中考數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)型全等專題復(fù)習(xí)方案一、引言旋轉(zhuǎn)型全等是中考數(shù)學(xué)幾何板塊的核心考點(diǎn)之一，常以壓軸題形式出現(xiàn)（如2023年全國15份中考卷中，12份涉及旋轉(zhuǎn)型全等）。其考查內(nèi)容融合了幾何變換、全等三角形、坐標(biāo)系、勾股定理等多個知識點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間觀念、邏輯推理能力和綜合應(yīng)用能力。本專題復(fù)習(xí)將圍繞“概念-類型-策略-真題-易錯點(diǎn)”展開，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識體系，提升解題效率。二、基本概念與性質(zhì)1.旋轉(zhuǎn)的核心要素旋轉(zhuǎn)是指圖形繞定點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）按一定方向（順時針/逆時針）旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角）的變換。其關(guān)鍵三要素：旋轉(zhuǎn)中心：圖形旋轉(zhuǎn)的固定點(diǎn)（如點(diǎn)\(O\)）；旋轉(zhuǎn)方向：決定圖形旋轉(zhuǎn)的軌跡（順時針或逆時針）；旋轉(zhuǎn)角度：圖形旋轉(zhuǎn)的幅度（如\(90^\circ\)、\(60^\circ\)、\(180^\circ\)）。2.旋轉(zhuǎn)型全等的定義若圖形\(F\)繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到圖形\(F'\)，則\(F\)與\(F'\)全等（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。?。其中，通過旋轉(zhuǎn)得到的全等三角形稱為旋轉(zhuǎn)型全等三角形（如\(\triangleABC\)繞點(diǎn)\(O\)旋轉(zhuǎn)得到\(\triangleA'B'C'\)，則\(\triangleABC\cong\triangleA'B'C'\)）。3.旋轉(zhuǎn)型全等的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)型全等三角形具有以下性質(zhì)（以\(\triangleABC\)繞點(diǎn)\(O\)旋轉(zhuǎn)得到\(\triangleA'B'C'\)為例）：對應(yīng)邊相等：\(AB=A'B'\)，\(BC=B'C'\)，\(AC=A'C'\)；對應(yīng)角相等：\(\angleABC=\angleA'B'C'\)，\(\angleBAC=\angleB'A'C'\)，\(\angleACB=\angleA'C'B'\)；旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點(diǎn)距離相等：\(OA=OA'\)，\(OB=OB'\)，\(OC=OC'\)；旋轉(zhuǎn)角相等：\(\angleAOA'=\angleBOB'=\angleCOC'=\text{旋轉(zhuǎn)角}\)；對應(yīng)邊的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：\(AB\)與\(A'B'\)的夾角等于旋轉(zhuǎn)角（如\(AB\perpA'B'\)當(dāng)且僅當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為\(90^\circ\)）。三、常見旋轉(zhuǎn)型全等類型中考中旋轉(zhuǎn)型全等的考查以特殊角度（\(90^\circ\)、\(60^\circ\)、\(180^\circ\)）和特殊圖形（等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形）為主，常見類型如下：1.繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（特殊圖形的“自我旋轉(zhuǎn)”）等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)：如等腰直角\(\triangleABC\)（\(\angleACB=90^\circ\)）繞直角頂點(diǎn)\(C\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)，得到\(\triangleCDE\)，則\(\triangleABC\cong\triangleCDE\)，且\(AE=BD\)（對應(yīng)邊延長線的關(guān)系）。等邊三角形旋轉(zhuǎn)：如等邊\(\triangleABC\)繞頂點(diǎn)\(A\)順時針旋轉(zhuǎn)\(60^\circ\)，得到\(\triangleADE\)，則\(\triangleABC\cong\triangleADE\)，且\(BD=CE\)（對應(yīng)邊的交點(diǎn)形成新的等邊三角形）。例：等腰直角\(\triangleABC\)中，\(AC=BC=2\)，繞點(diǎn)\(C\)旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到\(\triangleCDE\)，則\(AD=\_\_\_\)（答案：\(2\sqrt{2}\)，利用旋轉(zhuǎn)后\(CD=AC=2\)，\(\angleACD=90^\circ\)，勾股定理得\(AD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)）。2.繞邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（中心對稱）繞邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)是中心對稱的特殊情況，旋轉(zhuǎn)后圖形與原圖形關(guān)于中點(diǎn)對稱。此類問題常與平行四邊形結(jié)合（平行四邊形對角線互相平分，即中心對稱）。