四、電場和磁場【主干知識】1．庫侖定律F＝keq\f(Q1Q2,r2)2．電場強度的表達式(1)定義式：E＝eq\f(F,q)(2)計算式：E＝eq\f(kQ,r2)(3)勻強電場中：E＝eq\f(U,d)3．電勢差和電勢的關(guān)系UAB＝φA－φB或UBA＝φB－φA4．電場力做功的計算(1)普適：W＝qU(2)勻強電場：W＝Edq5．電容的定義式C＝eq\f(Q,U)＝eq\f(ΔQ,ΔU)6．平行板電容器的決定式C＝eq\f(εrS,4πkd)7．磁感應(yīng)強度的定義式B＝eq\f(F,IL)8．安培力大小F＝BIL(B、I、L相互垂直)9．洛倫茲力的大小F＝qvB10．帶電粒子在勻強磁場中的運動(1)洛倫茲力充當(dāng)向心力，qvB＝mrω2＝meq\f(v2,r)＝mreq\f(4π2,T2)＝4π2mrf2＝ma.(2)圓周運動的半徑r＝eq\f(mv,qB)、周期T＝eq\f(2πm,qB).11．速度選擇器如圖29所示，當(dāng)帶電粒子進入電場和磁場共存空間時，同時受到電場力和洛倫茲力作用，F(xiàn)電＝Eq，F(xiàn)洛＝Bqv0，若Eq＝Bqv0，有v0＝eq\f(E,B)，即能從S2孔飛出的粒子只有一種速度，而與粒子的質(zhì)量、電性、電量無關(guān)．圖2912．電磁流量計如圖30所示，一圓形導(dǎo)管直徑為d，用非磁性材料制成，其中有可以導(dǎo)電的液體向左流動，導(dǎo)電流體中的自由電荷(正負離子)在洛倫茲力作用下橫向偏轉(zhuǎn)，a、b間出現(xiàn)電勢差．當(dāng)自由電荷所受電場力和洛倫茲力平衡時，a、b間的電勢差就保持穩(wěn)定．圖30由qvB＝qE＝qeq\f(U,d)可得v＝eq\f(U,Bd)流量Q＝Sv＝eq\f(πd2,4)·eq\f(U,Bd)＝eq\f(πdU,4B).13．磁流體發(fā)電機如圖31是磁流體發(fā)電機，等離子氣體噴入磁場，正、負離子在洛倫茲力作用下發(fā)生上下偏轉(zhuǎn)而聚集到A、B板上，產(chǎn)生電勢差，設(shè)A、B平行金屬板的面積為S，相距為L，等離子氣體的電阻率為ρ，噴入氣體速度為v，板間磁場的磁感應(yīng)強度為B，板外電阻為R，當(dāng)?shù)入x子氣體勻速通過A、B板間時，板間電勢差最大，離子受力平衡：qE場＝qvB，E場＝vB，電動勢E＝E場L＝BLv，電源內(nèi)電阻r＝ρeq\f(L,S)，故R中的電流I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(BLv,R＋ρ\f(L,S))＝eq\f(BLvS,RS＋ρL).圖3114．霍爾效應(yīng)如圖32所示，厚度為h，寬度為d的導(dǎo)體板放在垂直于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，當(dāng)電流流過導(dǎo)體板時，在導(dǎo)體板上下側(cè)面間會產(chǎn)生電勢差，U＝keq\f(IB,d)(k為霍爾系數(shù))．圖3215．回旋加速器如圖33所示，是兩個D形金屬盒之間留有一個很小的縫隙，有很強的磁場垂直穿過D形金屬盒．D形金屬盒縫隙中存在交變的電場．帶電粒子在縫隙的電場中被加速，然后進入磁場做半圓周運動．圖33(1)粒子在磁場中運動一周，被加速兩次；交變電場的頻率與粒子在磁場中圓周運動的頻率相同．T電場＝T回旋＝T＝eq\f(2πm,qB).(2)粒子在電場中每加速一次，都有qU＝ΔEk.(3)粒子在邊界射出時，都有相同的圓周半徑R，有R＝eq\f(mv,qB).(4)粒子飛出加速器時的動能為Ek＝eq\f(mv2,2)＝eq\f(B2R2q2,2m).