八年級數(shù)學期末復習綜合題庫第一章代數(shù)部分1.1因式分解核心考點：提公因式法、公式法（平方差/完全平方）、分組分解法、十字相乘法（選學）一、基礎鞏固1.分解因式：\(2a^3-8a\)解析：先提公因式\(2a\)，得\(2a(a^2-4)\)；再用平方差公式，得\(2a(a+2)(a-2)\)。2.分解因式：\(x^2-6x+9\)解析：直接用完全平方公式，得\((x-3)^2\)。3.分解因式：\(ab-ac+bd-cd\)解析：分組分解，前兩項提\(a\)，后兩項提\(d\)，得\(a(b-c)+d(b-c)\)；再提公因式\((b-c)\)，得\((a+d)(b-c)\)。二、能力提升4.分解因式：\(x^2-5x+6\)解析：十字相乘法，找兩個數(shù)乘積為6、和為-5，即-2和-3，得\((x-2)(x-3)\)。5.分解因式：\(4x^2-12xy+9y^2\)解析：完全平方公式，\((2x)^2-2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x-3y)^2\)。6.已知\(a+b=3\)，\(ab=2\)，求\(a^2+b^2\)的值。解析：利用完全平方公式變形，\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2\times2=5\)。三、拓展壓軸7.分解因式：\(x^4-16\)解析：兩次用平方差公式，\(x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)\)。8.若\(x^2+mx+16\)是完全平方式，求\(m\)的值。解析：完全平方公式中，中間項為\(\pm2ab\)，故\(mx=\pm2\cdotx\cdot4\)，得\(m=\pm8\)。1.2分式核心考點：分式有意義的條件、約分/通分、分式運算（乘除/加減）、分式方程（解法與應用）一、基礎鞏固9.分式\(\dfrac{x-1}{x^2-4}\)有意義的條件是（）A.\(x\neq1\)B.\(x\neq\pm2\)C.\(x\neq2\)D.\(x\neq-2\)解析：分母不為0，即\(x^2-4\neq0\)，得\(x\neq\pm2\)，選B。10.約分：\(\dfrac{2x^2y}{4xy^2}\)解析：分子分母同除以\(2xy\)，得\(\dfrac{x}{2y}\)。11.計算：\(\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a}\)解析：將第二項變形為\(-\dfrac{1}{a-1}\)，得\(\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{a-1}{a-1}=1\)。二、能力提升12.化簡：\(\dfrac{x^2-4}{x+2}\div(x-2)\)解析：先分解因式，\(\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+2}\div(x-2)=(x-2)\div(x-2)=1\)（注意\(x\neq\pm2\)）。13.解分式方程：\(\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}\)解析：兩邊乘最簡公分母\((x-1)(x+1)\)，得\(x+1=2(x-1)\)；解得\(x=3\)；檢驗：\(x=3\)時，分母不為0，故解為\(x=3\)。14.若分式\(\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}\)的值為0，求\(x\)的值。解析：分子為0且分母不為0，即\(x^2-3x+2=0\)且\(x-1\neq0\)；解得\(x=2\)（\(x=1\)舍去）。三、拓展壓軸15.若\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=3\)，求\(\dfrac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}\)的值。解析：由條件得\(y-x=3xy\)，即\(x-y=-3xy\)；代入分子分母：分子：\(2(x-y)+3xy=2(-3xy)+3xy=-3xy\)；分母：\((x-y)-2xy=-3xy-2xy=-5xy\)；故原式\(=\dfrac{-3xy}{-5xy}=\dfrac{3}{5}\)（\(xy\neq0\)）。1.3二次根式核心考點：二次根式的定義（\(\sqrt{a}\geq0\)）、性質(zhì)（\(\sqrt{a^2}=|a|\)）、化簡（\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt\)）、運算（加減/乘除）一、基礎鞏固16.若\(\sqrt{x-2}\)有意義，則\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\geq2\)B.\(x>2\)C.\(x\leq2\)D.\(x<2\)解析：二次根式被開方數(shù)非負，得\(x-2\geq0\)，選A。17.化簡：\(\sqrt{12}\)解析：\(\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)。