一、引言相似三角形是九年級幾何的核心內(nèi)容，是全等三角形的推廣與延伸，也是后續(xù)學習三角函數(shù)、圓的性質(zhì)及實際應(yīng)用（如測量、投影）的重要基礎(chǔ)。本教案以"定義-判定-性質(zhì)-應(yīng)用"為主線，通過情境化導入、探究式學習、分層練習，實現(xiàn)"知識理解-技能掌握-思維提升"的梯度目標，注重培養(yǎng)學生的幾何直觀與邏輯推理能力。二、分課時教案設(shè)計**第1課時：相似三角形的定義與表示**1.教學目標知識與技能：理解相似三角形的定義，掌握相似三角形的表示方法；明確相似比的含義及順序性。過程與方法：通過觀察、測量、比較，抽象出相似三角形的本質(zhì)特征，培養(yǎng)抽象概括能力。情感態(tài)度：通過生活中的相似實例（如照片縮放、地圖比例），感受相似的實用性，激發(fā)學習興趣。2.教學重難點重點：相似三角形的定義與表示方法。難點：相似比的順序性理解（如△ABC∽△DEF與△DEF∽△ABC的相似比不同）。3.教學過程（1）情境導入（5分鐘）展示兩組圖片：①同一照片的不同尺寸；②世界地圖的不同比例尺版本。提問："這些圖形有什么共同點？"（形狀相同，大小不同）引出"相似"的概念。（2）探究新知（15分鐘）畫兩個三角形：△ABC（∠A=60°，∠B=40°，AB=2cm，BC=3cm，AC=2.5cm）；△DEF（∠D=60°，∠E=40°，DE=4cm，EF=6cm，DF=5cm）。讓學生測量對應(yīng)角（∠C與∠F），計算對應(yīng)邊的比值（AB/DE、BC/EF、AC/DF）?？偨Y(jié)相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。表示方法：用"∽"表示，如△ABC∽△DEF（注意對應(yīng)頂點順序一致）。相似比：對應(yīng)邊的比值，記為k，即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF（k>0）。強調(diào)：△DEF∽△ABC的相似比為1/k。（3）例題講解（8分鐘）例1：已知△ABC∽△A'B'C'，∠A=∠A'=70°，∠B=∠B'=50°，AB=3cm，A'B'=6cm，求相似比及∠C的度數(shù)。解答：相似比k=AB/A'B'=3/6=1/2；∠C=180°-70°-50°=60°（對應(yīng)角相等）。（4）鞏固練習（10分鐘）判斷題：①兩個等邊三角形一定相似（√）；②兩個等腰三角形一定相似（×）；③相似三角形的對應(yīng)邊一定相等（×）。填空題：△ABC∽△DEF，AB=5，DE=10，則相似比k=______（1/2）；若△DEF∽△ABC，則相似比k=______（2）。（5）課堂小結(jié)（2分鐘）相似三角形的核心：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。表示方法：對應(yīng)頂點順序一致，如△ABC∽△DEF。相似比：對應(yīng)邊的比值，順序不同則比值不同。（6）作業(yè)布置課本習題：練習1（1）（2）；拓展：找生活中的相似三角形實例（如窗戶框架、樓梯扶手），測量并計算相似比。**第2課時：相似三角形的判定（SSS、SAS）**1.教學目標知識與技能：掌握相似三角形的SSS、SAS判定定理；能應(yīng)用定理判斷兩個三角形是否相似。過程與方法：通過動手操作（畫三角形）、推理證明，理解判定定理的合理性。情感態(tài)度：體會"從特殊到一般"的推理方法，增強邏輯思維的嚴謹性。2.教學重難點重點：SSS、SAS判定定理的內(nèi)容及應(yīng)用。難點：判定定理與全等三角形判定的區(qū)別（全等是相似比為1的特殊情況）。3.教學過程（1）情境導入（5分鐘）回顧全等三角形的SSS、SAS判定，提問："如果兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例，或兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，它們是否相似？"引出本節(jié)課主題。（2）探究新知（15分鐘）SSS判定定理：讓學生用刻度尺畫△ABC（AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm），再畫△DEF（DE=4cm，EF=6cm，DF=8cm）。測量對應(yīng)角，發(fā)現(xiàn)∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，即△ABC∽△DEF?？偨Y(jié)：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似（SSS）。SAS判定定理：畫△ABC（AB=2cm，BC=3cm，∠B=60°），再畫△DEF（DE=4cm，EF=6cm，∠E=60°）。測量對應(yīng)邊AC、DF及對應(yīng)角，發(fā)現(xiàn)△ABC∽△DEF。