在粒子質(zhì)量、電量確定的情況下，粒子所能達到的最大動能只與加速器的半徑R和磁感應(yīng)強度B有關(guān)，與加速電壓無關(guān)．16．帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的處理方法17．帶電粒子在有界磁場中運動的處理方法(1)畫圓弧、定半徑：從磁場的邊界點或軌跡與磁場邊界的“相切點”等臨界點入手；充分應(yīng)用圓周運動相互垂直的“速度線”與“半徑線”．圖34①過粒子運動軌跡上任意兩點M、N(一般是邊界點，即“入射點”與“出射點”)，作與速度方向垂直的半徑，兩條半徑的交點是圓心O，如圖甲所示．②過粒子運動軌跡上某一點M(一般是“入射點”或“出射點”)，作與速度方向垂直的直線，再作M、N兩點連線(弦)的中垂線，其交點是圓弧軌道的圓心O，如圖乙所示．(2)確定幾何關(guān)系：在確定圓弧、半徑的幾何圖形中，作合適輔助線，依據(jù)圓、三角形的特點，應(yīng)用勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似等，寫出運動軌跡半徑r、圓心角(偏向角)θ，與磁場的寬度、角度，相關(guān)弦長等的幾何表達式．(3)確定物理關(guān)系：相關(guān)物理關(guān)系式主要為半徑r＝eq\f(mv,qB)，粒子在磁場的運動時間t＝eq\f(φ,2π)T＝eq\f(φ,360°)T(圓弧的圓心角φ越大，所用時間越長，與半徑大小無關(guān))，周期T＝eq\f(2πm,qB).【保溫訓(xùn)練】1．如圖35所示，將等量的正、負點電荷分別放在正方形的四個頂點上．O點為該正方形對角線的交點，直線段AB通過O點且垂直于該正方形，以下對A、B兩點的電勢和場強的判斷，正確的是()圖35A．EA＝EB＝0，φA＝φB＝0 B．EA＝EB≠0，φA＝φB＝0C．EA＝EB＝0，φA＝φB≠0 D．EA＝EB≠0，φA＝φB≠0A[兩個等量正點電荷連線中點O的電場強度為零，無窮遠處電場強度也為零，故從O點沿著中垂線向上到無窮遠處電場強度先增大后減小，A點電場強度豎直向上，B點電場強度豎直向下；兩個等量負點電荷連線中點O的電場強度為零，無窮遠處電場強度也為零，故從O點沿著中垂線向上到無窮遠處電場強度先增大后減小，A點電場強度豎直向下，B點電場強度豎直向上；因為電荷量相等，距離也相等，故電場強度大小也相等，方向相反，合場強為零，EA＝EB＝0.根據(jù)以上分析，直線段AB上各點電場強度均為零，位于等勢面上，所以A點電勢等于B點電勢，φA＝φB＝0，故A正確．]2．(多選)a、b、c三個α粒子由同一點同時垂直電場強度方向進入偏轉(zhuǎn)電場，其軌跡如圖36所示，其中b恰好飛出電場，由此可以肯定()【導(dǎo)學(xué)號：】圖36A．在b飛離電場的同時，a剛好打在負極板上B．b和c同時飛離電場C．進入電場時，c的速度最大，a的速度最小D．c的動能增量最小，a和b的動能增量一樣大ACD[三個粒子所受的電場力相等，加速度大小相等，在豎直方向上有：y＝eq\f(1,2)at2，由題圖知a、b的偏轉(zhuǎn)位移相等，大于c的偏轉(zhuǎn)位移，則a、b在電場中的運動時間相等，大于c的運動時間，故A正確，B錯誤；因為a的水平位移小于b的水平位移，時間相等，則a的速度小于b的速度，b的水平位移和c的水平位移相等，b的運動時間大于c的運動時間，則b的速度小于c的速度，所以進入電場時，c的速度最大，a的速度最小，故C正確；根據(jù)動能定理知，a、b豎直方向上的偏轉(zhuǎn)位移相等，則電場力做功相等，大于c所受電場力做的功，所以a、b的動能增量相等，大于c的動能增量，故D正確．]