完全平方公式綜合練習(xí)題集一、引言完全平方公式是代數(shù)運(yùn)算的基石之一，形如\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)（和的平方）與\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)（差的平方）。它不僅是因式分解、解方程的核心工具，還廣泛應(yīng)用于函數(shù)、幾何（如面積計(jì)算）等領(lǐng)域。熟練掌握公式的直接展開、逆向配方及變形技巧，是提升代數(shù)運(yùn)算能力的關(guān)鍵。二、知識(shí)點(diǎn)回顧1.基本公式和的平方：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)差的平方：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)2.核心變形\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab\)（求平方和）\((a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)（差平方與和平方的關(guān)系）\(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}\)（求乘積）三、基礎(chǔ)應(yīng)用篇：公式的直接展開與逆向配方1.直接展開型方法要點(diǎn)：公式中的\(a\)、\(b\)可表示任意數(shù)或代數(shù)式，符號(hào)不影響結(jié)果（平方后為正）；展開時(shí)需注意系數(shù)平方和交叉項(xiàng)符號(hào)（如\((-m+n)^2=m^2-2mn+n^2\)）。例題解析：展開\((3x-2y)^2\)：\((3x)^2-2\cdot3x\cdot2y+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\)展開\((-a-b)^2\)：視為\((a+b)^2\)，結(jié)果為\(a^2+2ab+b^2\)（符號(hào)平方后不影響）。練習(xí)題：1.展開\((5a+4b)^2\)2.展開\((-2m-3n)^2\)3.展開\((x+\frac{1}{3})^2\)4.展開\((2p-\frac{1}{2})^2\)2.逆向配方型方法要點(diǎn)：將二次三項(xiàng)式\(x^2+bx+c\)配成\((x+m)^2+n\)，關(guān)鍵是\(m=\frac{2}\)，\(m^2=c\)（若\(c\)不足，補(bǔ)常數(shù)項(xiàng)）；系數(shù)不為1時(shí)（如\(ax^2+bx+c\)），先提取二次項(xiàng)系數(shù)，再配方。例題解析：配方\(x^2-8x+16\)：\((x-4)^2\)（\(m=-4\)，\(m^2=16\)）；配方\(2x^2+4x+5\)：\(2(x^2+2x)+5=2[(x+1)^2-1]+5=2(x+1)^2+3\)（提取系數(shù)2后配方）。練習(xí)題：1.配方\(x^2+10x+\_\_\_=(x+\_\_\_)^2\)2.配方\(y^2-14y+\_\_\_=(y-\_\_\_)^2\)3.配方\(3x^2+6x+\_\_\_=3(x+\_\_\_)^2+\_\_\_\)4.配方\(x^2+3x+2\)（提示：\((x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\)）四、變形技巧篇：公式的靈活運(yùn)用1.求代數(shù)式的值方法要點(diǎn)：利用完全平方公式的變形，通過\(a+b\)、\(a-b\)或\(ab\)的值，求\(a^2+b^2\)、\((a-b)^2\)等代數(shù)式的值。例題解析：已知\(a+b=6\)，\(ab=8\)，求\(a^2+b^2\)：\((a+b)^2-2ab=36-16=20\)；已知\(x-y=2\)，\(x^2+y^2=10\)，求\(xy\)：\(\frac{(x^2+y^2)-(x-y)^2}{2}=\frac{10-4}{2}=3\)。練習(xí)題：1.已知\(m+n=5\)，\(mn=3\)，求\(m^2+n^2\)和\((m-n)^2\)；2.已知\(a-b=4\)，\(ab=5\)，求\(a^2+b^2\)；3.已知\(x+\frac{1}{x}=3\)，求\(x^2+\frac{1}{x^2}\)（提示：兩邊平方）；4.已知\(2a+2b=6\)，\(ab=2\)，求\(a^2+b^2\)（提示：先化簡(jiǎn)\(a+b\)）。2.符號(hào)與系數(shù)變化方法要點(diǎn)：完全平方公式中的符號(hào)不影響結(jié)果（平方后為正），系數(shù)需同步平方；形如\((-ma+nb)^2\)的式子，可直接展開或視為\((nb-ma)^2\)，結(jié)果一致。例題解析：展開\((-2x+3y)^2\)：\(4x^2-12xy+9y^2\)（直接展開）；展開\((3a-1)^2-(2a+1)^2\)：\((9a^2-6a+1)-(4a^2+4a+1)=5a^2-10a\)（先展開再相減）。練習(xí)題：1.展開\((-4p+5q)^2\)；2.展開\((-x-y)^2-(x-y)^2\)（提示：用平方差公式簡(jiǎn)化）；3.展開\((3m+2n)^2-(3m-2n)^2\)（提示：平方差公式更簡(jiǎn)便）。五、綜合運(yùn)用篇：與其他知識(shí)結(jié)合1.