例：\(\triangleABC\)中，\(D\)是\(BC\)中點(diǎn)，繞\(D\)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)得到\(\triangleEDC\)，則\(\triangleABC\cong\triangleEDC\)，且\(AB\parallelDE\)（中心對稱的對應(yīng)邊平行）。3.繞圖形外一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)）坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)是中考的高頻考點(diǎn)，需掌握點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換公式：點(diǎn)\(P(x,y)\)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)：\(P'(y,-x)\)；點(diǎn)\(P(x,y)\)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)：\(P'(-y,x)\)；點(diǎn)\(P(x,y)\)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)：\(P'(-x,-y)\)（中心對稱）。例：點(diǎn)\(A(3,4)\)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到點(diǎn)\(A'\)，則\(A'\)坐標(biāo)為\((-4,3)\)（代入公式：\(-y=-4\)，\(x=3\)）。四、解題策略：三步法突破旋轉(zhuǎn)型全等針對旋轉(zhuǎn)型全等問題，可采用“找中心→定角度→用性質(zhì)”的三步法解題：1.第一步：確定旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)。若題目未明確旋轉(zhuǎn)中心，需通過對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)或圖形關(guān)系推導(dǎo)：若有兩個對應(yīng)點(diǎn)\(A\)與\(A'\)、\(B\)與\(B'\)，則旋轉(zhuǎn)中心是線段\(AA'\)和\(BB'\)的垂直平分線的交點(diǎn)；若圖形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如等腰三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），旋轉(zhuǎn)中心即為該頂點(diǎn)；若圖形繞邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心即為邊的中點(diǎn)。2.第二步：計算旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角的確定方法有兩種：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角：如旋轉(zhuǎn)中心為\(O\)，對應(yīng)點(diǎn)為\(A\)與\(A'\)，則旋轉(zhuǎn)角為\(\angleAOA'\)；對應(yīng)邊的夾角：如對應(yīng)邊\(AB\)與\(A'B'\)的夾角，即為旋轉(zhuǎn)角（需注意方向）。3.第三步：利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解題旋轉(zhuǎn)型全等的核心性質(zhì)是對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，解題時需結(jié)合以下知識點(diǎn)：勾股定理：若旋轉(zhuǎn)角為\(90^\circ\)，則對應(yīng)邊形成直角三角形，可求邊長；相似三角形：旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊的夾角相等，可能形成相似三角形；坐標(biāo)系坐標(biāo)變換：繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，用坐標(biāo)公式求對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，再計算邊長或角度。五、真題演練1.2023年某省中考題（等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)）題目：如圖，等腰直角\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=BC=3\)，點(diǎn)\(D\)在\(AB\)上，將\(\triangleACD\)繞點(diǎn)\(C\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到\(\triangleBCE\)，連接\(DE\)。若\(AD=1\)，求\(DE\)的長。思路分析：旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)\(C\)（題目明確“繞點(diǎn)\(C\)旋轉(zhuǎn)”）；旋轉(zhuǎn)角：\(90^\circ\)（逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)）；旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：\(\triangleACD\cong\triangleBCE\)，故\(AD=BE=1\)，\(\angleCAD=\angleCBE=45^\circ\)。解題過程：由等腰直角三角形性質(zhì)，\(\angleABC=45^\circ\)，故\(\angleDBE=\angleABC+\angleCBE=90^\circ\)；在\(Rt\triangleDBE\)中，\(BD=AB-AD=3\sqrt{2}-1\)？不對，\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\)，但\(AD=1\)，\(BD=AB-AD=3\sqrt{2}-1\)？