3．(多選)如圖37所示，虛線MN的下方存在著正交的勻強電場和勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應(yīng)強度大小為B.一帶電微粒自離MN為h的高處由靜止下落，從A點進入場區(qū)，沿著ACD做了一段勻速圓周運動，從D點射出．下列說法中正確的是()圖37A．微粒做圓周運動的半徑為eq\f(E,B)eq\r(\f(2h,g))B．微粒從A點運動到D點的過程中，電勢能先減小后增大C．從A點運動到D點的過程中微粒的電勢能和重力勢能之和保持不變D．若微粒從D點離開場區(qū)到再次落回場區(qū)將沿DCA返回AC[微粒開始時做自由落體運動，進入場區(qū)的速度大小為：v＝eq\r(2gh)，由題意可知，微粒進入復(fù)合場區(qū)做勻速圓周運動，因此必有重力與電場力平衡，即：mg＝qE，此時由洛倫茲力提供向心力，有：qvB＝meq\f(v2,R)，解得：R＝eq\f(E,B)eq\r(\f(2h,g))，故選項A正確；電場力方向豎直向上，因此微粒從A點運動到D點的過程中，電場力先做負功再做正功，其電勢能先增加后減少，故選項B錯誤；微粒從A點運動到D點的過程中，洛倫茲力不做功，根據(jù)能量守恒定律可知，微粒的重力勢能、動能、電勢能之和恒定，由于做勻速圓周運動，其動能不變，因此微粒的電勢能和重力勢能之和保持也不變，故選項C正確；微粒離開場區(qū)后做豎直上拋運動，根據(jù)運動對稱性可知，將運動至D點正上方與初始釋放位置等高處，后以向右平移2R距離重復(fù)之前的運動，故選項D錯誤．]4．(多選)圖38中的虛線為半徑為R、磁感應(yīng)強度大小為B的圓形勻強磁場的邊界，磁場的方向垂直圓平面向里．大量的比荷均為eq\f(q,m)的相同粒子由磁場邊界的最低點A向圓平面內(nèi)的不同方向以相同的速度v0射入磁場，粒子在磁場中做半徑為r的圓周運動，經(jīng)一段時間的偏轉(zhuǎn)，所有的粒子均由圓邊界離開，所有粒子的出射點的連線為虛線邊界的eq\f(1,3)，粒子在圓形磁場中運行的最長時間用tm表示，假設(shè)eq\f(q,m)、R、v0為已知量，其余的量均為未知量，忽略粒子的重力以及粒子間的相互作用．則()【導(dǎo)學(xué)號：】圖38A．B＝eq\f(2\r(3)mv0,3qR) B．B＝eq\f(\r(3)mv0,3qR)C．r＝eq\f(\r(3)R,2) D．tm＝eq\f(\r(3)πR,2v0)ACD[設(shè)從A點射入的粒子與磁場邊界的最遠交點為B，則B點是軌跡圓的直徑與磁場邊界圓的交點，eq\x\to(AB)的長是邊界圓周長的eq\f(1,3)，則∠AOB＝120°，sin60°＝eq\f(r,R)，得r＝eq\f(\r(3)R,2)，粒子在磁場中運動時，洛倫茲力提供向心力，有qv0B＝meq\f(v\o\al(2,0),r)，所以B＝eq\f(mv0,qr)＝eq\f(2\r(3)mv0,3qR)，A、C正確，B錯誤；粒子在磁場中運動的最長時間為tm＝eq\f(T,2)＝eq\f(πr,v0)＝eq\f(\r(3)πR,2v0)，D正確．]5.(多選)如圖39所示，在正交的勻強電場和勻強磁場中，電場方向水平向左，磁場方向垂直于紙面水平向里，一質(zhì)量為m，帶電量為＋q的小球用長為L的絕緣細線懸掛于O點，并在最低點由靜止釋放，小球向左擺到最高點時，懸線與豎直方向的夾角為θ，不計小球的大小和空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是()圖39A．電場強度的大小為eq\f(mgtanθ,q)B．