與平方差公式結(jié)合方法要點(diǎn)：平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)與完全平方公式常聯(lián)合使用，如\((a+b)^2(a-b)^2=[(a+b)(a-b)]^2=(a^2-b^2)^2\)。例題解析：計(jì)算\((2x+1)^2-(2x-1)^2\)：方法一（直接展開）：\((4x^2+4x+1)-(4x^2-4x+1)=8x\)；方法二（平方差）：\([(2x+1)+(2x-1)][(2x+1)-(2x-1)]=4x\cdot2=8x\)（更簡(jiǎn)便）。練習(xí)題：1.計(jì)算\((a+b)^2(a-b)^2\)；2.計(jì)算\((x+3)(x-3)-(x-1)^2\)；3.計(jì)算\((a+b+c)^2\)（提示：將\((a+b)\)視為整體）。2.實(shí)際問題應(yīng)用方法要點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，利用完全平方公式求解（如正方形面積變化、長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)變化）。例題解析：正方形邊長(zhǎng)增加3cm后，面積增加39cm2，求原邊長(zhǎng)：設(shè)原邊長(zhǎng)為\(x\)，則\((x+3)^2-x^2=39\)，展開得\(6x+9=39\)，解得\(x=5\)（原邊長(zhǎng)5cm）。練習(xí)題：1.長(zhǎng)方形原長(zhǎng)比寬多1cm，長(zhǎng)增加2cm、寬增加1cm后，面積增加12cm2，求原面積（列方程求解）；2.正方形邊長(zhǎng)減少2cm后，面積減少16cm2，求原邊長(zhǎng)（提示：\(a^2-(a-2)^2=16\)）。六、易錯(cuò)點(diǎn)辨析篇：避免常見錯(cuò)誤1.常見錯(cuò)誤類型漏掉交叉項(xiàng)：如\((a+b)^2=a^2+b^2\)（漏掉\(2ab\)）；符號(hào)錯(cuò)誤：如\((2x-3y)^2=4x^2-6xy+9y^2\)（\(2ab\)應(yīng)為\(12xy\)，正確為\(-12xy\)）；配方錯(cuò)誤：如\(x^2+6x\)配方為\((x+6)^2-36\)（正確應(yīng)為\((x+3)^2-9\)）。2.錯(cuò)誤糾正練習(xí)例題：找出錯(cuò)誤并糾正：1.\((3a+2b)^2=9a^2+4b^2\)（錯(cuò)，漏掉\(12ab\)，糾正：\(9a^2+12ab+4b^2\)）；2.\((5x-y)^2=25x^2-5xy+y^2\)（錯(cuò)，\(2ab\)計(jì)算錯(cuò)誤，糾正：\(25x^2-10xy+y^2\)）；3.配方\(x^2+4x+5=(x+4)^2+1\)（錯(cuò)，\(m=2\)，糾正：\((x+2)^2+1\)）。練習(xí)題：1.判斷對(duì)錯(cuò)：\((a-b)^2=a^2-2ab-b^2\)（），若錯(cuò)，糾正；2.判斷對(duì)錯(cuò)：\((-2m+n)^2=4m^2-4mn+n^2\)（），若錯(cuò)，糾正；3.配方\(x^2-10x+20\)，學(xué)生寫成\((x-10)^2-80\)，請(qǐng)糾正。七、綜合練習(xí)題集1.展開\((a+b+c)^2\)；2.已知\(a+b=8\)，\(ab=15\)，求\((a-3)(b-3)\)（提示：展開后用已知條件）；3.計(jì)算\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2\)（用兩種方法）；4.配方\(3x^2-12x+7\)，并求其最小值；5.直角三角形兩條直角邊\(a\)、\(b\)滿足\(a+b=10\)，斜邊\(c=8\)，求三角形面積（提示：用勾股定理和完全平方公式）。八、答案與解析基礎(chǔ)應(yīng)用篇練習(xí)題答案1.\(25a^2+40ab+16b^2\)；2.\(4m^2+12mn+9n^2\)；3.\(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\)；4.\(4p^2-2p+\frac{1}{4}\)。逆向配方型練習(xí)題答案1.\(25\)，\(5\)；2.\(\frac{49}{4}\)，\(\frac{7}{2}\)；3.\(3(x+1)^2+4\)（\(3x^2+6x+7=3(x+1)^2+4\)）；4.\((x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}\)。變形技巧篇練習(xí)題答案1.\(m^2+n^2=25-6=19\)，\((m-n)^2=25-12=13\)；2.\(a^2+b^2=16+10=26\)；3.\(x^2+\frac{1}{x^2}=9-2=7\)；4.\(a+b=3\)，\(a^2+b^2=9-4=5\)。符號(hào)與系數(shù)變化練習(xí)題答案1.\(16p^2-40pq+25q^2\)；2.\((x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=4xy\)；3.\(24mn\)（平方差公式：\(6m\cdot4n=24mn\)）。綜合運(yùn)用篇練習(xí)題答案1.\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)；2.\((a-3)(b-3)=ab-3(a+b)+9=15-24+9=0\)；3.方法一：\(24xy\)（直接展開）；方法二：\(24xy\)（平方差）；4.\(3(x-2)^2-5\)，最小值為\(-5\)；5.面積為\(9\)（\(ab=18\)