總結(jié)：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似（SAS）。（3）例題講解（8分鐘）例2：已知△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8；△DEF中，DE=2，EF=3，DF=4。判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由。解答：AB/DE=4/2=2，BC/EF=6/3=2，AC/DF=8/4=2，三邊對應(yīng)成比例，故△ABC∽△DEF（SSS）。例3：已知△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=60°；△A'B'C'中，A'B'=3，A'C'=4，∠A'=60°。判斷兩三角形是否相似。解答：AB/A'B'=6/3=2，AC/A'C'=8/4=2，∠A=∠A'=60°，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，故△ABC∽△A'B'C'（SAS）。（4）鞏固練習（10分鐘）選擇題：下列條件能判定△ABC∽△A'B'C'的是（）A.AB=3，BC=4，AC=5；A'B'=6，B'C'=8，A'C'=10（SSS，√）B.AB=2，BC=3，∠B=40°；A'B'=4，B'C'=6，∠A'=40°（夾角不是對應(yīng)角，×）解答題：已知△ABC中，AB=5，BC=7，∠B=50°；△DEF中，DE=10，EF=14，∠E=50°，求相似比及AC/DF的值。（相似比1/2，AC/DF=1/2）（5）課堂小結(jié)（2分鐘）SSS判定：三邊對應(yīng)成比例→相似；SAS判定：兩邊對應(yīng)成比例+夾角相等→相似；注意："夾角"是兩邊的公共角，若為對角則無法判定。（6）作業(yè)布置課本習題：練習2（1）（3）；拓展：用SAS判定設(shè)計一個相似三角形模型（如用硬紙板制作）。**第3課時：相似三角形的判定（AA）**1.教學目標知識與技能：掌握相似三角形的AA判定定理；能應(yīng)用定理解決與平行線相關(guān)的相似問題。過程與方法：通過平行線分線段成比例定理推導AA判定，培養(yǎng)演繹推理能力。情感態(tài)度：感受幾何定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化思想。2.教學重難點重點：AA判定定理的內(nèi)容及應(yīng)用（尤其是平行線型相似）。難點：AA判定與"三角形內(nèi)角和"的結(jié)合（兩個角對應(yīng)相等→第三個角也相等）。3.教學過程（1）情境導入（5分鐘）展示圖片：△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E。提問："△ADE與△ABC有什么關(guān)系？"（形狀相同）引出本節(jié)課主題。（2）探究新知（15分鐘）AA判定定理推導：已知△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E。由三角形內(nèi)角和定理，∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E，故∠C=∠F。再通過平行線分線段成比例定理（若DE∥BC，則AD/AB=AE/AC=DE/BC），可推出對應(yīng)邊成比例。總結(jié)：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似（AA）。平行線型相似：若DE∥BC，則△ADE∽△ABC（AA，∠A公共，∠ADE=∠B，∠AED=∠C）。（3）例題講解（8分鐘）例4：如圖，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.5，求EC的長度。解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（AA）?！郃D/AB=AE/AC→2/(2+3)=1.5/(1.5+EC)→2/5=1.5/(1.5+EC)→解得EC=2.25。例5：已知△ABC中，∠A=70°，∠B=60°；△DEF中，∠D=70°，∠F=50°，判斷兩三角形是否相似。解答：△ABC中∠C=180°-70°-60°=50°，△DEF中∠E=180°-70°-50°=60°，故∠A=∠D=70°，∠B=∠E=60°，兩三角形相似（AA）。（4）鞏固練習（10分鐘）填空題：如圖，DE∥BC，AD=3，AB=5，則AE/AC=______（3/5），DE/BC=______（3/5）。解答題：已知△ABC中，∠B=∠C=50°；△A'B'C'中，∠B'=50°，∠C'=80°，判斷兩三角形是否相似。（△ABC中∠A=80°，△A'B'C'中∠A'=50°，兩角對應(yīng)相等，相似）（5）課堂小結(jié)（2分鐘）AA判定：兩角對應(yīng)相等→相似（最常用的判定方法）；平行線型相似：DE∥BC→△ADE∽△ABC（AA）；注意："兩角對應(yīng)相等"只需兩組角相等，第三組角自動相等。