線性代數(shù)（第2版）課件 5.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形_第1頁(yè)
線性代數(shù)（第2版）課件 5.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形_第2頁(yè)
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線性代數(shù)（第二版）1第五章二次型2二次型及其矩陣二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形正定二次型第二節(jié)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義稱為標(biāo)準(zhǔn)形.定理1任何一個(gè)二次型均可經(jīng)過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.4說(shuō)明5二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（一）正交線性變換法

由定理4.3.3可知，對(duì)任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在正交矩陣P，使得6用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟:7例1解891011（二）、配方法

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先將含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)可逆線性變換，得到標(biāo)準(zhǔn)形;配方法的步驟

2.若二次型中不含平方項(xiàng)，但則先作可逆線性變換

化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.12例2解含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng)1314例3解由于二次型不含平方項(xiàng)，因此需要先構(gòu)造出平方項(xiàng)．15二次型化為161718（三）初等變換法（合同變換法）對(duì)比上面2式知，19例4解二次型的矩陣為20212223三、二次型的規(guī)范形若二次型(秩為r)經(jīng)可逆線性變換化為24則標(biāo)準(zhǔn)形可進(jìn)一步化為稱這樣的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型

的規(guī)范形.定理設(shè)二次型的秩為r，若有兩個(gè)可逆線性變換分別使f化為規(guī)范形與說(shuō)明此定理稱為慣性定理．在二次型f的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為f的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱為f的負(fù)慣性指數(shù)。25例5解

由例5.2.3知，用配方法可得到f的標(biāo)準(zhǔn)形為26任一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)形如定理的對(duì)角矩陣.272.將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：(1)

正交線性變換法（特征值為標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)系數(shù)）；(2)

配方法（注意兩種情形的處理技巧）；(3)

合同變

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