一、測試目標(biāo)1.理解函數(shù)零點的定義，明確函數(shù)零點與方程根、函數(shù)圖像與\(x\)軸交點的關(guān)系；2.掌握零點存在性定理的條件與應(yīng)用，能判斷函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)是否存在零點；3.熟悉二分法的原理與步驟，能運用二分法求函數(shù)零點的近似值；4.掌握二次函數(shù)零點分布的條件，能解決二次函數(shù)零點位置的綜合問題；5.能結(jié)合函數(shù)圖像與單調(diào)性，判斷函數(shù)零點的個數(shù)。二、知識梳理1.函數(shù)零點的定義對于函數(shù)\(y=f(x)\)，使\(f(x)=0\)的實數(shù)\(x\)叫做函數(shù)的零點。注意：零點是實數(shù)，不是點；零點個數(shù)等于方程\(f(x)=0\)的實根個數(shù)，也等于函數(shù)圖像與\(x\)軸交點的個數(shù)。2.零點存在性定理若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，則函數(shù)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點。易錯點：定理是充分不必要條件（有零點不一定滿足\(f(a)\cdotf(b)<0\)，如\(f(x)=x^2\)在\((-1,1)\)內(nèi)有零點，但\(f(-1)=f(1)=1>0\)）；定理僅判斷“存在性”，不判斷零點個數(shù)（若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則零點唯一）。3.二分法定義：對于連續(xù)函數(shù)\(f(x)\)，若\(f(a)\cdotf(b)<0\)，通過不斷將零點所在區(qū)間一分為二，逐步逼近零點的方法。步驟：①確定區(qū)間\([a,b]\)，驗證\(f(a)\cdotf(b)<0\)；②取中點\(c=\frac{a+b}{2}\)，計算\(f(c)\)；③若\(f(c)=0\)，則\(c\)是零點；若\(f(a)\cdotf(c)<0\)，則零點在\((a,c)\)內(nèi)，令\(b=c\)；若\(f(c)\cdotf(b)<0\)，則零點在\((c,b)\)內(nèi)，令\(a=c\)；④重復(fù)②③，直到區(qū)間長度小于給定精度，取中點為近似值。4.二次函數(shù)零點分布（以\(f(x)=ax^2+bx+c\)，\(a>0\)為例）設(shè)零點為\(x_1\leqx_2\)，零點分布與參數(shù)關(guān)系如下：兩個零點都在\((m,n)\)內(nèi)：\(\Delta\geq0\)，\(m<-\frac{2a}<n\)，\(f(m)>0\)，\(f(n)>0\)；一個零點在\((m,n)\)內(nèi)：\(f(m)\cdotf(n)<0\)（或\(\Delta=0\)且對稱軸在\((m,n)\)內(nèi)）；兩個零點都在\((-\infty,m)\)內(nèi)：\(\Delta\geq0\)，\(-\frac{2a}<m\)，\(f(m)>0\)；兩個零點都在\((m,+\infty)\)內(nèi)：\(\Delta\geq0\)，\(-\frac{2a}>m\)，\(f(m)>0\)。三、測試題（一）選擇題（每題5分，共25分）1.下列關(guān)于函數(shù)零點的說法正確的是（）A.函數(shù)的零點是函數(shù)圖像與\(y\)軸的交點B.函數(shù)的零點是函數(shù)圖像與\(x\)軸的交點C.函數(shù)的零點是使函數(shù)值為0的自變量的值D.函數(shù)的零點是函數(shù)值為0時的點答案：C解析：零點定義為使\(f(x)=0\)的實數(shù)\(x\)，是自變量的值，而非點或坐標(biāo)軸交點（與\(x\)軸交點是\((x,0)\)，其中\(zhòng)(x\)是零點）。2.函數(shù)\(f(x)=\lnx+x-2\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)是否有零點？（）A.有B.沒有C.無法確定D.以上都不對答案：A解析：\(f(x)\)在\([1,2]\)連續(xù)，\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=\ln2>0\)，由零點存在性定理，區(qū)間內(nèi)有零點。3.