初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)講解教案**一、教學(xué)基本信息**課程名稱：初中數(shù)學(xué)（函數(shù)專題）授課年級：九年級（上）課時(shí)安排：3課時(shí)（每課時(shí)45分鐘）授課教師：[姓名]教學(xué)目標(biāo)：1.知識與技能：掌握函數(shù)的定義及三種基本函數(shù)（一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）的表達(dá)式、圖像特征與性質(zhì)；能運(yùn)用函數(shù)知識解決簡單實(shí)際問題。2.過程與方法：通過圖像繪制、性質(zhì)探究，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想；通過實(shí)際問題建模，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會函數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣；通過探究活動，增強(qiáng)合作交流與邏輯推理能力。教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)定義的理解；三種函數(shù)的圖像與性質(zhì)；函數(shù)解析式的求法。難點(diǎn)：函數(shù)概念中“變量對應(yīng)關(guān)系”的抽象性；二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合思想的滲透。教學(xué)方法：情境導(dǎo)入法、探究式教學(xué)法、講練結(jié)合法、多媒體輔助教學(xué)法。**二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)****第一課時(shí)：函數(shù)的定義與一次函數(shù)****（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）**通過生活中的具體實(shí)例，引發(fā)學(xué)生對“變量關(guān)系”的思考：實(shí)例1：汽車以50km/h的速度行駛，路程\(s\)（km）與時(shí)間\(t\)（h）的關(guān)系是什么？（\(s=50t\)）實(shí)例2：電費(fèi)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.5元/度，電費(fèi)\(y\)（元）與用電量\(x\)（度）的關(guān)系是什么？（\(y=0.5x\)）實(shí)例3：某商店銷售某種商品，每件利潤2元，總利潤\(W\)（元）與銷售量\(n\)（件）的關(guān)系是什么？（\(W=2n\)）提問：這些例子中有哪些共同特征？（都有兩個變量，一個變量變化時(shí)，另一個變量隨之變化；對于一個變量的每一個值，另一個變量有唯一確定的值與之對應(yīng)。）**（二）新知講解：函數(shù)的定義（10分鐘）**1.定義：在一個變化過程中，有兩個變量\(x\)和\(y\)，如果對于\(x\)的每一個確定的值，\(y\)都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就稱\(y\)是\(x\)的函數(shù)（function），\(x\)是自變量（independentvariable），\(y\)是因變量（dependentvariable）。2.關(guān)鍵點(diǎn)解析：兩個變量：必須存在兩個相互關(guān)聯(lián)的變量（如\(t\)與\(s\)、\(x\)與\(y\)）。唯一對應(yīng)：對于自變量的每一個值，因變量有且僅有一個值與之對應(yīng)（如\(y=x^2\)是函數(shù)，因?yàn)槊總€\(x\)對應(yīng)唯一\(y\)；但\(y^2=x\)不是函數(shù)，因?yàn)閈(x=4\)時(shí)\(y=±2\)，不滿足唯一對應(yīng)）。3.函數(shù)的表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示（如\(s=50t\)）；列表法：用表格表示（如時(shí)間\(t\)與路程\(s\)的對應(yīng)表）；圖像法：用坐標(biāo)系中的圖像表示（如\(s=50t\)的直線圖像）。**（三）探究活動：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（15分鐘）**1.一次函數(shù)的定義：形如\(y=kx+b\)（\(k\)、\(b\)為常數(shù)，\(k≠0\)）的函數(shù)，稱為一次函數(shù)（linearfunction）。當(dāng)\(b=0\)時(shí)，\(y=kx\)稱為正比例函數(shù)（proportionalfunction），是一次函數(shù)的特殊情況。2.圖像繪制：例1：繪制\(y=2x+1\)的圖像。步驟：①取兩點(diǎn)：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=1\)（與\(y\)軸交點(diǎn)\((0,1)\)）；當(dāng)\(y=0\)時(shí)，\(x=-0.5\)（與\(x\)軸交點(diǎn)\((-0.5,0)\)）。②連接兩點(diǎn)，得到直線。例2：繪制\(y=-2x+1\)的圖像（學(xué)生自主完成，教師指導(dǎo)）。3.性質(zhì)探究：觀察\(y=2x+1\)（\(k=2>0\)）：圖像從左到右上升，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；觀察\(y=-2x+1\)（\(k=-2<0\)）：圖像從左到右下降，\(y\)隨\(x\)的增大而減?。