專題7.6分式十六大必考點

【浙教版】

【考點1分式有意義的條件】....................................................................1

【考點2分式的基本性質(zhì)的運(yùn)用（擴(kuò)大或縮小倍數(shù)）】............................................4

【考點3分式的值為整數(shù)】......................................................................6

【考點4分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)】..............................................................8

【考點5分式的化簡求值綜合運(yùn)算（非負(fù)性與二元一次方程組）1.................................10

【考點6分式的化簡求值綜合運(yùn)算（不等式組）】................................................13

【考點7分式的混合運(yùn)算（作差法比較大?。?.................................................17

【考點8分式的化簡求值（裂項相消）】........................................................22

【考點9分式的化簡求值綜合運(yùn)算（通分代入）】................................................26

【考點10分式的化簡求值（倒數(shù)法）】..........................................................29

【考點11解分式方程的運(yùn)用（培根問題）】......................................................35

【考點12解分式方程的運(yùn)用（無解問題）】......................................................38

【考點13分式的混合運(yùn)算（規(guī)律問題）】........................................................41

【考點14解分式方程與不等式組】..............................................................47

【考點15解分式方程的運(yùn)用（新定義問題）】....................................................50

【考點16分式方程的應(yīng)用】.....................................................................55

2叫洋一支三

【考點1分式有意義的條件】

【例1】（2022?湖南邵陽?八年級期末）下列各式中，無論工為何實數(shù)，分式都有意義的是：（）

]"1It

A尸B.KC.FD."

【答案】B

【分析】根據(jù)分母為零，求x的值，求得解的，都是無意義的，繼而判斷即可.

【詳解】2A+1=0,

1

?r_2

1

故工=2時，分式無意義，A不符合題意；

?產(chǎn)十，恒大于0,

故分式恒意義，B符合題意；

1.'A=0時，分式無意義，

故C不符合題意：

A=1時，分式無意義，

故D不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

jr-2

【變式1-1】（2022?山東臨沂?八生級期末）己知對任意實數(shù)“，式子都有意義，則實數(shù)浴的取值范圍

是（）

m>4m<4m>4m?4

A.B.C.D.

【答案】A

2

【分析】把分母配方為+m-4,根據(jù)對任意實數(shù).式子都有意義，列出不等式由一4>°

即可.

【詳解.】解：=

2

-.（r-zy^o對任意實貯式子丁―都有意義,

Ant-4>0

9

解得血>4

故選:/

【點睛】本題考查了分式有意義的條件、配方法，解題關(guān)鍵是運(yùn)用配方法把分母變形，再根捱題意，列出

不等式求解.

I

【變式1?2】（2022?浙江溫州?七年級期末）當(dāng)”=3時，分式?jīng)]有意義，則的值為（）

-3

A.B.C.D.3

【答案】B

【分析】先將”=3代入分式廣“，再根據(jù)分母等于o時分式?jīng)]有意義即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)X=3,"2b—3+以

V分式575沒有意義，

.3+25=0

??，

??，

故選:B.

【點睛】本題考查分式?jīng)]有意義的條件，熟知當(dāng)分母為零時分式?jīng)]有意義是解題的關(guān)鍵.

2xr

【變式1-3]（2022?安徽合肥?七年級期末）已知分式A。（小，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)

論中錯誤的是（）

大的取值-22Pq

分式的值無意義012

A."2B.c."6D.4的值不存在

【答案】A

【分析】根據(jù)分式有意義的條件“J得〃?，〃的值，進(jìn)血“J知〃，q的值，選出符合要求的選項即川.

【詳解】解：???％為-2時方程無意義，

X—m=0,解得：m--2,故B正確,

~^2

故分式為:

當(dāng)工=2時，分式的值為0,

【答案】A

【分析】把分式2—1中的。用〃用3代換，利用分式的基本性質(zhì)計算即可求解.

