即可)解：(3)如圖，四邊形

OADB

即為所求(答案不唯一).12345678910111213

旋轉(zhuǎn)的計(jì)算和證明11.如圖，在△

AOB

中，∠

AOB

＝80°，將△

AOB

繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定角度得到△

COD

，連接

BD

，若

BD

∥

OC

，則∠

AOD

的大小為

(

C

)A.20°B.40°C.60°D.80°第11題圖C12345678910111213【解析】∵將△

AOB

繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△

COD

，∴∠

COD

＝∠

AOB

＝80°，

OB

＝

OD

，

OA

＝

OC

.

∵

BD

∥

OC

，∴∠

ODB

＝∠

COD

＝80°.∵

OB

＝

OD

，∴∠

OBD

＝∠

ODB

＝80°.∴∠

BOD

＝180°－∠

OBD

－∠

ODB

＝20°.∴∠

AOD

＝∠

AOB

－∠

BOD

＝60°.1234567891011121312.如圖，把邊長(zhǎng)為8的正方形

OABC

繞點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

n

°(0＜

n

＜90)

得到正方形

ODEF

，

DE

與

BC

交于點(diǎn)

P

，

ED

的延長(zhǎng)線交

AB

于點(diǎn)

Q

.

若

BQ

∶

AQ

＝3∶1，則

BP

＝

?.

第12題圖12345678910111213【解析】如圖，連接

OQ

，

OP

，∵將正方形

OABC

繞點(diǎn)

O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

n

°(0＜

n

＜90)得到正方形

ODEF

，∴

OA

＝

OD

，∠

OAQ

＝∠

ODQ

＝90°.

∴Rt△

OAQ

≌Rt△

ODQ

(HL).∴

QA

＝

DQ

.

同理可證

CP

＝

DP

.

12345678910111213∵

BQ

∶

AQ

＝3∶1，

AB

＝8，∴

AQ

＝2，

BQ

＝6.設(shè)

CP

＝

x

，則

BP

＝8－

x

，

PQ

＝

x

＋2，在Rt△

BPQ

中，由勾股定理，得

1234567891011121313.如圖1，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

，

D

為

AB

邊上的

一點(diǎn)，將△

BCD

繞點(diǎn)

C

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

ACE

，連接

BE

.

(1)求∠

BCE

＋∠

ACD

的度數(shù)；解：(1)由旋轉(zhuǎn)可知，∠

ECD

＝90°，∵∠

ACB

＝90°，∴∠

BCE

＋∠

ACD

＝∠

ACB

＋∠

EC