一次函數(shù)應(yīng)用題及解析練習(xí)冊(cè)一、基礎(chǔ)概念回顧：一次函數(shù)的核心要素一次函數(shù)是描述兩個(gè)變量線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。其一般形式為：\[y=kx+b\quad(k,b\text{為常數(shù)，}k\neq0)\]1.變量定義自變量\(x\)：主動(dòng)變化的量（如時(shí)間、銷(xiāo)售量、流量）；因變量\(y\)：隨\(x\)變化而變化的量（如路程、利潤(rùn)、費(fèi)用）。2.系數(shù)意義斜率\(k\)：表示\(x\)每增加1個(gè)單位時(shí)，\(y\)的變化量（\(k>0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)增大而增大；\(k<0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)增大而減?。?；截距\(b\)：表示\(x=0\)時(shí)\(y\)的值（如初始路程、固定成本）。3.圖像性質(zhì)一次函數(shù)的圖像是直線，\(k\)決定直線的傾斜方向（\(k>0\)向上傾斜，\(k<0\)向下傾斜），\(b\)決定直線與\(y\)軸的交點(diǎn)（\((0,b)\)）。二、常見(jiàn)題型分類(lèi)與解題策略一次函數(shù)應(yīng)用題的核心是將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，以下是中考高頻題型及解題關(guān)鍵：（一）行程問(wèn)題：速度、時(shí)間、路程的線性關(guān)系核心公式：路程=速度×?xí)r間（\(s=vt\)）常見(jiàn)類(lèi)型：相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題、往返問(wèn)題解題關(guān)鍵：明確運(yùn)動(dòng)主體的速度、時(shí)間、路程關(guān)系，找出距離隨時(shí)間變化的規(guī)律。例1：追及問(wèn)題小明騎自行車(chē)從家出發(fā)去學(xué)校，速度為12km/h，出發(fā)15分鐘（0.25小時(shí)）后，爸爸開(kāi)車(chē)以36km/h的速度追。設(shè)爸爸出發(fā)時(shí)間為\(t\)小時(shí)，小明與爸爸之間的距離為\(s\)km。（1）求\(s\)與\(t\)的函數(shù)表達(dá)式；（2）爸爸出發(fā)后多久能追上小明？解析：（1）小明的路程：小明總行駛時(shí)間為\(t+0.25\)小時(shí)，路程為\(12(t+0.25)\)km；爸爸的路程：爸爸的路程為\(36t\)km；距離計(jì)算：\(s=小明的路程-爸爸的路程=12(t+0.25)-36t=-24t+3\)；自變量范圍：\(t\geq0\)且\(s\geq0\)（追上后距離為0），故\(0\leqt\leq0.125\)（7.5分鐘）。（2）追上條件：\(s=0\)，即\(-24t+3=0\)，解得\(t=0.125\)小時(shí)（7.5分鐘）。（二）銷(xiāo)售問(wèn)題：利潤(rùn)與銷(xiāo)售量的優(yōu)化核心公式：利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷(xiāo)售量；總成本=固定成本+可變成本×銷(xiāo)售量。解題關(guān)鍵：建立利潤(rùn)與銷(xiāo)售量的一次函數(shù)，通過(guò)不等式求盈利條件，或通過(guò)增減性求最值。例2：盈利條件問(wèn)題某超市銷(xiāo)售飲料，每瓶成本3元，售價(jià)5元，每天固定成本80元（房租、水電）。設(shè)每天銷(xiāo)售量為\(x\)瓶，利潤(rùn)為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)表達(dá)式；（2）每天銷(xiāo)售量至少為多少時(shí)，超市能盈利？解析：（1）利潤(rùn)計(jì)算：\(y=(5-3)x-80=2x-80\)；（2）盈利條件：\(y>0\)，即\(2x-80>0\)，解得\(x>40\)。結(jié)論：每天銷(xiāo)售量至少為41瓶時(shí)，超市能盈利。（三）方案選擇問(wèn)題：成本與效益的決策核心場(chǎng)景：面對(duì)多種方案（如收費(fèi)、采購(gòu)、運(yùn)輸），通過(guò)比較函數(shù)值選擇最優(yōu)方案。解題關(guān)鍵：建立各方案的一次函數(shù)，找到費(fèi)用相同的臨界點(diǎn)，再根據(jù)自變量范圍選擇。例3：流量套餐選擇電信公司推出兩種流量套餐：套餐A：月租10元，每GB流量2元；套餐B：月租20元，每GB流量1.5元。設(shè)每月流量為\(x\)GB，套餐A費(fèi)用為\(y_A\)，套餐B費(fèi)用為\(y_B\)。（1）求\(y_A\)與\(y_B\)的表達(dá)式；（2）流量多少時(shí)，兩種套餐費(fèi)用相同？（3）流量25GB時(shí)，選哪種套餐更劃算？解析：（1）套餐A：\(y_A=2x+10\)；套餐B：\(y_B=1.5x+20\)；（2）費(fèi)用相同：\(2x+10=1.5x+20\)，解得\(x=20\)；（3）流量25GB時(shí)：\(y_A=2×25+10=60\)元，\(y_B=1.5×25+20=57.5\)元，選套餐B更劃算。（四）圖表信息問(wèn)題：從圖像/表格中提取數(shù)據(jù)核心場(chǎng)景：題目給出直線圖像或數(shù)據(jù)表格，要求求函數(shù)表達(dá)式并解決問(wèn)題。