18.計算：\(\sqrt{8}+\sqrt{18}\)解析：化簡為\(2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。二、能力提升19.化簡：\(\sqrt{(3-\pi)^2}\)解析：利用性質(zhì)\(\sqrt{a^2}=|a|\)，得\(|3-\pi|=\pi-3\)（因\(\pi>3\)）。20.計算：\(\sqrt{2}\times\sqrt{6}\div\sqrt{3}\)解析：按順序運算，\(\sqrt{2\times6}\div\sqrt{3}=\sqrt{12}\div\sqrt{3}=\sqrt{4}=2\)。21.已知\(a=\sqrt{5}+2\)，\(b=\sqrt{5}-2\)，求\(a^2+b^2\)的值。解析：先算\(a+b=2\sqrt{5}\)，\(ab=(\sqrt{5})^2-2^2=1\)；再用完全平方公式，\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(2\sqrt{5})^2-2\times1=20-2=18\)。三、拓展壓軸22.若\(x=\sqrt{3}-1\)，求\(x^2+2x+3\)的值。解析：將原式變形為\((x+1)^2+2\)；代入\(x=\sqrt{3}-1\)，得\((\sqrt{3})^2+2=3+2=5\)。第二章幾何部分2.1全等三角形核心考點：全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）、全等性質(zhì)（對應邊/角相等）、全等應用（證明線段/角相等）一、基礎鞏固23.如圖，\(\triangleABC\cong\triangleDEF\)，若\(\angleA=50^\circ\)，\(\angleB=60^\circ\)，則\(\angleF=\)（）A.\(50^\circ\)B.\(60^\circ\)C.\(70^\circ\)D.\(80^\circ\)解析：\(\angleC=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\)，全等三角形對應角相等，\(\angleF=\angleC=70^\circ\)，選C。24.如圖，\(AB=CD\)，\(AC=BD\)，求證：\(\triangleABC\cong\triangleDCB\)。解析：在\(\triangleABC\)和\(\triangleDCB\)中，\(AB=DC\)，\(AC=DB\)，\(BC=CB\)（公共邊），故SSS判定全等。二、能力提升25.如圖，\(AD\)是\(\triangleABC\)的中線，\(BE\perpAD\)于\(E\)，\(CF\perpAD\)于\(F\)，求證：\(BE=CF\)。解析：先證\(\triangleBDE\cong\triangleCDF\)：\(AD\)是中線，故\(BD=CD\)；\(BE\perpAD\)，\(CF\perpAD\)，故\(\angleBED=\angleCFD=90^\circ\)；\(\angleBDE=\angleCDF\)（對頂角相等）；因此AAS判定全等，故\(BE=CF\)。26.如圖，\(AB=AE\)，\(\angleB=\angleE\)，\(BC=ED\)，求證：\(\angleC=\angleD\)。解析：連接\(AC\)、\(AD\)，先證\(\triangleABC\cong\triangleAED\)（SAS：\(AB=AE\)，\(\angleB=\angleE\)，\(BC=ED\)），得\(AC=AD\)，故\(\angleC=\angleD\)（等腰三角形性質(zhì)）。三、拓展壓軸27.如圖，\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(AB=AC\)，\(BD\)平分\(\angleABC\)交\(AC\)于\(D\)，\(CE\perpBD\)交\(BD\)延長線于\(E\)，求證：\(BD=2CE\)。解析：延長\(CE\)交\(BA\)延長線于\(F\)，先證\(\triangleBEF\cong\triangleBEC\)（ASA：\(\angleFBE=\angleCBE\)，\(BE=BE\)，\(\angleBEF=\angleBEC=90^\circ\)），得\(CE=FE\)，故\(CF=2CE\)；再證\(\triangleABD\cong\triangleACF\)（AAS：\(\angleBAD=\angleCAF=90^\circ\)，\(\angleABD=\angleACF\)，\(AB=AC\)），得\(BD=CF\)，故\(BD=2CE\)。2.2軸對稱核心考點：軸對稱圖形、對稱軸、等腰三角形（性質(zhì)/判定）、最短路徑（將軍飲馬問題）一、基礎鞏固28.下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.三角形解析：矩形有2條對稱軸，是軸對稱圖形，選B。29.等腰三角形的兩邊長為3和5，求周長。解析：分兩種情況：腰長3，底邊5：周長\(3+3+5=11\)；腰長5，底邊3：周長\(5+5+3=13\)；故周長為11或13。30.