不，等一下，\(\triangleACD\cong\triangleBCE\)，所以\(\angleACD=\angleBCE\)，\(CD=CE\)，\(\angleDCE=\angleACD+\angleDCB=\angleBCE+\angleDCB=\angleACB=90^\circ\)，所以\(\triangleCDE\)是等腰直角三角形，\(DE=\sqrt{2}CD\)。那怎么求\(CD\)？用坐標(biāo)法：設(shè)\(C(0,0)\)，\(A(3,0)\)，\(B(0,3)\)，\(AB\)方程為\(x+y=3\)，點(diǎn)\(D\)在\(AB\)上，\(AD=1\)，\(AB=3\sqrt{2}\)，所以\(D\)分\(AB\)的比為\(AD:DB=1:(3\sqrt{2}-1)\)？不對，應(yīng)該用坐標(biāo)計算：設(shè)\(D(x,3-x)\)，則\(AD=\sqrt{(x-3)^2+(3-x-0)^2}=1\)，即\(\sqrt{2(x-3)^2}=1\)，解得\((x-3)^2=1/2\)，\(x=3\pm\sqrt{2}/2\)，因為\(D\)在\(AB\)上，所以\(x=3-\sqrt{2}/2\)，\(y=3-x=\sqrt{2}/2\)，故\(D(3-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)\)，則\(CD=\sqrt{(3-\sqrt{2}/2)^2+(\sqrt{2}/2)^2}=\sqrt{9-3\sqrt{2}+(2/4)+(2/4)}=\sqrt{9-3\sqrt{2}+1}=\sqrt{10-3\sqrt{2}}\)？不對，可能我剛才的思路錯了，再想，\(\triangleACD\cong\triangleBCE\)，所以\(\angleCAD=\angleCBE=45^\circ\)，而\(\angleABC=45^\circ\)，所以\(\angleDBE=\angleABC+\angleCBE=90^\circ\)，對，\(BE=AD=1\)，\(BD=AB-AD=3\sqrt{2}-1\)？不，\(AB\)是等腰直角三角形的斜邊，長為\(3\sqrt{2}\)，但\(AD=1\)，\(BD=AB-AD=3\sqrt{2}-1\)，那\(DE=\sqrt{BD^2+BE^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}-1)^2+1^2}=\sqrt{18-6\sqrt{2}+1+1}=\sqrt{20-6\sqrt{2}}\)？這顯然不對，可能我哪里錯了。哦，等一下，題目中\(zhòng)(\triangleACD\)繞點(diǎn)\(C\)旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到\(\triangleBCE\)，所以\(B\)是\(A\)的對應(yīng)點(diǎn)嗎？不對，應(yīng)該是\(A\)對應(yīng)\(B\)，\(D\)對應(yīng)\(E\)，因為\(\triangleACD\cong\triangleBCE\)，所以\(AC=BC=3\)，\(CD=CE\)，\(AD=BE=1\)，\(\angleACD=\angleBCE\)，所以\(\angleDCE=\angleACD+\angleDCB=\angleBCE+\angleDCB=\angleACB=90^\circ\)，所以\(\triangleCDE\)是等腰直角三角形，\(DE=\sqrt{2}CD\)。那\(CD\)怎么求？用余弦定理在\(\triangleACD\)中，\(AC=3\)，\(AD=1\)，\(\angleCAD=45^\circ\)，所以\(CD^2=AC^2+AD^2-2\cdotAC\cdotAD\cdot\cos\angleCAD=9+1-2\cdot3\cdot1\cdot\cos45^\circ=10-6\cdot(\sqrt{2}/2)=10-3\sqrt{2}\)，所以\(DE=\sqrt{2(10-3\sqrt{2})}=\sqrt{20-6\sqrt{2}}\)？這好像復(fù)雜，可能題目中的\(AD=1\)是指線段長度，而\(AB\)的長是\(3\sqrt{2}\)，但可能我應(yīng)該用另一種方法，比如坐標(biāo)法中的\(D\)點(diǎn)坐標(biāo)是否正確。設(shè)\(C(0,0)\)，\(A(3,0)\)，\(B(0,3)\)，\(AB\)的參數(shù)方程為\(x=3-t\cos45^\circ\)，\(y=0+t\sin45^\circ\)，其中\(zhòng)(t\)是從\(A\)到\(B\)的距離，當(dāng)\(t=AD=1\)時，\(x=3-1\cdot(\sqrt{2}/2)=3-\sqrt{2}/2\)，\(y=1\cdot(\sqrt{2}/2)=\sqrt{2}/2\)，所以\(D(3-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)\)，則\(CD=\sqrt{(3-\sqrt{2}/2)^2+(\sqrt{2}/2)^2}=\sqrt{9-3\sqrt{2}+(2/4)+(2/4)}=\sqrt{9-3\sqrt{2}+1}=\sqrt{10-3\sqrt{2}}\)，沒錯，那\(DE=\sqrt{2}\cdot\sqrt{10-3\sqrt{2}}=\sqrt{20-6\sqrt{2}}\)，但可能題目中的\(AD=1\)是指\(AB\)上的線段，而我哪里錯了？哦，等一下，\(\triangleACD\)繞點(diǎn)\(C\)旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到\(\triangleBCE\)，所以\(E\)點(diǎn)坐標(biāo)是多少？\(A(3,0)\)繞\(C(0,0)\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到\(B(0,3)\)，對，因為\((3,0)\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)是\((0,3)\)，所以\(D\)點(diǎn)繞\(C\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到\(E\)點(diǎn)，\(D(3-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)\)逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)后的坐標(biāo)是\((-\sqrt{2}/2,3-\sqrt{2}/2)\)，對嗎？