2021年名校數(shù)學(xué)期末考試真題解析：核心考點與解題策略一、引言2021年名校數(shù)學(xué)期末考試真題（以清華附中、人大附中、上海中學(xué)、北師大附中為例）延續(xù)了"重基礎(chǔ)、考能力、貼教材"的命題風(fēng)格，核心考點覆蓋代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計三大板塊，注重考察學(xué)生對知識點的理解深度與解題方法的靈活運用。本文通過對典型真題的解析，提煉核心考點與解題策略，為學(xué)生備考提供實用參考。二、核心考點分布分析通過統(tǒng)計2021年多所名校期末真題，考點分布如下（按考察頻率排序）：1.代數(shù)板塊（約占40%）：函數(shù)（單調(diào)性、極值、零點）、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、數(shù)列（通項、求和）、不等式（線性規(guī)劃、均值不等式）；2.幾何板塊（約占35%）：立體幾何（線面垂直、二面角、體積）、解析幾何（橢圓、直線位置關(guān)系、弦長）；3.概率統(tǒng)計板塊（約占25%）：古典概型、條件概率、分布列與期望、統(tǒng)計圖表（頻率分布直方圖、莖葉圖）。三、典型真題解析（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（清華附中高三期末）題干：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求其單調(diào)區(qū)間和極值。解析：1.求導(dǎo)：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；2.找臨界點：令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)；3.判斷單調(diào)性：當(dāng)\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)遞增；4.求極值：\(x=0\)時，\(f(0)=2\)，極大值；\(x=2\)時，\(f(2)=-2\)，極小值?？键c點評：本題考察導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，核心是"導(dǎo)數(shù)符號決定函數(shù)增減"。易錯點：忽略定義域（本題定義域為\(\mathbb{R}\)，無影響）或臨界點左右導(dǎo)數(shù)符號判斷錯誤。（二）立體幾何：二面角的求法（上海中學(xué)高二期末）題干：在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，求二面角\(P-BC-A\)的大小。解析（向量法）：1.建坐標(biāo)系：以\(A\)為原點，\(AB\)、\(AC\)、\(AP\)分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系；2.求坐標(biāo)：\(A(0,0,0)\)、\(B(2,0,0)\)、\(C(0,2,0)\)、\(P(0,0,3)\)；3.找法向量：平面\(ABC\)的法向量：\(\overrightarrow{AP}=(0,0,3)\)，取\(\mathbf{n}_1=(0,0,1)\)；平面\(PBC\)的法向量：設(shè)\(\mathbf{n}_2=(x,y,z)\)，由\(\mathbf{n}_2\perp\overrightarrow{PB}(2,0,-3)\)、\(\mathbf{n}_2\perp\overrightarrow{PC}(0,2,-3)\)，得\(2x-3z=0\)、\(2y-3z=0\)，取\(z=2\)，得\(\mathbf{n}_2=(3,3,2)\)；4.計算夾角：二面角\(P-BC-A\)等于\(\mathbf{n}_1\)與\(\mathbf{n}_2\)的夾角（法向量方向均指向外側(cè)，夾角與二面角相等），則：\[\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|}=\frac{|0\times3+0\times3+1\times2|}{1\times\sqrt{9+9+4}}=\frac{2}{\sqrt{22}}=\frac{\sqrt{22}}{11},\]故\(\theta=\arccos\left(\frac{\sqrt{22}}{11}\right)\)?？键c點評：向量法是求二面角的常用方法，步驟為"建系→求坐標(biāo)→找法向量→計算夾角"。易錯點：法向量方向判斷錯誤（若法向量方向相反，夾角與二面角互補），需結(jié)合圖形調(diào)整。（三）解析幾何：橢圓與直線位置關(guān)系（人大附中高三期末）題干：已知橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，直線\(l:y=kx+m\)與橢圓交于\(A\)、\(B\)兩點，若\(|AB|=2\)，求\(k\)與\(m\)的關(guān)系。解析：1.聯(lián)立方程：將\(y=kx+m\)代入橢圓方程，得：\[\frac{x^2}{4}+(kx+m)^2=1\implies(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0;\]2.判別式：直線與橢圓相交，故\(\Delta=(8km)^2-4(1+4k^2)(4m^2-4)>0\implies1+4k^2-m^2>0\)；3.韋達(dá)定理：設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，則：\[x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2},\quadx_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2};\]4.弦長公式：\[AB\]化簡得：\[\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{1+4k^2-m^2}}{1+4k^2}=2\implies\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{1+4k^2-m^2}=\frac{1+4k^2}{2}.\]考點點評：本題考察橢圓與直線的位置關(guān)系及弦長計算，核心是"聯(lián)立方程→韋達(dá)定理→弦長公式"。易錯點：忘記判別式條件（直線與橢圓相交的前提）或弦長公式記錯（漏掉\(\sqrt{1+k^2}\)）。（四）概率統(tǒng)計：Multinomial分布（北師大附中高三期末）題干：某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品（率0.7）、二等品（率0.2）、次品（率0.1）。現(xiàn)隨機(jī)抽取3件，求恰好1件一等品、1件二等品、1件次品的概率。解析：1.確定模型：這是Multinomial分布問題（多個獨立事件同時發(fā)生的概率）；2.計算排列數(shù)：3件產(chǎn)品中選1件一等品、1件二等品、1件次品，排列數(shù)為\(\frac{3!}{1!1!1!}=6\)；3.計算概率：每種排列的概率為\(0.7\times0.2\times0.1=0.014\)，總概率為：\[6\times0.014=0.084.\]考點點評：本題考察Multinomial分布的應(yīng)用，核心是"排列數(shù)×各事件概率乘積"。易錯點：忽略排列數(shù)（直接計算\(0.7×0.2×0.1\)，導(dǎo)致結(jié)果偏?。Ｋ?、解題策略總結(jié)（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單調(diào)區(qū)間：求導(dǎo)→找臨界點→劃分區(qū)間→判斷導(dǎo)數(shù)符號；極值：求導(dǎo)→找臨界點→判斷臨界點左右導(dǎo)數(shù)符號變化；最值：求導(dǎo)→找臨界點→計算臨界點與端點函數(shù)值→比較大小。（二）立體幾何線面垂直：證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；二面角：向量法（建系→求法向量→計算夾角）或幾何法（找平面角→解三角形）；體積：底面積×高÷3（高為頂點到底面的距離）。（三）解析幾何位置關(guān)系：聯(lián)立方程→判別式判斷（\(\Delta>0\)相交、\(\Delta=0\)相切、\(\Delta<0\)相離）；弦長：\(\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)（\(k\)為斜率，\(a\)為二次項系數(shù)）；中點弦：點差法（設(shè)中點坐標(biāo)→代入橢圓方程→相減→得斜率與中點關(guān)系）。（四）概率統(tǒng)計古典概型：計算基本事件總數(shù)與所求事件數(shù)→比值；條件概率：\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)；期望：\(E(X)=\sumx_iP(x_i)\)（列出分布列后計算）。五、備考建議1.回歸教材：真題多來自教材例題/習(xí)題改編（如函數(shù)單調(diào)性、立體幾何定理），需吃透教材概念，理解本質(zhì)；2.整理錯題：分析錯題原因（概念不清、計算錯誤、方法不當(dāng)），針對性補漏（如導(dǎo)數(shù)題忽略定義域、概率題漏排列