如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleA=40^\circ\)，則\(\angleB=\)（）A.\(40^\circ\)B.\(50^\circ\)C.\(60^\circ\)D.\(70^\circ\)解析：等腰三角形兩底角相等，\(\angleB=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\)，選D。二、能力提升31.如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)中點，\(DE\perpAB\)于\(E\)，\(DF\perpAC\)于\(F\)，求證：\(DE=DF\)。解析：\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)中點，故\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線（等腰三角形三線合一）；\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，故\(DE=DF\)（角平分線性質(zhì)）。32.如圖，在直線\(l\)上找一點\(P\)，使\(PA+PB\)最小，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)是直線\(l\)兩側的點。解析：連接\(AB\)交直線\(l\)于\(P\)，此時\(PA+PB=AB\)，根據(jù)兩點之間線段最短，故\(P\)為所求。三、拓展壓軸33.如圖，\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=BC\)，\(D\)是\(AB\)中點，\(E\)、\(F\)分別在\(AC\)、\(BC\)上，且\(AE=CF\)，求證：\(DE=DF\)。解析：連接\(CD\)，先證\(\triangleADE\cong\triangleCDF\)：\(AC=BC\)，\(D\)是\(AB\)中點，故\(CD=AD\)（等腰直角三角形三線合一）；\(\angleA=\angleDCF=45^\circ\)；\(AE=CF\)；因此SAS判定全等，故\(DE=DF\)。34.如圖，\(\angleAOB=30^\circ\)，點\(P\)在\(OA\)上，\(OP=6\)，點\(M\)、\(N\)在\(OB\)上，且\(PM=PN\)，求\(MN\)的最小值。解析：作\(PH\perpOB\)于\(H\)，則\(PH=\dfrac{1}{2}OP=3\)（30°角所對直角邊等于斜邊一半）；\(PM=PN\)，故\(H\)是\(MN\)中點，\(MN=2MH\)；\(MH=\sqrt{PM^2-PH^2}\)，當\(PM=PH\)時，\(MH\)最小為0，故\(MN\)最小值為0？不對，應該是當\(PM\perpOB\)時，\(M=H\)，\(N=H\)，此時\(MN=0\)，但題目中\(zhòng)(M\)、\(N\)是不同點嗎？若\(M\)、\(N\)不同，則\(MN\)最小值為\(2\sqrt{PM^2-3^2}\)，當\(PM\)最小時，\(MN\)最小，\(PM\)最小值為\(PH=3\)，此時\(MN=0\)，可能題目中\(zhòng)(M\)、\(N\)是不同點，故\(MN\)最小值為\(2\sqrt{3^2-3^2}=0\)，不對，可能我錯了，再想：\(PM=PN\)，故\(P\)在\(MN\)的垂直平分線上，作\(P\)關于\(OB\)的對稱點\(P'\)，則\(P'M=PM\)，\(P'N=PN\)，故\(P'M=P'N\)，即\(P'\)在\(MN\)的垂直平分線上，故\(MN\)的垂直平分線是\(PP'\)的中垂線？不對，可能更簡單的方法：設\(OH=x\)，則\(PH=3\)，\(MH=\sqrt{PM^2-9}\)，\(NH=\sqrt{PN^2-9}\)，因\(PM=PN\)，故\(MH=NH\)，故\(MN=2MH\)，而\(MH=|OM-OH|\)，\(OM=x\)，故\(MH=|x-OH|\)，\(OH=OP\cos30^\circ=6\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)，故\(MH=|x-3\sqrt{3}|\)，故\(MN=2|x-3\sqrt{3}|\)，當\(x=3\sqrt{3}\)時，\(MN\)最小值為0，即\(M=N=H\)，此時\(PM=PN=PH=3\)，故\(MN\)最小值為0。2.3勾股定理核心考點：勾股定理（\(a^2+b^2=c^2\)）、逆定理（判斷直角三角形）、勾股定理應用（折疊/航海/梯子問題）一、基礎鞏固35.若直角三角形兩直角邊為3和4，則斜邊為（）A.5B.6C.7D.8解析：\(\sqrt{3^2+4^2}=5\)，選A。36.若三角形三邊為5、12、13，則此三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形解析：\(5^2+12^2=25+144=169=13^2\)，故直角三角形，選B。37.如圖，梯子AB靠在墻上，梯子底端A到墻的距離為3米，梯子頂端B到地面的距離為4米，求梯子AB的長度。解析：\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\)米。