3ab1

【詳解】把分式中的0、b都縮小為原來的3,

則分式變?yōu)?/p>

3ab11

所以把分式中的4、》都縮小為原來的③時分式的值也縮小為原來的土

故選:A.

【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于。的整式，分式的值

不變.

10X

【變式2-2］（2022?貴州畢節(jié)?八年級期末）若把分式+中的x和），司時擴(kuò)大為原來的10倍，則分式的值（）

A.擴(kuò)大到原來的10倍B.擴(kuò)大到原來的100倍

1

C.縮小為原來的"D.不變

【答案】D

【分析】把x,y分別換為10工，10.、，，計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】解：將原式中x,y分別跌為10x,10y,

loimIQ?

得I0r+10y-

分式的值不變，

故選：D.

【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)健是把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式

比較，最終得出結(jié)論.

m—

【變式2-3】（2022?山東濱州?八年級期末）關(guān)于分式下列說法正確的是（）

A.分子、分母中的根、〃均擴(kuò)大2倍，分式的值也擴(kuò)大2倍

B.分子、分母的中機(jī)擴(kuò)大2倍，〃不變，分式的值擴(kuò)大2倍

C.分子、分母的中〃擴(kuò)大2倍，的不變，分式的值不變

D.分子、分母中的/〃、〃均擴(kuò)大2倍，分式的值不變

【答案】D

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.

2x2m-t2x6nu

■■一二」■■■?N?■一?

【詳解】解：A、IFF"gf）"f,故分子、分母中的陽、〃均擴(kuò)大2倍，分式的值不變，故該

說法不符合題意；

B衿F一"；,故分子、分母的中機(jī)擴(kuò)大2倍，〃不變，分式的值沒有擴(kuò)大2倍，故該說法不符合題

意；

2H?-2X6R2m—>

故分子、分母的中〃擴(kuò)大2倍，小不變，分式的值發(fā)生變化，故該說法不符合題意;

2x>t-2x6*>2mf毋

D、A-4*故分子、分母中的m、n均擴(kuò)大2倍，分式的值不變，此說法止確，符

合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【考點3分式的值為整數(shù)】

?e

【例3】（2022?山東省日照第二中學(xué)八年級期末）使分式的值為整數(shù)的所有整數(shù)x的和是（）

A.3B.2C.0D.-2

【答案】B

【分析】由整除的性質(zhì)可知，.一；1是4”+1的約數(shù)，分別求得符合題意的式值，再求和即可.

4L1_3

【詳就】解：―一~

3

???GG是整數(shù)，

2x-l=±l或±3

解得X=°或1或2或T,

所以所有整數(shù)X的和為：°+1+2-1=2,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了分式的值，掌握整除的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.本題是基礎(chǔ)知識的考查，比較簡單.

【變式3-1］（2022?上海市民辦新北郊初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）若的值為0,則X的值一定不是

（）

-1—2

A.B.C.0D.1

【答案】A

【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零分母不為零，進(jìn)而得出答案.

【詳解】???的值為0,

-堪x+2］=0x+1HO

??JH.,

解得「=°或"=-2或"1

故"的值一定不是一1.

故選:A.

【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，掌握分式的分母不為零是解題關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?江蘇無錫?七年級期末）若。T表示一個整數(shù)，則整數(shù)〃可取的值共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】根據(jù)3的約數(shù)有±1,±3,分別建立等式計算即可.

【詳解】解：由題意可知：或±3,

。=0或2或-2或4,

故選：c.

【點睛】本題考查了分式的值，整數(shù)的性質(zhì)，整數(shù)的約數(shù)，熟練掌握一個數(shù)的約數(shù)是解題的關(guān)鍵.

-3

【變式3?3】（2022?河南深河?八年級期末）對于非負(fù)整數(shù)-使得,是一個正整數(shù)，則符合條件”的個數(shù)

有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【分析】將"+3看作一個整體，把代數(shù)式中的分子好+3運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形，再根據(jù)正整數(shù)的特

性即可得.

