試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年東莞市東華高級中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題，每小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中只有一個是正確的，請把正確選項的代號寫在題后的括號內(nèi)，每一小題，選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個的（不論是否寫在括號內(nèi)）一律得0分．1．在，，，這四個數(shù)中，最小的是（

）A． B． C． D．2．將萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．下列幾何體的左視圖是矩形的是（

）A． B． C． D．4．某校對名初中畢業(yè)生進行了一次視力抽樣調(diào)查，繪制出頻數(shù)分布直方圖（不完整）如圖所示，設(shè)這次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，根據(jù)圖中的信息判斷的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式和的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”，若“楊輝三角”中第n行的各數(shù)之和比上一行各數(shù)之和大64，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．106．新定義一種運算“?”，其運算法則為：；例如：．已知，則a的值為（

）A．3 B． C．7 D．7．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根且實數(shù)a，b，c互不相等，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．8．已知：，且，則與x最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．19．如圖，在中，，，，為內(nèi)一點，分別連接、、，當(dāng)時，的值為（

）A． B． C． D．10．如圖，在中，于D，，矩形的頂點E與A點重合，，將矩形沿平移，當(dāng)點E與點B重合時，停止平移，設(shè)點E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．因式分解．12．去年年末，小王按照分期付款的方式購買一輛小轎車，總價為萬元，小王先首付萬元，以后每年還汽車銷售商2萬元和余款的利息，同時約定每年的年利率為．例如第1年年末他應(yīng)付金額萬元，第2年年末他應(yīng)付金額萬元，……，依次類推，直到還清余款為止．寫出第n年年末（n為整數(shù)）應(yīng)付金額y（萬元）與n的函數(shù)關(guān)系式為．（不要求寫n的取值范圍）13．如圖，為的兩條弦，于E，于H，已知，，則的半徑為．14．如圖，在正方形和正方形中，，將正方形繞點A旋轉(zhuǎn)，連接，當(dāng)最大時，則的長為．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．已知關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，求的取值范圍．16．某專賣店銷售一種工業(yè)設(shè)備，3月份的售價2萬元/臺，共銷售60臺．根據(jù)市場銷售經(jīng)驗知：當(dāng)這種設(shè)備售價每增加0.1萬元/臺時，每月就會少售出1臺．4月份該專賣店想將銷售額提高，這種設(shè)備售價應(yīng)定價為多少萬元/臺？四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了兩個格點和（頂點是網(wǎng)格線的交點），已知和成中心對稱．(1)在圖中找出對稱中心O，并示意過程；(2)將經(jīng)過怎樣平移，可與組成平行四邊形？在正方形網(wǎng)格中畫出能組成的平行四邊形．18．在“書香社區(qū)”全民閱讀活動中，某社區(qū)讀書聯(lián)盟計劃舉行一次參加活動有獎送書活動，活動規(guī)則是：在一個裝有2個紅球和3個白球（每個球除顏色外，其它都相同）的不透明盒中，請每位參加活動的社區(qū)居民隨機摸球一次，然后送書．聯(lián)盟做了三種活動計劃．計劃1：隨機摸一個球，摸到紅球送一本精美圖書；計劃2：隨機同時摸兩個球，同時摸到2個都是紅球送一本精美圖書；計劃3：隨機同時摸兩個球，摸到的兩個球中，其中只要有一個是紅球送一本精美圖書．(1)分別求活動計劃1和活動計劃2中，居民獲得精美圖書的概率；(2)三種活動計劃中，哪種計劃送出的精美圖書最多？為什么？五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．(1)當(dāng)時，比較與的大?。?2)在y軸上找一點P，使得的周長最小，求點P的坐標．20．如圖，在平行四邊形中，、兩點分別在、邊上，，連接，分別交于，兩點．(1)求證：；(2)求證：．六、（本題滿分12分）21．關(guān)于x的一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）．(1)若其圖象經(jīng)過兩點，且，試判斷該函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限；(2)若，對于任意實數(shù)k，其圖象都經(jīng)過定點P，求點P的坐標．七、（本題滿分12分）22．已知關(guān)于的二次函數(shù)（，為常數(shù)，且）．(1)若該二次函數(shù)圖象的頂點，求，的值；(2)設(shè)該函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，為函數(shù)圖象的頂點．當(dāng)?shù)拿娣e與的面積相等時，求的值．八、（本題滿分14分）23．四邊形內(nèi)接于，，對角線、相交于點．(1)如圖1，點為上一點，．求證：；(2)求的值．(3)如圖2，求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，負整數(shù)指數(shù)冪，解題關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的大小比較，負整數(shù)指數(shù)冪．先利用負整數(shù)指數(shù)冪分別計算各數(shù)，再比較大?。驹斀狻拷猓?，∵，∴在，，，這四個數(shù)中，最小的是，故選：D．2．B【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，掌握科學(xué)記數(shù)法是解決問題的關(guān)鍵．