小球從釋放到擺到左側(cè)最高點的過程中，電勢能減小了C．小球從釋放到擺到左側(cè)最高點的過程中，當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為eq\f(θ,2)時，懸線拉力最大D．增大懸線的長度，θ會增大BC[小球受到的洛倫茲力總是和運動速度垂直，因此是重力和電場力的合力改變小球的速度，在重力和電場力的合力場中，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為eq\f(θ,2)時，小球的速度最大，此時taneq\f(θ,2)＝eq\f(qE,mg)，得E＝eq\f(mgtan\f(θ,2),q)，A項錯誤；小球從釋放到擺到左側(cè)最高點的過程中，電場力一直做正功，因此電勢能一直在減小，B項正確；當(dāng)速度最大時，洛倫茲力最大，懸線的拉力F＝meq\f(v2,L)＋eq\r(qE2＋mg2)＋qvB最大，C項正確；由taneq\f(θ,2)＝eq\f(qE,mg)可知，θ與懸線的長無關(guān)，D項錯誤．]6．(多選)如圖40所示，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，半圓的左邊垂直x軸放置一粒子發(fā)射裝置，在－R≤y≤R的區(qū)間內(nèi)各處均沿x軸正方向同時發(fā)射出一個帶正電粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q、初速度均為v，重力忽略不計，所有粒子均能穿過磁場到達y軸，其中最后到達y軸的粒子比最先到達y軸的粒子晚Δt時間，則()【導(dǎo)學(xué)號：】圖40A．粒子到達y軸的位置一定各不相同B．磁場區(qū)域半徑R應(yīng)滿足R≤eq\f(mv,Bq)C．從x軸入射的粒子最先到達y軸D．Δt＝eq\f(mθ,qB)－eq\f(R,v)，其中角度θ為最后到達y軸的粒子在磁場中的運動軌跡所對應(yīng)的圓心角，滿足sinθ＝eq\f(BqR,mv)BD[粒子射入磁場后做勻速圓周運動，其運動軌跡如圖所示．y＝±R處的粒子直接沿直線做勻速運動到達y軸，其他粒子在磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由圖可知，發(fā)生偏轉(zhuǎn)的粒子也有可能打在y＝R的位置上，所以粒子到達y軸的位置不是各不相同的，A錯；以沿x軸射入的粒子為例，若r＝eq\f(mv,Bq)＜R，則粒子未到達y軸就偏向上離開磁場區(qū)域，所以要求R≤eq\f(mv,Bq)，所有粒子才能穿過磁場到達y軸，B對；從x軸入射的粒子在磁場中對應(yīng)的弧長最長，所以該粒子最后到達y軸，而y＝±R的粒子直接沿直線做勻速運動到達y軸，時間最短，C錯；從x軸入射的粒子在磁場中運動時間最長，為t1＝eq\f(θ,2π)·eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(mθ,Bq)，y＝±R處的粒子直接沿直線做勻速運動到達y軸，運動時間最短，為t2＝eq\f(R,v)，所以Δt＝eq\f(mθ,qB)－eq\f(R,v)，由圖知sinθ＝eq\f(R,r)＝eq\f(BqR,mv)，D對．]7．如圖41所示，有一對平行金屬板，板間加有恒定電壓；兩板間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B0，方向垂直于紙面向里．金屬板右下方以MN、PQ為上、下邊界，MP為左邊界的區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