【詳解】解：Q一~"3,

_（x.S）

二7M9

=x+3-6+M

?3+提

la

“為非負(fù)整數(shù)，"是一個正整數(shù),

的所有可能取值為°」型,

即符合條件”的個數(shù)有4個，

故選：B.

【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用等知識點，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)犍.

【考點4分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)】

【例4】（2022?遼寧?丹東市第五中學(xué)八年級期末）若分式1r的值為正數(shù)，則x的取值范圍是（）

A.x>-2B.x<lC.x>-2且.BlD.x>l

【答案】C

【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0和兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除即可

得出答案.

【詳解】解：原式=E,

當(dāng)戶1時，（x-l）2>0,

當(dāng)戶2>0時，分式的值為正數(shù)，

.02且,v#l.

故選：C.

【點睛】本題考查了分式的值，掌握兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?新疆?克拉瑪依市白堿灘區(qū)教育局八年級期末）分式I-4」的值為負(fù)數(shù)，則實數(shù)N的取值范

圍是______

【答案】儲；x>s075

【分析】根據(jù)題意易得3Tx<0,然后問題可求解.

【詳解】解：由分式五的值為負(fù)數(shù)，可知：3TM0

故答案為

【點睛】本題主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式的值及一元一次不等式的解法是

解超的關(guān)鍵.

.

【變式4-2］（2022?上海?七年級期末）若分式的值總是正數(shù)，則°的取值范圍是（）

0<a

A.°>°ca<0"

c.?D.或

【答案】D

【分析】分兩種情況分析:當(dāng)0>°時2。T>°；或當(dāng)0<%儼一1<°,再分別解不等式可得.

【詳解】若分式的值總是正數(shù)：

當(dāng)°>°時，2a-l>0,解得°〉*

當(dāng)時，2aT<Q解得此時a的取值范圍是"9

所以Q的取值范圍是aU或2

故選:D.

【點睛】考核知識點：分式值的正負(fù).理解分式取值的條件是解的關(guān)鍵點：分式分子和分母的值同號，分式

的值為正數(shù).

【變式4-3]（2022?廣東?金道中學(xué)八年級期末）如果后的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是.

【答案】，〉6

【分析】根據(jù)分式的值為負(fù)數(shù)，分子的最小值為1,得出分母小于。列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解

集即可得到x的范圍.

【詳解】???I產(chǎn)十一，

.6-x<0

??，

解得”>6

故答案為”>6

【點睛】本題考查分式的值.分式的值要為負(fù)，那么分母和分子必須異號，在本題中分子已經(jīng)為正，那么分

母只能為負(fù).

【考點5分式的化簡求值綜合運(yùn)算（非負(fù)性與二元一次方程組）】

【例5】（2022?廣西?柳州二十五中八年級期末）已知燈一-與愕-3|互為相反數(shù)，求

㈢,

E的值.

【答案】2

X2-lOx+25|v-31

【分析】先化簡分式，再由，〃入十,口與卜?互為相反數(shù)得x、,，的值，代入即可求解:

【詳解】解:原式工干

■.-“-3+25與b-3|互為相反數(shù)，

.r-10x4-25+|y-3|=0

??，

.(x-S)2+|y-3|=0

??，

x=5,y=3

??，

3_I

原式=$3

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值、相反數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-1】(2022?山東?東平縣實驗中學(xué)八年級階段練習(xí))已知實數(shù)小y)WIX-3|+y2-4y+4=0

1+”

求代數(shù)式'''Y.F'E3的值.

【答案】=

【分析】根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、A代入計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，則

.|x-3|4-y2-4y+4=0

?，

.IrTI+Cy-Z”。

?,

x-3=0y-2=0

x=3y=2

'9

I2-/1+.

rj7

計y_*2_5

.V=~=i

??，*

【點睛】本題考查了分式的乘除運(yùn)算，以及求代數(shù)式的值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則,

正確的進(jìn)行化簡.