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．【詳解】解：萬可表示為．故選：B．3．A【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體三視圖的畫法是解題關(guān)鍵．根據(jù)常見幾何體三視圖的畫法即可解得．【詳解】解：A選項中的幾何體的左視圖是矩形，本選項符合題意；B選項中的幾何體的左視圖是三角形，本選項不符合題意；C選項中的幾何體的左視圖是圓，本選項不符合題意；D選項中的幾何體的左視圖是梯形，本選項不符合題意；故選：A．4．B【分析】本題考查了頻數(shù)直方圖，中位數(shù)的定義，根據(jù)中位線的定義，個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第和個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得第和個數(shù)據(jù)均落在第二組，掌握中位線的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知，第一組有人，第二組有人，∵被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)是，∴將這名初中畢業(yè)生進行抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第和個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，∵第和個數(shù)據(jù)均落在第二組，∴這次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故選：．5．B【分析】本題主要考查了多項式乘多項式的規(guī)律．根據(jù)圖形中的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n行的各數(shù)之和為，據(jù)此即可求出結(jié)果．【詳解】解：第1行的各數(shù)之和為，第2行的各數(shù)之和為，第3行的各數(shù)之和為，第4行的各數(shù)之和為，……，第n行的各數(shù)之和為，∵第n行的各數(shù)之和比上一行各數(shù)之和大64，∴解得：．故選：B．6．C【分析】本題考查了新定義，有理數(shù)的加減運算；根據(jù)新定義的運算法則，分情況進行計算即可．【詳解】解：當(dāng)時，，解得（與矛盾，舍去）；當(dāng)時，，解得；故選：C．7．B【分析】本題考查了一元二次方程根的情況，解題關(guān)鍵是掌握求一元二次方程根的情況的方法．根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根且實數(shù)a，b，c互不相等，列出式子求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，且，∴，，∴，∴，∴，∴．故選：B．8．A【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算．先將方程兩邊同乘可得，從而得到，進而得到，再由解答即可．【詳解】解：將方程兩邊同乘得，，∴，∵，∴，∴（負值已舍），∵，∴，∴與x最接近的整數(shù)是4，故選：A．9．D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，則有，都是等邊三角形，所以，，從而可得，，故有，，，在一直線上，然后通過勾股定理即可求解，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，∴，都是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，∴，，，在一直線上，∵，，，∴，，∴，∴，故選：．10．C【分析】本題考查了圖形運動問題(實際問題與二次函數(shù))，利用平移的性質(zhì)求解，相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，動點問題的函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵是掌握上述知識，并能熟練運用求解．分、、三段討論重合部分的形狀，再利用面積公式將y關(guān)于x的函數(shù)表示出來即可．【詳解】解：當(dāng)時，設(shè)，交于點I，如圖，∵，∴，∴，即，∴，∴，當(dāng)時，設(shè)交于點J，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，設(shè)，交于點I，如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；由這三段函數(shù)可以判斷C符合題意，故選：C．11．【分析】本題考查了分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解．先分組，再根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解．【詳解】解：，故答案為：．12．【分析】該題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意第n年年末（n為整數(shù)）應(yīng)付金額y（萬元）與n的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，故設(shè)第n年年末（n為整數(shù)）應(yīng)付金額y（萬元）與n的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入得：，解得：，∴第n年年末（n為整數(shù)）應(yīng)付金額y（萬元）與n的函數(shù)關(guān)系式為．故答案為：．13．【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．作直徑，連接，，由此可得則，再由可證得，最后再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作直徑，連接，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，的半徑為．故答案為：．14．或【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)等，三角形相似的判定和性質(zhì)等知識點，確定的值最大時的位置是解題的關(guān)鍵．由題意可知，點G的運動軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，當(dāng)與相切時，的值最大；當(dāng)點G在右側(cè)時，如圖，過點G作交的延長線于點M，過點G作于點N可得，則可得，再利用勾股定理即可；點G在左側(cè)時，如圖，過點G作于點M，過點G作于點N，同理可解．