因為逆時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)的公式是\((x,y)\to(-y,x)\)，所以\(x'=-\sqrt{2}/2\)，\(y'=3-\sqrt{2}/2\)，那么\(E(-\sqrt{2}/2,3-\sqrt{2}/2)\)，然后計算\(DE\)的長度：\(D(3-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)\)，\(E(-\sqrt{2}/2,3-\sqrt{2}/2)\)，所以\(DE=\sqrt{[3-\sqrt{2}/2-(-\sqrt{2}/2)]^2+[\sqrt{2}/2-(3-\sqrt{2}/2)]^2}=\sqrt{3^2+(-3+\sqrt{2})^2}=\sqrt{9+9-6\sqrt{2}+2}=\sqrt{20-6\sqrt{2}}\)，對，沒錯，那答案就是\(\sqrt{20-6\sqrt{2}}\)，但可能我剛才的思路是對的，只是計算復(fù)雜。2.2022年某省中考題（坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)）題目：點(diǎn)\(A(2,1)\)繞點(diǎn)\(O(0,0)\)順時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)得到點(diǎn)\(A'\)，則\(A'\)坐標(biāo)為（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((-2,1)\)D.\((2,-1)\)思路分析：繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)的坐標(biāo)公式：\((x,y)\to(y,-x)\)；代入\(A(2,1)\)，得\(A'(1,-2)\)，選A。答案：A3.2021年某省中考題（繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）題目：如圖，\(\triangleABC\)中，\(D\)是\(BC\)中點(diǎn)，\(E\)是\(AD\)中點(diǎn)，連接\(BE\)并延長交\(AC\)于\(F\)。求證：\(AF=\frac{1}{3}AC\)。思路分析：本題雖未明確旋轉(zhuǎn)，但可通過繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形（中點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)）；繞\(D\)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)，則\(B\)與\(C\)重合，\(E\)是\(AD\)中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后\(E\)對應(yīng)點(diǎn)是\(AD\)的另一個中點(diǎn)？不對，換一種方式：取\(BF\)中點(diǎn)\(G\)，繞\(G\)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)，則\(B\)與\(F\)重合，\(E\)與某點(diǎn)重合，或者更常用的方法是延長\(BE\)到\(G\)，使\(EG=BE\)，連接\(CG\)，則\(\triangleBDE\cong\triangleCGE\)（\(SAS\)，因為\(DE=CE\)，\(\angleBED=\angleCEG\)，\(BE=GE\)），所以\(BD=CG\)，\(BD\parallelCG\)，因為\(D\)是\(BC\)中點(diǎn)，所以\(BD=DC=CG\)，故\(CG=DC\)，\(\triangleCGD\)是等腰三角形，而\(BD\parallelCG\)，所以\(\angleFCG=\angleFBD\)，\(\angleFGC=\angleFBD\)（因為\(BD\parallelCG\)），所以\(\angleFCG=\angleFGC\)，故\(FC=FG\)，而\(EG=BE\)，設(shè)\(BE=EG=x\)，則\(BG=2x\)，\(FG=FC=y\)，則\(BF=BG-FG=2x-y\)，而\(BF=BE+EF=x+EF\)，所以\(x+EF=2x-y\)，得\(EF=x-y\)，又因為\(E\)是\(AD\)中點(diǎn)，\(EG=BE\)，所以\(AG=AD+DG=2DE+DG\)？不對，回到題目，其實(shí)更簡單的方法是用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等：繞\(E\)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)，則\(B\)與\(G\)重合，\(E\)是中心，所以\(BE=EG\)，\(AE=ED\)，則\(\triangleABE\cong\triangleDGE\)（\(SAS\)），所以\(AB\parallelDG\)，\(AB=DG\)，則\(\triangleABF\sim\triangleDGF\)（相似比\(1:2\)，因為\(E\)是\(AD\)中點(diǎn)，\(AE=ED\)，\(AB\parallelDG\)），所以\(AF:FC=1:2\)，故\(AF=\frac{1}{3}AC\)。哦，對，這才是旋轉(zhuǎn)型全等的應(yīng)用，繞\(E\)旋轉(zhuǎn)\(180^\circ\)，構(gòu)造\(\triangleABE\cong\triangleDGE\)，從而得到平行關(guān)系，進(jìn)而用相似三角形解題。六、易錯點(diǎn)提醒1.旋轉(zhuǎn)方向混淆錯誤：將“順時針旋轉(zhuǎn)”與“逆時針旋轉(zhuǎn)”的坐標(biāo)變換公式記反（如點(diǎn)\((1,0)\)順時針旋轉(zhuǎn)\