籠(b\)的作用：\(b\)是函數(shù)圖像與\(y\)軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)（如\(y=2x+1\)與\(y\)軸交于\((0,1)\)，\(y=2x-1\)與\(y\)軸交于\((0,-1)\)）。**（四）例題講解：一次函數(shù)的應(yīng)用（10分鐘）**例1：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像過點(diǎn)\((1,3)\)和\((2,5)\)，求\(k\)和\(b\)的值。解：將兩點(diǎn)代入解析式得：\[\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}\]解得：\(k=2\)，\(b=1\)，故函數(shù)解析式為\(y=2x+1\)。例2：某商店銷售某種商品，每件成本為5元，售價(jià)為8元，每天銷量\(y\)（件）與降價(jià)\(x\)（元）的關(guān)系為\(y=100+20x\)（\(0≤x≤3\)）。求每天的利潤\(W\)（元）與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)\(x=2\)時(shí)的利潤。解：利潤=（售價(jià)-成本）×銷量，即\(W=(8-5-x)y=(3-x)(100+20x)\)，展開得\(W=-20x^2-40x+300\)（\(0≤x≤3\)）。當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(W=-20×4-40×2+300=100\)（元）。**（五）鞏固練習(xí)（5分鐘）**1.判斷下列關(guān)系式是否為函數(shù)：（1）\(y=3x-1\)；（2）\(y=±\sqrt{x}\)；（3）\(x^2+y^2=4\)。2.已知正比例函數(shù)\(y=kx\)過點(diǎn)\((2,4)\)，求\(k\)的值。3.繪制\(y=3x-2\)的圖像，并描述其性質(zhì)。**第二課時(shí)：反比例函數(shù)****（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）**用生活中的反比例關(guān)系實(shí)例引入：實(shí)例1：長方形面積為10，長\(x\)與寬\(y\)的關(guān)系（\(xy=10\)，即\(y=10/x\)）；實(shí)例2：路程為20km，速度\(v\)與時(shí)間\(t\)的關(guān)系（\(vt=20\)，即\(t=20/v\)）。**（二）新知講解：反比例函數(shù)的定義（10分鐘）**1.定義：形如\(y=k/x\)（\(k\)為常數(shù)，\(k≠0\)）的函數(shù)，稱為反比例函數(shù)（inverseproportionalfunction）。也可表示為\(y=kx^{-1}\)或\(xy=k\)。2.定義域與值域：\(x≠0\)，\(y≠0\)（因?yàn)榉帜覆荒転?，函數(shù)值也不會為0）。**（三）探究活動：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（15分鐘）**1.圖像繪制：例：繪制\(y=6/x\)的圖像。步驟：①取\(x\)的正值：\(x=1\)時(shí)\(y=6\)，\(x=2\)時(shí)\(y=3\)，\(x=3\)時(shí)\(y=2\)，\(x=6\)時(shí)\(y=1\)；②取\(x\)的負(fù)值：\(x=-1\)時(shí)\(y=-6\)，\(x=-2\)時(shí)\(y=-3\)，\(x=-3\)時(shí)\(y=-2\)，\(x=-6\)時(shí)\(y=-1\)；③描點(diǎn)并連接，得到兩條曲線（雙曲線）。2.性質(zhì)探究：觀察\(y=6/x\)（\(k=6>0\)）：圖像位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而減?。挥^察\(y=-6/x\)（\(k=-6<0\)）：圖像位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大；對稱性：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱（若\((a,b)\)在圖像上，則\((-a,-b)\)也在圖像上）。**（四）例題講解：反比例函數(shù)的應(yīng)用（10分鐘）**例1：已知反比例函數(shù)\(y=k/x\)的圖像過點(diǎn)\((3,2)\)，求\(k\)的值，并判斷點(diǎn)\((1,6)\)是否在圖像上。解：將\((3,2)\)代入得\(2=k/3\)，故\(k=6\)，函數(shù)解析式為\(y=6/x\)。將\(x=1\)代入得\(y=6\)，故點(diǎn)\((1,6)\)在圖像上。例2：某車間加工一批零件，每天加工的數(shù)量\(x\)（個）與所需天數(shù)\(y\)（天）成反比例關(guān)系，且當(dāng)\(x=20\)時(shí)，\(y=15\)。求：（1）\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)\(x=30\)時(shí)，所需的天數(shù)\(y\)。解：（1）設(shè)\(y=k/x\)，代入\(x=20\)，\(y=15\)得\(15=k/20\)，故\(k=300\)，函數(shù)關(guān)系式為\(y=300/x\)；（2）當(dāng)\(x=30\)時(shí)，\(y=300/30=10\)（天）。**（五）鞏固練習(xí)（5分鐘）**1.判斷下列函數(shù)是否為反比例函數(shù)：（1）\(y=3/x\)；（2）\(y=x/3\)；（3）\(y=-2/x\)。2.已知反比例函數(shù)\(y=k/x\)過點(diǎn)\((-2,4)\)，求\(k\)的值。3.繪制\(y=-4/x\)的圖像，并描述其性質(zhì)。