【變式5-2】(2022?四川?九年級專題練習(xí))已知實數(shù)x、y滿足、+廠一旬'+4=°,求代數(shù)式

人>】>十，”,

“一與廿bKr的值.

&

【答案尸

【分析】根據(jù)分式的乘除法法則把原式化簡，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出X、y,代入計算即可.

1t，I，十「，

［詳解］解：歹,3.不了

_(x+y)(x-y)1xy(x-y)

(x-y)2x-

>

9

彳x—3+y2-4y+4=0

-9

.“-3+(y-2):=0

??9

."3y=2

??9，

_*2_5

.??原式一1一

【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混介運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

1?卡r.*j”2_

【變式5-3］（2022?江西贛州?八年級期末）先化簡，再求值：I丁"其中實數(shù)％、），滿足

y=Vx-2-Vi-x-1

i

【答案】化簡的結(jié)果為x+5；值為-i

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件分別求出小戶根據(jù)分式混合運(yùn)算法則把原式化簡，把X、代入計算

即可

【詳解】解：要使k1有意義，必死一2NO,即XN2

同理：2一”之°,即"2

二.42

y=-l

原式力X

x-y12

=_____x___________

x+yx-yx+y

12

1

2^1

=-1

【點睛】本題考查分式的化簡求值、一次根式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

【考點6分式的化簡求值綜合運(yùn)算（不等式組）】

仔-三卜孑I-x-243,

【例6】（2022?山東荷澤?八年級期末）先化簡35E尸7,然后再從不等組?2x<12的解集中

取工的最小值代入求值.

【答案】'+5,0

【分析】先根據(jù)分式的混介計算法則化簡，然后解不等式組求出X的值，最后代值計算即可.

【詳解】解:

fxxMx^-25

2x也+5於一%

口IIII

x-52x

=x+5

f-y-2^30

t2x<12（5）

解不等式①得「NT,

YV6

解不等式②得：，

---不等式組的解集為一5￡X

的最小值為-5,

當(dāng)"=一5時，原式=-5+5=0

【點睛】本題主要考查了分式的億簡求值,解一元一次不等式組，熟知相關(guān)計算方法是解題的關(guān)鍵.

先化簡再求值：工：?廣（0+3+m,其中且〃

【變式6-1]（2022?四川送州?八年級期末）

是整數(shù).

0—3

【答案當(dāng)。=4時，原式/

【分析】先計算括號內(nèi)的式子，然后計算出括號外的除法，再從1VaV5選取?個使得原分式有意義的整

數(shù)的值代入化簡后的式子計算即可.

【詳解】原式=<°-才

a-3

d-a

口

皿”2）（。-3）可且。.是整數(shù),

?？梢匀?,

當(dāng)…時，

_4-3一1

原式一47一

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序.

【變式6-2】(2022?全國?八年級課時練習(xí))先化簡，再求值：E*-k,其中％是不等式2'-

的正整數(shù)解.

__M+2__i

【答案】原式當(dāng)'=3時，原式3

【分析】先算括號內(nèi)的減法，把除法變成乘法，計算乘法，然后求出不等式的正整數(shù)解，結(jié)合分式有意義

的條件確定x的值，再代入求出答案即可.

【詳解】解：原式一~?八—I

x-1G+2)(x-2)

-(x-

__x+2

,.2x-l<6

?，

??，

???,，為正整數(shù)，

.,."-I或2或3,

根據(jù)分式有意義的條件，x,%-2,

?.?x=3，

_M__S

當(dāng)”=3時，原式一2.

【點睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解、分式化簡求值等知識點，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行

化簡是解此題的關(guān)鍵.

4=（x-3）+—（/-幺+9）

【變式6-3］（2022?河南?輝縣市工行中學(xué)八年級期末）已知

⑴化簡A.