下列函數(shù)中，能用二分法求零點的是（）A.\(f(x)=x^2\)B.\(f(x)=|x|\)C.\(f(x)=(x-1)^2\)D.\(f(x)=x^3\)答案：D解析：二分法要求連續(xù)且端點異號。A、B、C選項在零點附近端點同號（如\(x^2\)在\((-1,1)\)內(nèi)\(f(-1)=f(1)=1>0\)），無法用二分法；D選項\(x^3\)在\((-1,1)\)內(nèi)\(f(-1)=-1<0\)，\(f(1)=1>0\)，符合條件。4.若二次函數(shù)\(f(x)=x^2-2mx+m^2-1\)在區(qū)間\((0,2)\)內(nèi)有兩個零點，則\(m\)的取值范圍是（）A.\((-1,1)\)B.\((0,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,0)\)答案：C解析：\(f(x)=(x-m)^2-1\)，零點為\(x=m\pm1\)。要使兩個零點都在\((0,2)\)內(nèi)，需\(0<m-1<m+1<2\)，解得\(1<m<2\)。5.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的零點個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.0答案：C解析：求導(dǎo)得\(f’(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，極值點為\(x=\pm1\)。計算極值：\(f(-1)=-1+3+1=3>0\)，\(f(1)=1-3+1=-1<0\)。結(jié)合單調(diào)性（\(x<-1\)遞增，\(-1<x<1\)遞減，\(x>1\)遞增），函數(shù)圖像與\(x\)軸有3個交點，故零點個數(shù)為3。（二）填空題（每題5分，共25分）6.函數(shù)\(f(x)=e^x-x-2\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)的零點個數(shù)為______。答案：1解析：\(f(x)\)在\([1,2]\)連續(xù)，\(f(1)=e-3\approx-0.28<0\)，\(f(2)=e^2-4\approx3.39>0\)，故有一個零點。又\(f’(x)=e^x-1>0\)（\(x>0\)），函數(shù)單調(diào)遞增，零點唯一。7.用二分法求函數(shù)\(f(x)=x^3-x-1\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)的零點，取中點\(c_1=1.5\)，則下一個區(qū)間是______。答案：\((1,1.5)\)解析：\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=5>0\)，\(f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0\)。因\(f(1)\cdotf(1.5)<0\)，下一個區(qū)間為\((1,1.5)\)。8.若二次函數(shù)\(f(x)=2x^2-ax+1\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)有一個零點，則\(a\)的取值范圍是______。答案：\((3,\frac{9}{2})\)解析：由零點分布條件，\(f(1)\cdotf(2)<0\)，即\((2-a+1)(8-2a+1)<0\)，化簡得\((3-a)(9-2a)<0\)，解得\(3<a<\frac{9}{2}\)。9.函數(shù)\(f(x)=|x|-2\)的零點個數(shù)為______。答案：2解析：令\(|x|-2=0\)，得\(x=\pm2\)，故零點個數(shù)為2（圖像與\(x\)軸交于\((\pm2,0)\)）。10.若函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+m\)有兩個零點，且都在區(qū)間\((0,3)\)內(nèi)，則\(m\)的取值范圍是______。答案：\((0,1)\)解析：由二次函數(shù)零點分布條件：\(\Delta=4-4m\geq0\)（有兩個實根）；對稱軸\(x=1\)在\((0,3)\)內(nèi)；\(f(0)=m>0\)，\(f(3)=9-6+m=3+m>0\)。解得\(0<m\leq1\)。