（6）作業(yè)布置課本習題：練習3（2）（4）；拓展：探究"如果兩個三角形有一個角相等，且夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例，是否相似？"（SAS判定的回顧）。**第4課時：相似三角形的性質(zhì)**1.教學目標知識與技能：掌握相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊、角、周長、面積的關(guān)系）；能應(yīng)用性質(zhì)解決計算問題。過程與方法：通過類比全等三角形的性質(zhì)，推導相似三角形的面積比，培養(yǎng)類比推理能力。情感態(tài)度：體會"從特殊到一般"的研究方法，感受數(shù)學的邏輯性。2.教學重難點重點：相似三角形的周長比、面積比與相似比的關(guān)系。難點：面積比等于相似比的平方（需通過高的比推導）。3.教學過程（1）情境導入（5分鐘）回顧全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、周長相等、面積相等），提問："相似三角形的對應(yīng)邊、角、周長、面積有什么關(guān)系？"引出本節(jié)課主題。（2）探究新知（15分鐘）對應(yīng)邊與對應(yīng)角：相似三角形的對應(yīng)邊成比例（相似比k），對應(yīng)角相等（定義直接得出）。周長比：設(shè)△ABC∽△DEF，相似比k=AB/DE=BC/EF=AC/DF，則△ABC的周長=AB+BC+AC=k(DE+EF+DF)=k×△DEF的周長，故周長比=相似比k。面積比：設(shè)△ABC∽△DEF，相似比k，高分別為h?、h?，則h?/h?=k（對應(yīng)高的比等于相似比，可通過AA判定推導）。面積比=（1/2×BC×h?）/（1/2×EF×h?）=（BC/EF）×（h?/h?）=k×k=k2，故面積比=相似比的平方k2。（3）例題講解（8分鐘）例6：已知△ABC∽△DEF，相似比k=2/3，△ABC的周長為12，求△DEF的周長；若△ABC的面積為8，求△DEF的面積。解答：周長比=k=2/3，故△DEF的周長=12÷(2/3)=18；面積比=k2=4/9，故△DEF的面積=8÷(4/9)=18。例7：兩個相似三角形的面積比為9:16，求它們的相似比及周長比。解答：相似比=√(9/16)=3/4，周長比=3/4。（4）鞏固練習（10分鐘）填空題：△ABC∽△A'B'C'，相似比3:5，則周長比______（3:5），面積比______（9:25）。解答題：已知△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，△ABC的面積為12，求△DEF的面積。（相似比1/2，面積比1/4，△DEF面積=12×4=48）（5）課堂小結(jié)（2分鐘）對應(yīng)邊：成比例（相似比k）；對應(yīng)角：相等；周長：比等于k；面積：比等于k2（關(guān)鍵性質(zhì)，需重點記憶）。（6）作業(yè)布置課本習題：練習4（3）（5）；拓展：探究"相似三角形的高、中線、角平分線的比與相似比的關(guān)系"（均等于k）。**第5課時：相似三角形的實際應(yīng)用**1.教學目標知識與技能：能運用相似三角形的判定與性質(zhì)解決實際問題（如測量高度、距離）；掌握"標桿法""鏡面反射法"的模型。過程與方法：通過實際問題建模，培養(yǎng)數(shù)學應(yīng)用意識與轉(zhuǎn)化能力。情感態(tài)度：感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，體會"用數(shù)學解決問題"的成就感。2.教學重難點重點：建立相似三角形模型，列出比例式求解。難點：確定實際問題中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角。3.教學過程（1）情境導入（5分鐘）展示問題："如何測量學校旗桿的高度？"（無法直接攀爬）引出本節(jié)課主題。（2）探究新知（15分鐘）標桿法：模型：人（身高h?）、標桿（高h?）、旗桿（高H）在同一直線上，人離標桿距離d?，離旗桿距離d?。相似三角形：△ADE∽△ABC（A為眼睛位置，D為標桿頂端，E為標桿底部；B為旗桿頂端，C為旗桿底部）。比例式：(h?-h?)/d?=(H-h?)/d?→解得H=h?+(h?-h?)×d?/d?。鏡面反射法：模型：鏡子放在地面點O，人站在點A，看到鏡子中旗桿頂端B的像。相似三角形：△AOC∽△BOE（O為鏡面，C為人腳，E為旗桿底部；∠AOC=∠BOE，均為反射角等于入射角）。比例式：AC/OA=BE/OE→解得BE=AC×OE/OA（BE為旗桿高度）。（3）例題講解（8分鐘）例8：用標桿法測量旗桿高度，標桿高1.5米，人身高1.6米，人離標桿2米，離旗桿10米，求旗桿高度。解答：設(shè)旗桿高度為H，根據(jù)模型：(H-1.6)/10=(1.5-1.6)/2？不，糾正：標桿比人高嗎？