【詳解】解：由題意可知，點G的運動軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，當(dāng)與相切時，的值最大；如圖：當(dāng)點G在右側(cè)時，如圖，過點G作交的延長線于點M，過點G作于點N，易證四邊形為矩形，∵在正方形ABCD中，∴．∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)點G在左側(cè)時，如圖，過點G作于點M，過點G作于點N，∵四邊形是正方形，∴四邊形為矩形，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；則答案為：或．15．【分析】求出第二個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了即可確定的范圍．【詳解】解：由題意，∵，∴，，∴．∴．又，且不等式組的解集為，∴．16．這種設(shè)備售價應(yīng)定價為3萬元/臺或5萬元/臺【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)這種設(shè)備售價應(yīng)定價為x萬元/臺，則銷售量為臺，再根據(jù)四月份該專賣店想將銷售額提高列出方程即可．【詳解】解：設(shè)這種設(shè)備售價應(yīng)定價為x萬元/臺，由題意得：，整理得：，解得：，，答：這種設(shè)備售價應(yīng)定價為3萬元/臺或5萬元/臺．17．(1)見解析(2)將向左平移3個單位長度，向上平移2個單位長度，可與組成平行四邊形；將向左平移1個單位長度，向上平移4個單位長度，可與組成平行四邊形；圖見解析【分析】本題考查平移作圖、中心對稱、平行四邊形的判定，熟練掌握平移的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定是解答本題的關(guān)鍵．（1）連接，，，相交于點，則和關(guān)于點成中心對稱，即可得出答案．（2）將向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，可與組成平行四邊形；將向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，可與組成平行四邊形，由此畫圖即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，相交于點，則和關(guān)于點成中心對稱，則點即為所求．（2）如圖，將向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，可與組成平行四邊形．將向左平移個單位長度，向上平移個單位長度，可與組成平行四邊形．18．(1)，(2)活動計劃3送出的精美圖書最多，理由見解析【分析】本題主要考查了列表法與樹狀圖法、概率公式等知識點，（1）活動計劃1中，共有5種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的結(jié)果有2種，利用概率公式可得答案；活動計劃2中，列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及同時摸到2個都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案；（2）求出活動計劃3中居民獲得精美圖書的概率，再與活動計劃1，2中居民獲得精美圖書的概率作比較，即可得出結(jié)論；熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：活動計劃1：共有5種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的結(jié)果有2種，居民獲得精美圖書的概率為．活動計劃2：列表如下：紅紅白白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）共有20種等可能的結(jié)果，其中同時摸到2個都是紅球的結(jié)果有2種，居民獲得精美圖書的概率為；（2）解：活動計劃3：列表如下：紅紅白白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）白（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，白）共有20種等可能的結(jié)果，其中至少有一個是紅球的結(jié)果有14種，居民獲得精美圖書的概率為，，活動計劃3送出的精美圖書最多．19．(1)當(dāng)或時，；當(dāng)時，；當(dāng)或時，，(2)【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，軸對稱的性質(zhì)求線段和的最值問題；（1）分別待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解；（2）作點關(guān)于y軸對稱點，則，待定系數(shù)法求得直線的關(guān)系式為，令，得出的坐標，即可求解．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)過，∴，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為，∵反比例函數(shù)的圖象過，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，；（2）如圖，作點關(guān)于y軸對稱點，則，設(shè)直線的關(guān)系式為，則，解得∴直線的關(guān)系式為，當(dāng)時，，∴點，此時的周長最?。?0．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線間的距離相等，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）連接，，根據(jù)平行線間的距離相等可得的面積的面積，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得出，根據(jù)平行線間的距離相等得出的面積的面積，的面積的面積，即可得證；（2）過作于，過作于，根據(jù)的面積的面積的面積的面積，進而得出，即可得證．【詳解】（1）證明：連接，，，的面積的面積，四邊形是平行四邊形，∴，∴的面積的面積，的面積的面積，∴；（2）證明：過作于，過作于，∴的面積的面積的面積的面積，∴，∴，∴．21．(1)一、二、四象限(2)點P的坐標為【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）待定系數(shù)法求解析式得出的值，進而根據(jù)，即可判斷的符號，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）將