**第三課時(shí)：二次函數(shù)****（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）**用拋體運(yùn)動實(shí)例引入：實(shí)例：將一個球豎直向上拋出，高度\(h\)（m）與時(shí)間\(t\)（s）的關(guān)系為\(h=-5t^2+10t+15\)，請分析球的運(yùn)動軌跡。**（二）新知講解：二次函數(shù)的定義（10分鐘）**1.定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)，\(a≠0\)）的函數(shù)，稱為二次函數(shù)（quadraticfunction）。其中\(zhòng)(ax^2\)是二次項(xiàng)，\(bx\)是一次項(xiàng)，\(c\)是常數(shù)項(xiàng)。2.特殊形式：頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)），其中\(zhòng)((h,k)\)是頂點(diǎn)坐標(biāo)；交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a≠0\)），其中\(zhòng)(x_1\)、\(x_2\)是函數(shù)與\(x\)軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。**（三）探究活動：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（15分鐘）**1.圖像繪制：例：繪制\(y=x^2\)的圖像。步驟：①取點(diǎn)：\(x=-2\)時(shí)\(y=4\)，\(x=-1\)時(shí)\(y=1\)，\(x=0\)時(shí)\(y=0\)，\(x=1\)時(shí)\(y=1\)，\(x=2\)時(shí)\(y=4\)；②描點(diǎn)并連接，得到一條開口向上的拋物線（parabola）。2.性質(zhì)探究（以\(y=ax^2+bx+c\)為例）：開口方向：\(a>0\)時(shí)，開口向上；\(a<0\)時(shí)，開口向下；對稱軸：直線\(x=-b/(2a)\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：\((-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))\)；最值：\(a>0\)時(shí)，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，\(y\)有最小值\((4ac-b^2)/(4a)\)；\(a<0\)時(shí)，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，\(y\)有最大值\((4ac-b^2)/(4a)\)；單調(diào)性：\(a>0\)時(shí)，對稱軸左側(cè)（\(x<h\)）\(y\)隨\(x\)增大而減小，對稱軸右側(cè)（\(x>h\)）\(y\)隨\(x\)增大而增大；\(a<0\)時(shí)相反。**（四）例題講解：二次函數(shù)的應(yīng)用（10分鐘）**例1：求二次函數(shù)\(y=x^2+2x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及最值。解：方法一（公式法）：\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，對稱軸\(x=-2/(2×1)=-1\)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)\((4×1×3-2^2)/(4×1)=(12-4)/4=2\)，故頂點(diǎn)坐標(biāo)\((-1,2)\)。\(a=1>0\)，\(y\)有最小值2。方法二（配方法）：\(y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\)，故頂點(diǎn)坐標(biāo)\((-1,2)\)，對稱軸\(x=-1\)，最小值2。例2：某商店銷售某種商品，每件售價(jià)\(x\)（元）與銷量\(y\)（件）的關(guān)系為\(y=-10x+500\)（\(20≤x≤50\)），每件成本為20元。求利潤\(W\)（元）與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求最大利潤。解：利潤\(W=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x^2+700x-____\)。配方得\(W=-10(x-35)^2+2250\)。\(a=-10<0\)，故當(dāng)\(x=35\)時(shí)，\(W\)有最大值2250元。**（五）鞏固練習(xí)（5分鐘）**1.判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)：（1）\(y=2x^2+3x-1\)；（2）\(y=3x-2\)；（3）\(y=x^3+2x^2\)。2.用配方法求\(y=2x^2-4x+5\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及最值。3.某果園種植蘋果樹，每棵樹的產(chǎn)量\(y\)（kg）與種植密度\(x\)（棵/畝）的關(guān)系為\(y=-x^2+40x+50\)（\(10≤x≤30\)），求最大產(chǎn)量及對應(yīng)的種植密度。**三、板書設(shè)計(jì)**初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)1.函數(shù)定義：兩個變量、唯一對應(yīng)2.一次函數(shù)：\(y=kx+b\)（\(k≠0\)）圖像：直線性質(zhì)：\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減；\(b\