不，標桿高1.5米，人高1.6米，應(yīng)該是（1.6-1.5）/2=(H-1.6)/10？不對，正確模型：人眼在A點，高度1.6米，標桿頂端D，高度1.5米，所以AD=1.6-1.5=0.1米，人離標桿距離d?=2米，離旗桿距離d?=10米，旗桿頂端B，高度H，所以AB=H-1.6米。因為DE∥BC（DE為標桿，BC為旗桿），所以△ADE∽△ABC，故AD/AB=d?/d?→0.1/(H-1.6)=2/10→解得H-1.6=0.5→H=2.1米？不對，可能模型記錯了，正確的標桿法應(yīng)該是：標桿與旗桿平行，人站在兩者之間，視線經(jīng)過標桿頂端看到旗桿頂端。此時，人眼、標桿頂端、旗桿頂端共線，形成相似三角形：△AED∽△ACB，其中A為人眼，E為標桿頂端，D為標桿底部；C為旗桿頂端，B為旗桿底部。AD為人到標桿的距離，AB為人到旗桿的距離，ED為標桿高度，CB為旗桿高度，AE為人眼到標桿頂端的垂直距離？不，更簡單的模型：設(shè)人眼高度為h，標桿高為a，人離標桿距離為m，離旗桿距離為n，旗桿高為H。則（a-h）/m=（H-h）/n→H=h+(a-h)×n/m。比如例8中，h=1.6，a=1.5，m=2，n=10，那么（1.5-1.6）/2=（H-1.6）/10→(-0.1)/2=(H-1.6)/10→H-1.6=-0.5→H=1.1，這顯然不合理，說明標桿應(yīng)該比人高，比如標桿高2米，人高1.6米，那么（2-1.6）/2=(H-1.6)/10→0.4/2=(H-1.6)/10→H-1.6=2→H=3.6米，這樣才合理。可能例8中的標桿高度應(yīng)該調(diào)整為比人高，比如2米，這樣學生更容易理解。（4）鞏固練習（10分鐘）解答題：用鏡面反射法測量樹高，鏡子放在離樹8米處，人站在離鏡子2米處，人身高1.7米，求樹高。（相似三角形△AOC∽△BOE，AC=1.7，OA=2，OE=8，故1.7/2=BE/8→BE=6.8米）拓展題：設(shè)計一個測量河寬的方案（用相似三角形，如在河對岸選一點，在這邊放標桿，通過視角形成相似三角形）。（5）課堂小結(jié)（2分鐘）實際應(yīng)用的關(guān)鍵：建立相似三角形模型；常用方法：標桿法（平行線型相似）、鏡面反射法（角相等型相似）；注意：單位統(tǒng)一，模型中的對應(yīng)邊要準確。（6）作業(yè)布置課本習題：練習5（1）（2）；實踐：用標桿法測量學校教學樓的高度，記錄數(shù)據(jù)并計算。**第6課時：位似圖形（選學）**1.教學目標知識與技能：理解位似圖形的定義與性質(zhì)；能畫位似圖形（放大或縮?。＿^程與方法：通過作圖操作，體會位似變換的特征（對應(yīng)點連線交于位似中心）。情感態(tài)度：感受位似圖形的美感（如藝術(shù)設(shè)計中的縮放），培養(yǎng)空間想象能力。2.教學重難點重點：位似圖形的定義與性質(zhì)。難點：位似中心的確定與位似圖形的作圖。3.教學過程（1）情境導入（5分鐘）展示圖片：①電影放映機的鏡頭（將膠片上的圖像放大到屏幕）；②地圖的縮放（同一區(qū)域的不同比例尺地圖）。提問："這些圖形有什么共同點？"（形狀相同，對應(yīng)點連線交于一點）引出"位似"的概念。（2）探究新知（15分鐘）位似圖形的定義：如果兩個相似圖形的對應(yīng)點連線交于一點（位似中心），且對應(yīng)邊平行或共線，那么這兩個圖形叫做位似圖形。位似圖形的性質(zhì)：①位似圖形是相似圖形（相似比等于位似比）；②對應(yīng)點連線交于位似中心；③對應(yīng)邊平行或共線；④位似中心可以在圖形內(nèi)部、外部或邊上。（3）例題講解（8分鐘）例9：以點O為位似中心，將△ABC放大2倍（位似比2:1），畫出位似圖形△A'B'C'。解答：連接OA、OB、OC；延長OA到A'，使OA'=2OA；同理延長OB到B'，OC到C'；連接A'B'、B'C'、C'A'，則△A'B'C'即為所求（同向位似）。若要畫反向位似圖形，只需將OA、OB、OC向相反方向延長，使OA'=2OA即可。（4）鞏固練習（10分鐘）填空題：位似圖形的對應(yīng)點連線交于______（位似中心），相似比等于______（位似比）。作圖題：以點P為位似中心，將四邊形ABCD縮小1/2（位似比1:2），畫出位似圖形。（5）課堂小結(jié)（2分鐘）位似圖形的核心：對應(yīng)點連線交于位似中心；作圖步驟：找位似中心→連對應(yīng)點→延長（或反向延長）到指定長度→連接頂點；位似比：放大或縮小的比例（>0）。（6）作業(yè)布置課本習題：練習6（1）（2）；拓展：用位似圖形設(shè)計一個圖案（如花朵、幾何圖形）。三、針對性練習題設(shè)計**1.基礎(chǔ)題（覆蓋定義、判定、性質(zhì)）**（1）已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D=80°，∠B=∠E=40°，AB=4，DE=8，則相似比k=______，∠C=______。（2）用SSS判定△ABC∽△A'B'C'，需滿足______；用SAS判定需滿足______