又因兩個零點都在區(qū)間內(nèi)，\(m=1\)時零點為\(x=1\)（重根），符合條件，故\(0<m\leq1\)？等一下，\(f(0)=m>0\)，\(f(3)=3+m>0\)，對稱軸\(x=1\)在\((0,3)\)內(nèi)，\(\Delta\geq0\)，所以\(m\leq1\)，且\(m>0\)，故取值范圍是\((0,1]\)。但原題說“兩個零點”，重根算不算？教材中零點個數(shù)按實根個數(shù)（重根按一個算），但這里“兩個零點”可能指兩個不同的零點，所以\(\Delta>0\)，即\(m<1\)，故取值范圍是\((0,1)\)。（三）解答題（每題10分，共50分）11.證明：函數(shù)\(f(x)=x^3+x-1\)在區(qū)間\((0,1)\)內(nèi)有且僅有一個零點。證明：①連續(xù)性：\(f(x)\)是多項式函數(shù)，在\([0,1]\)上連續(xù)；②端點值：\(f(0)=-1<0\)，\(f(1)=1+1-1=1>0\)，故\(f(0)\cdotf(1)<0\)，由零點存在性定理，區(qū)間內(nèi)有零點；③單調(diào)性：\(f’(x)=3x^2+1>0\)對所有\(zhòng)(x\in\mathbb{R}\)成立，故\(f(x)\)在\((0,1)\)內(nèi)單調(diào)遞增；綜上，\(f(x)\)在\((0,1)\)內(nèi)有且僅有一個零點。12.用二分法求函數(shù)\(f(x)=\lnx-\frac{1}{x}\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)的零點近似值，精確到0.1。解析：\(f(1)=0-1=-1<0\)，\(f(2)=\ln2-0.5\approx0.19>0\)，區(qū)間\([1,2]\)；中點\(c_1=1.5\)，\(f(1.5)=\ln1.5-\frac{2}{3}\approx0.405-0.667=-0.262<0\)，新區(qū)間\([1.5,2]\)；中點\(c_2=1.75\)，\(f(1.75)=\ln1.75-\frac{4}{7}\approx0.559-0.571=-0.012<0\)，新區(qū)間\([1.75,2]\)；中點\(c_3=1.875\)，\(f(1.875)=\ln1.875-\frac{8}{15}\approx0.629-0.533=0.096>0\)，新區(qū)間\([1.75,1.875]\)；區(qū)間長度\(1.875-1.75=0.125<0.2\)，再取中點\(c_4=1.8125\)，\(f(1.8125)\approx\ln1.8125-\frac{16}{29}\approx0.594-0.552=0.042>0\)，新區(qū)間\([1.75,1.8125]\)；區(qū)間長度\(1.8125-1.75=0.0625<0.1\)，中點為\(1.____\)，精確到0.1即為1.8。答案：1.813.已知二次函數(shù)\(f(x)=x^2+bx+c\)的兩個零點都在區(qū)間\((-1,1)\)內(nèi)，求\(b\)和\(c\)的取值范圍。解析：由二次函數(shù)零點分布條件（\(a=1>0\)）：①判別式：\(\Delta=b^2-4c\geq0\)（有兩個實根）；②對稱軸：\(-1<-\frac{2}<1\)，即\(-2<b<2\)；③端點函數(shù)值：\(f(-1)=1-b+c>0\)，\(f(1)=1+b+c>0\)；④零點在區(qū)間內(nèi)：因?qū)ΨQ軸在\((-1,1)\)內(nèi)，且\(f(-1)>0\)，\(f(1)>0\)，故兩個零點都在\((-1,1)\)內(nèi)。答案：\(-2<b<2\)，\(c>-1-|b|\)，且\(c\leq\frac{b^2}{4}\)。14.求函數(shù)\(f(x)=|x^2-1|-1\)的零點個數(shù)，并畫出函數(shù)圖像（草圖）。解析：令\(f(x)=0\)，得\(|x^2-1|=1\)，即：\(x^2-1=1\)，解得\(x=\pm\sqrt{2}\)；\(x^2-1=-1\)，解得\(x=0\)。故零點為\(x=-\sqrt{2}\)，\(0\)，\(\sqrt{2}\)，共3個零點。圖像草圖：當(dāng)\(x\leq-1\)或\(x\geq1\)時，\(f(x)=x^2-2\)（拋物線，開口向上，頂點在\((0,-2)\)，與\(x\)軸交于\(\pm\sqrt{2}\)）；當(dāng)\(-1<x<1\)時，\(f