二、能力提升38.如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=13\)，\(BC=14\)，\(AC=15\)，求\(BC\)邊上的高AD。解析：設\(BD=x\)，則\(DC=14-x\)，在\(Rt\triangleABD\)和\(Rt\triangleADC\)中，\(AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2\)，\(AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2\)，故\(13^2-x^2=15^2-(14-x)^2\)，解得\(x=5\)，故\(AD=\sqrt{13^2-5^2}=12\)。39.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F處，若AB=8，BC=10，求EC的長度。解析：設\(EC=x\)，則\(DE=8-x\)，\(AF=AD=10\)，\(BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\)，故\(FC=BC-BF=10-6=4\)，在\(Rt\triangleEFC\)中，\(EC^2+FC^2=EF^2\)，即\(x^2+4^2=(8-x)^2\)，解得\(x=3\)。三、拓展壓軸40.如圖，\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=BC\)，\(P\)是\(\triangleABC\)內(nèi)一點，且\(PA=3\)，\(PB=1\)，\(PC=2\)，求\(\angleBPC\)的度數(shù)。解析：將\(\triangleBPC\)繞點C順時針旋轉90°得\(\triangleAPC'\)，則\(PC'=PC=2\)，\(AP'=BP=1\)，\(\anglePCP'=90^\circ\)，故\(PP'=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)，在\(\triangleAPP'\)中，\(AP'^2+PP'^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=1+8=9=PA^2\)，故\(\angleAP'P=90^\circ\)，故\(\angleBPC=\angleAP'C=\angleAP'P+\anglePP'C=90^\circ+45^\circ=135^\circ\)（因\(\trianglePCP'\)是等腰直角三角形，\(\anglePP'C=45^\circ\)）。第三章統(tǒng)計與概率3.1數(shù)據(jù)的分析核心考點：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差（穩(wěn)定性）、統(tǒng)計圖表（條形圖/折線圖/扇形圖）一、基礎鞏固41.一組數(shù)據(jù)：2，3，4，5，5，6，7，求中位數(shù)和眾數(shù)。解析：中位數(shù)是第4個數(shù)，即5；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即5。42.一組數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，求方差。解析：平均數(shù)\(\bar{x}=3\)，方差\(s^2=\dfrac{1}{5}[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]=\dfrac{1}{5}[4+1+0+1+4]=2\)。二、能力提升43.如圖，扇形圖表示某班學生的血型分布，其中O型血占40%，A型血占30%，B型血占20%，則AB型血占（）A.10%B.15%C.20%D.25%解析：100%-40%-30%-20%=10%，選A。44.某班50名學生的身高數(shù)據(jù)如下表，求平均數(shù)（結果保留一位小數(shù)）：身高（cm）150155160165170人數(shù)51015128解析：平均數(shù)\(\bar{x}=\dfrac{150\times5+155\times10+160\times15+165\times12+170\times8}{50}=\dfrac{750+1550+2400+1980+1360}{50}=\dfrac{8040}{50}\approx160.8\)。三、拓展壓軸45.甲、乙兩組各10名學生的數(shù)學成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑杭捉M：85，90，92，95，95，98，100，100，100，100；乙組：80，85，90，95，95，100，100，100，100，100；（1）求兩組的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）若從兩組中選一組參加競賽，選哪組更好？說明理由。解析：（1）甲組：平均數(shù)\(\dfrac{85+90+92+95+95+98+100+100+100+100}{10}=95