⑵若x滿足不等式組‘2X-3SX,且x為整數(shù)，求A的值.

【答案】⑴三

■1

（2）：

【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計算即可；

（2）先求出不等式組的解，再根據(jù)分式有意義的條件確定合適的整數(shù)解，最后代入計算即可.

A:卜一3）子加也丁

【詳解】（1）

■淮0+2淤-2J

。+2地一事

x-2.

:----—1

1-3

xT

fx-1^0①

(2)區(qū)-3sx②,

由①得XN1,

由②得X

<1<x<3

??9

.??整數(shù)X可以為：X=L"=2,X

???零做分母無意義，

,x-2*0x+2*0x-3*0

x工2XH-2XH3

即所求的值為：

【點睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，分式有意義的條件，求解不等式組的整數(shù)解的知識，掌握分式的混

合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確求出，一,，是解答本題的關(guān)鍵.

【考點7分式的混合運(yùn)算（作差法比較大?。?/p>

【例7】（2022?江蘇?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校二模）根據(jù)不等式的性質(zhì)：看3,則心？若

則式上利用上述方法證明：若nV。，則”?

【答案】見解析

【分析】先求出"I*1),根據(jù)^。，得出nT<°,從而得出即"D,從而證

明結(jié)論.

■-1_??-2

【詳解】證明：""7

(n-i)2-n(n-2)

-n(n—1)

1

~~n(n-1)

..n<0

,n-l<C

??，

,n(n-1)>0

??，

【點睛】本題主要考查了分式加減運(yùn)算的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運(yùn)算法則.

【變式7-1](2022?浙江杭州?模擬預(yù)測)已知〃?=42兒〃=3/-(”0,〃M).

(1)當(dāng)。=3,6=-2時，分別求〃?，〃的值.

mA

(2)比較〃與2/的大小.

1_2

(3)當(dāng)機(jī)=12,〃=18時，求[-初的值.

2

【答案】(1)〃?、〃的值分別為-18,39；(2)〃+?>2/；(3)

【分析】(1)將〃、〃的代入〃?、〃中，即可得到小、〃的值；

(2)兩式作差，然后和。比較大小，即可判斷〃+?與2/的大小:

(3)先對所求式子變形，再根據(jù)，〃、〃的值即可解答本題.

【詳解】解：(l);m=a2b,n=3a2-2ab,a=3,b=-2,

二.m=32x(-2)=-18,n=3x32-2x3x(-2)=39,

即m、n的值分別為：-18,39；

(2)*.*m=a2b,n=3a2-2ab(a=0,a*b),

Mb”

=3a2-2ab+-^--2a2

=3a2-2ab+b2-2a2

=a2-2ab+b2

=(a-b)2>0?

即n+7>2a2；

12_

⑶，耳

3&-2i

tab

*-23

一一,

m=a12b,n=3a2-2ab.m=12,n=18,

18_1

...原式="12-

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

【變式7-2】（2022?安徽合肥?二模）觀察下列不等式：①三（3；②丞③?

根據(jù)上述規(guī)律，解決卜列問題:

（1）完成第5個不等式：：

（2）寫出你猜想的第”個不等式：（用含舞的不等式表示）:

H21

（3）利用上面的猜想，比較和門的大小.

1

【答案】（1）還<取‘；⑵'"口"…+1.（.

【分析】（1）根據(jù)給出的不等式寫出第5個不等式；

⑵根據(jù)不等式的變化情況找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答：

⑶根據(jù)⑵中的規(guī)律計算，即可比較大小.

1

【洋解】⑴①*

*<A

則第5個不等式為：*

故答案為:

⑵第n個不等式為：i…嗎

故答案為：1"劫”"專

n+2<1

（3所；，

其理由是：

由（2）得：百,而，即百〈；一初

.七+京（：

??，

??，

【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，不等式的性質(zhì)，分式的化簡計算，根據(jù)給出的不等式正確找出變化

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3】（2022?江西景德鎮(zhèn)?八年級期末）閱讀理解：已矢產(chǎn)以”好一1=2盯-2匚試比較〃

與夕的大小.