解題關(guān)鍵：找到兩組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（圖像中的兩點(diǎn)、表格中的兩行），用待定系數(shù)法求表達(dá)式。例4：表格信息問(wèn)題某工廠生產(chǎn)數(shù)量\(x\)（件）與生產(chǎn)成本\(y\)（元）的關(guān)系如下表：\(x\)（件）10203040\(y\)（元）150200250300（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)表達(dá)式；（2）生產(chǎn)100件時(shí)，成本是多少？解析：（1）判斷線性關(guān)系：相鄰數(shù)據(jù)的斜率\(k=\frac{\Deltay}{\Deltax}=5\)（如\(\frac{____}{20-10}=5\)），故為一次函數(shù)；設(shè)表達(dá)式：\(y=5x+b\)，代入\(x=10\)、\(y=150\)，得\(b=100\)，故\(y=5x+100\)；（2）生產(chǎn)100件成本：\(y=5×100+100=600\)元。三、實(shí)戰(zhàn)練習(xí)及詳細(xì)解析練習(xí)1（行程問(wèn)題）小紅步行去圖書(shū)館，速度為5km/h，出發(fā)20分鐘（\(\frac{1}{3}\)小時(shí)）后，媽媽騎電動(dòng)車(chē)以15km/h的速度追。設(shè)媽媽出發(fā)時(shí)間為\(t\)小時(shí)，兩人距離為\(s\)km。（1）求\(s\)與\(t\)的函數(shù)表達(dá)式；（2）媽媽出發(fā)后多久能追上小紅？解析：（1）小紅的路程：\(5(t+\frac{1}{3})\)km；媽媽的路程：\(15t\)km；\(s=5(t+\frac{1}{3})-15t=-10t+\frac{5}{3}\)；（2）追上條件：\(s=0\)，即\(-10t+\frac{5}{3}=0\)，解得\(t=\frac{1}{6}\)小時(shí)（10分鐘）。練習(xí)2（銷(xiāo)售問(wèn)題）某商店賣(mài)文具，每支筆成本2元，售價(jià)4元，每天固定成本50元。設(shè)每天賣(mài)\(x\)支筆，利潤(rùn)為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)的表達(dá)式；（2）每天賣(mài)多少支筆，利潤(rùn)能達(dá)到100元？解析：（1）\(y=(4-2)x-50=2x-50\)；（2）利潤(rùn)100元：\(2x-50=100\)，解得\(x=75\)支。練習(xí)3（方案選擇問(wèn)題）某快遞收費(fèi)方式：方式A：首重1kg收10元，超過(guò)部分每kg收2元；方式B：無(wú)首重，每kg收3元。設(shè)重量為\(x\)kg（\(x\geq1\)），方式A費(fèi)用為\(y_A\)，方式B費(fèi)用為\(y_B\)。（1）求\(y_A\)與\(y_B\)的表達(dá)式；（2）重量多少時(shí)，兩種方式費(fèi)用相同？（3）重量5kg時(shí)，選哪種方式更劃算？解析：（1）\(y_A=2(x-1)+10=2x+8\)；\(y_B=3x\)；（2）\(2x+8=3x\)，解得\(x=8\)；（3）\(x=5\)時(shí)，\(y_A=18\)元，\(y_B=15\)元，選方式B。練習(xí)4（圖像問(wèn)題）某汽車(chē)油箱油量\(y\)（升）與行駛時(shí)間\(t\)（小時(shí)）的關(guān)系如圖所示（直線過(guò)點(diǎn)\((0,40)\)、\((4,20)\)）。（1）求\(y\)與\(t\)的函數(shù)表達(dá)式；（2）行駛5小時(shí)后，油箱還剩多少油？解析：（1）設(shè)表達(dá)式：\(y=kt+b\)，代入\((0,40)\)得\(b=40\)，代入\((4,20)\)得\(20=4k+40\)，解得\(k=-5\)，故\(y=-5t+40\)；（2）\(t=5\)時(shí)，\(y=-5×5+40=15\)升。四、易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：避免常見(jiàn)錯(cuò)誤1.變量顛倒：如將“時(shí)間”設(shè)為因變量，“路程”設(shè)為自變量，導(dǎo)致表達(dá)式錯(cuò)誤；2.等量關(guān)系錯(cuò)誤：如銷(xiāo)售利潤(rùn)應(yīng)為“（售價(jià)-成本）×數(shù)量”，而非“售價(jià)×數(shù)量-成本”；3.忽略自變量范圍：如時(shí)間不能為負(fù)，數(shù)量不能為小數(shù)（需取整數(shù)）；4.性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤：如\(k>0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)增大而增大，\(k<0\)時(shí)相反，容易搞反；5.圖表提取錯(cuò)誤：如從圖像中找錯(cuò)點(diǎn)的坐標(biāo)，或從表格中計(jì)算斜率時(shí)出錯(cuò)。五、總結(jié)：一次函數(shù)應(yīng)用題的解題流程1.審題：明確實(shí)際問(wèn)題類(lèi)型（行程、銷(xiāo)售等），找出已知量與未知量；2.設(shè)變量：設(shè)自變量為\(x\)（主動(dòng)變化的量），因變量為\(y\)（隨\(x\)變化的量）；3.找關(guān)系：根據(jù)等量關(guān)系（如\