想法：求p—q當(dāng)p-q>°則p>&當(dāng)p-q<°則"為當(dāng)則0』.

..p-q=（r-尸）一（2孫-2y2）=必-Zxy+^na-y）2>。p>q

nrr??????

用你學(xué)到的方法解決下列問題：

x手O.m=n=,

⑴己知且IT試比較血與〃的大小.

（2）甲、乙兩地相距加），小明和小宇同路往返于甲乙兩地.小明去時和返回時的速度分別是以"僅）、

b(km/h),a^b小宇去時和返回時的速度都是虧00n,加請問二者一個來回中，誰用時更短？

【答案】⑴血<"

(2)乙用時更短

【分析】Q)用作差法比較兩個式子的大小，先計算加小得到叱〃小于0,即可判斷〃?，〃的大?。?/p>

⑵根據(jù)題意，根據(jù)時間=路程+速度，分別表示出小明和小宇往返一次所用的時間，再用作差法比較大小即

可；

(1)

**-212

m-兀=——--------

?一

-1<x<l口xwG

,l+x>0l-x>0-2x2<o

??，，

—<0

??，

m-n<0

m<n

?■??

(2)

“=一+[=——t=25+—=—

甲的用時為?\6,乙的用時為2-

..(***)?M

..1,a>aa(A*?

-9

?/6>0,b>0

.??時」

>0,

h>t2

答：乙用時更短.

【點睛】本題考查了比較兩個數(shù)或式子的大小，也比較的分式的混合運(yùn)算，化簡，掌握作差法比較大小是

解題的關(guān)鍵.

【考點8分式的化簡求值（裂項相消）】

【例8】（2022?安徽宣城?七年級期末）我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個

不同的分?jǐn)?shù)的差,請用觀察到的規(guī)律解方程

訴'iZ）i3Ag0）=雙該方程的解是

【答案】

【分析】根據(jù)規(guī)律化簡方程，然后解分式方程即可.

【詳解】解：原方程化簡為:

方程兩邊同乘""+1°）,

得：S'，。，

解得"=4.

經(jīng)檢驗4是原方程的解，

故答案為“4

【點睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)律化簡分式方程.

-I=-—■!=一.

1x222x3233x43

【變式8-1］（2022?廣西南寧?八年級期末）觀察下面的變形規(guī)律:4

1_I_1]+[+]

V5-4S回處問題.若(r+2)x(x+3)(x+3|>ir+4)幽H嗎則X的值為（）

A.100B.98C.1D.

【答案】B

L

【分析】根據(jù)題目中給出的等式可以找到規(guī)律，找出規(guī)律，即第n個等式為本題得以解決.

—；—+—；—+—；_i.____；___________

【詳解】

111111.1I1

xTT^xTT^TTT_7+7+777-777**,+r+99-x+ioo=r*100

11_1

x+l-x+100=x+10C

1_2

x+1=x+100

x=98

經(jīng)檢驗，x=98是原方程的解，

故答案選B.

【點睛】本題考查了規(guī)律開題一一數(shù)字的變化類，解分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)

字的變化特點，寫出相應(yīng)的等式.

【變式8-2]（2022?安徽合肥?七年級期末）觀察下列各式：

工=13

①.2；

-1-=1_1一.

②皿23,

111

③布二「；

④皿4§…

“、上+工+…4」=

26122090

(1)請用以上規(guī)律計算：__________(

—5—.—1—.—!—.?,?+1=]

,gMO“E+202)m-?21即

(2)若(E7)?-3)(w3

9

【答案】(1)叫(2)2019.

【分析】（1）將正+…+次化解為題目中的規(guī)律的形式，根據(jù)規(guī)律計算即可;

（2）根據(jù)題意規(guī)律計算即可求機(jī)得值.

L+L+-+-?+…+上

【詳解】解：（1）261220%,

二二工+匕+―

1x22x33M4?S9xlC

=1T

9

故答案為:正;

（2）由規(guī)律可得

111111111

I—―I+I—??+???+II*―?，二I

rrt+1m+2m+2m13m+3m+4m+2020m+2021m+2021

口?1RH-2021E70C1

解得：m=2019

檢驗：當(dāng)血=2019時，加+飆/2021a工

m=2°19是原分式方程的解.

.內(nèi)的值為2019.

【點睛】解決此類問題，從特殊中找出一般情況，利用類比的思想進(jìn)一步解決問題.

【變式8-3］（2022?江蘇常州?八年級期末）（1）讀讀做做：教材中有這樣的問題，觀察下面的式子，探索

它們的規(guī)律,lx-=l-2,：k3=：L3"=''......用正整數(shù)n表示這個規(guī)律是

（2）問題解決：一容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出“水，第二次倒出的水量是7水

的1第三次倒出的水量是）水的;第四次倒出的水量是“L水的5第n次倒出的水量是“L水的”

按照這種倒水方式，這1L水能否倒完？

（3）拓展探究：①解方程：叫道+3+百金？

[1]1

②化簡:"??????

事

1=—1一1471+

【答案】（I）""""（2）按這種倒水方式，這1L水倒不完，見解析；（3）①X』；②"h'"”

【分析】（1）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；

（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式，利用得出的規(guī)律化簡即可：

（3）①方程變形后，利川得出的規(guī)律化簡，計算即可求出解：

②原式利用得出的規(guī)律變形，計算即可求出值.

111

mnn+1

【詳解】（1）根據(jù)題意得:=-：

11111111n

小、，加石山MrL乂以42.2x1JX4niHl).22334nn*l_n*ln+1

(2)|]ijn「人倒出Ihl水,￡、里.為+++...+=1-+-+-+...+-=1--

"'vi,

「?按這種倒水方式，這1L水倒不完:

1111111111111

(3)①方程整理得：廣(I-3)+2(3-S)+2(?7)+2(7-9)

,49、.xK4?1

(1-))?=

gxx>i

解得：X』,

經(jīng)檢驗,X’是原方程的解,

二原方程的解為x￥

^1X2X3+2X3X＜+1X4X1

--x±+.??+j」

|?322x431x54口葉＞n*l

555

（6國）+（有育）+向屈）+矛—巧

111

二『＞.：n+h什]

if

4(-?Sn+2]

【點睛】本題考杳規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解分式方程，分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給式

子找出規(guī)律，并利用規(guī)律解答.

【考點9分式的化簡求值綜合運(yùn)算（通分代入）】

X12計toy-2，

[ft9]（2022?山東濱州?八年級期末）己知“'=3,求分式l21y『的值.

【答案】5

【分析】由已知可知x-y=-3盯，然后代入所求的式子，進(jìn)行約分就可求出結(jié)果.

【詳解】解：J7

y-x=3xy

y=-3xy

2(r~yHliy

2(T?y計句

=一詞一21y

T?5

=與

【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，轉(zhuǎn)化所求問題后將已知條件整體代入，正確的化簡和已知條件轉(zhuǎn)

化是解答此題的關(guān)鍵.

±.I_24a-SaH21

【變式9-1】(2022?湖南邵陽?八年級期末)已知"°-，那么分式的值是.

【答案】T

【分析】先將已知條件化簡為"2a=4砒，然后將分式化簡，整體代入求解即可.

n

【詳解】解：產(chǎn)'，

“a_)

，百叱

B/+2a=4

4aTab+2力

oh—2fl-b

2(2a+b)-5a力

ab-(2a+b)

.2x4ab-Sab

ab—

3ab

二』

=—1

故答案為:-1

【點睛】題目主要考查分式的化簡求值及求代數(shù)式的值，熟練掌握分式的化簡方法是解題關(guān)鍵.

【變式9-2］（2022?河北?北師大石家莊長安實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知”，那么分式"-X7的值

為一

【答案】5##0.2

【詳解】解：將"沁兩邊同時乘以通

JT+1=3I

將/+1=3"兩邊同時平方得產(chǎn)2小+1呼

將八2A1=9/兩邊同時減去狂得：d-紜+1=5三

所以

故答案為：6

【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，完全平方公式，代數(shù)式求值問題，解題的關(guān)鍵是用到了整體代入的

思想.

B1B

【變式9-3］（2022?湖南?武岡市第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）若而"的值為果則研而”的值為（）

一1—1一1-1

2277

A.-B.C.D..

【答案】D

【分析】根據(jù)條件先求出2k+3）的值，然后整體代入求解即可.

【詳解】由題意可得，2y則2r^廠4

1111

4rl+2S9一曲夕如|~^-2-9-：

??，

故選：D.

【點睛】本題考查分式求值問題，靈活根據(jù)條件變形，并熟練運(yùn)用整體思想是解題關(guān)鍵.

【考點1()分式的化簡求值(倒數(shù)法)】

[?10](2022?山東?濟(jì)寧市第十五中學(xué)八年級階段練習(xí))閱讀下面的解題過程：已知:

值.

三7=：—=3計±=3

解：E媼2所以*，即

匚^=必+±=(1+,-2=32-2=7

故R的值為乙

該題的解法叫做“倒數(shù)法"，請你利用"倒數(shù)法"解決卜.面的題目:

,?__1?2

已知：求？7=7后的值.

1

【答案】82

■

［分析］由彳=4afl+-=9??

同時取倒數(shù)，可得-,方程左側(cè)分子、分母同時除以，可得.川

二

QM+3+(a+1)+1a+；=9

取倒數(shù)后分子、分母同時除以可得力化為完全平方公式的形式得'“，將0的值代入

即可求解.

【詳解】解：由知窗可

?,即0

.*'?”[?I8：

【點睛】本題考查了倒數(shù)、分式化簡求值、完全平方公式的運(yùn)用，理解已知例題解法的步驟是解本題關(guān)鍵.

【變式10-1]（2022?江蘇徐州?八年級階段練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)問題時，我們常常借助“轉(zhuǎn)化〃的思想化繁為簡,

化難為易?如在某些分式問題中，根據(jù)分式的結(jié)構(gòu)特征，通過取倒數(shù)的方法可將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,

使問題迎刃而解.

-A-=-a2+4

例：己知n\求丁的值.

⑴請繼續(xù)完成上面的問題；

—f__=4

（2）請仿照上述思想方法解決問題：己知「-AH,求的值

【答案】⑴7

a+-=3

【分析】（1）給兩邊平方,利用完全平方公式求解即可;

（2）仿照例題,，進(jìn)而求得“，即可求解.

(a+1)2=9砂+2+2=9

,即**

?i

H

--一--?--?-I=Vq+A--I--1<----4-9--1.=―契

#/16,

,

.產(chǎn)

【點睛】本題考查分式的化簡求值、完全平方公式，解答的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和類比思想化繁為簡,

化難為易.

【變式10-2】（2022?湖北鄂州?八年級期末）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式

子，解答問題.

材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式,

從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計算目的.

例：若H-［求代數(shù)式f+二的值.

x_1

解："=4

?+1111

即'x+”=%二.f+=（x+x）2-2=16-2=14

材料二：在解決某些連等式問題時，通常可以引入?yún)?shù)”〃，將連等式變成幾個值為左的等式，這樣就可以

通過適當(dāng)變形解決問題.

例：若2A=3y=4z,且xyz^O,求'七的值.

解：令2A=3y=4z=A（七0）

kk*17，

則工=5yH.k行產(chǎn)

根據(jù)材料回答問題:

⑴己知\求田"的值.

0=，