專題7.1二次根式十六大必考點(diǎn)

【浙教版】

【考點(diǎn)1二次根式的概念】......................................................................

【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】................................................................3

【考點(diǎn)3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】..............................................................5

【考點(diǎn)4同類二次根式的概念】..................................................................7

【考點(diǎn)5最簡(jiǎn)二次根式】........................................................................9

【考點(diǎn)6比較二次根式的大小】................................................................11

【考點(diǎn)7求二次根式中的參數(shù)值】..............................................................14

【考點(diǎn)8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】............................................................16

【考點(diǎn)9二次根式中的規(guī)律探究】..............................................................19

【考點(diǎn)10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】................................................................24

【考點(diǎn)11二次根式的混合運(yùn)算】.................................................................30

【考點(diǎn)12二次根式的化簡(jiǎn)求值】................................................................34

【考點(diǎn)13二次根式的應(yīng)用】.....................................................................36

【考點(diǎn)14二次根式中的新定義叵題】............................................................41

【考點(diǎn)15利用分母有理化求值】................................................................46

【考點(diǎn)16二次根式中的閱讀理解類問(wèn)題】........................................................54

2叫洋一支三

【考點(diǎn)1二次根式的概念】

【例I】（2022?北京?人大附中八年級(jí)期末）下列式子中，是二次根式的是（

A鼻B.hCTD.'

【答案】A

【分析】一般地，我們把形如《（a式））的式子叫做二次根式，據(jù)此可得結(jié)論.

【詳解】解：A、迎是二次根式，符合題意；

B、起是三次根式，不合題意；

C、當(dāng)xVO時(shí)，無(wú)意義，不合題意；

D、x屬于整式，不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的定義，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的定義理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【變式1-1］（2022?河北滄州?八年級(jí)期中）下列式子一定是二次根式的是（）

A.標(biāo)B.-遍C.指D..

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的定義，直接判斷得結(jié)論.

【詳解】解：A、工的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，是二次根式，故A正確；

B、°<°時(shí)，一"不是二次根式，故B錯(cuò)誤；

c、灰是三次根式，故C錯(cuò)誤；

D、°<°時(shí)，”不是二次根式,故D錯(cuò)誤;

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，形如?（°3°）是二次根式，注意二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【變式1-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若a=5,則下列各式是二次根式的是（）

A叼B(yǎng)ecD（爭(zhēng)'

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】A、當(dāng)a=5時(shí)，3-a<0,該式子不是二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、當(dāng)a=5時(shí)，5-a=0,符合二次根式的定義，故本選項(xiàng)正確：

C、該代數(shù)式不是二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、該代數(shù)式不是二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的定義：一般地，我們把形如“（a20）的式子叫做二次根式.

【變式1-3］（2022?內(nèi)蒙古?北京師范大學(xué)烏海附屬學(xué)校八年級(jí)期中）。是任意實(shí)數(shù)，下列各式中：①VE

②“-2a）1③""3；④標(biāo)+6a+9；⑤S一定是二次根式的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的定義逐人判斷即可.

【詳解】?.?二次根式8必須滿足“N°

只有②③④可以確定被開(kāi)方數(shù)非負(fù)

一定是二次根式的個(gè)數(shù)是3個(gè)

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】

【例2】（2022?山東?日照山海天旅游度假區(qū)青島路中學(xué)七年級(jí)期中）若出人為實(shí)數(shù)，且

則a+b的值為（）

A.±1B.4C.3或5D.5

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意，列出不等式組，即可解得Q=L"=4,即可得解.

【詳解】根據(jù)題意，得

a2-J>0

；1-砂N0

k0

解得"士1

.0=4

J+b=5或3

故答案為c.

【點(diǎn)睛】此題主要考杳二次根式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用，即可解題.

【變式2-1］（2022?廣東惠州?八年級(jí)期末）若式子行”在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>-6B.d-6C.x>-6D.x<-6

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.

【詳解】解：由題意得，x+620,

解得，46,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考杳的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2022?新疆?烏魯木齊市第三中學(xué)八年級(jí)期末）下列二次根式一定有意義的是（）

A.&B.口C.遍D尸

【答案】A

【分析】二次根式有意義的條件是二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

【詳解】解：A6是二次根式，被開(kāi)方數(shù)大于Q有意義，故本選項(xiàng)符合題意；

B.v\被開(kāi)方數(shù)小于，無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.4,°如果小于0時(shí)無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.尸5,一。如果小于。時(shí)無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意.

故迄A

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵.

【變式2-3]（2022?上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）若I＞第一"+“-2006=X,則

x-19992=

【答案嚴(yán)°C

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出大的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：?,,"-2006有意義,

:.x-2006N0

9

'原等式變形為lI"。+-2006=1

解得1加=一。。6

.'.X-19992=2006

2006

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式1T意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】

-aft+b*

【例3】（2022?安徽?安慶九一六學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若〃VO,〃>0,則化簡(jiǎn)的結(jié)果為

（）

A.a-2bB.2a-bC.2b-aD.b-2a

【答案】C

二[鼠一肅"-b<°

【分析】先將原式化簡(jiǎn)為再由aVO,。>0判斷出“，即可求解；

,/a<0,b>0,

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，二次根式的定義，掌握相關(guān)知識(shí)并正確求解是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1]（2022?河北?滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列二次根式（字母表示正數(shù)）

（1）；

（2產(chǎn)63+32東

【答案】⑴4小市

（2）4a、，a+2

【分析】（1）根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可:

（2）先將根式中的式子提公因式（4°匕再化簡(jiǎn)即可；

(1)

解.：原式=2朝菽=

4ab而

(2)

解：原式=、

4a、a+2

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2022?云南?會(huì)澤縣以禮中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)小b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化

簡(jiǎn)而十幟+J(a--J(a-if

、AlA,1

h-10aI

【答案】3a-2b-l

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知b<-l<Q<a<l,推出a-b>0,a-l<0,根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出〃+(-/?)+?

-b-(1?〃)，求出即可.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：b<-l<0<a<l,

貝1」“-方>0,a-1<0,

則原式=4+(-方)+。-方-(1-1)

=a-b+a-b-1+?

=3a-2b-l.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和數(shù)軸，注意：當(dāng)。20時(shí)，=a,當(dāng)aWO時(shí)，、信=二.

【變式3-3】(2022?安徽?蕪湖市第二十九中學(xué)八年級(jí)期中)化簡(jiǎn)：Q(L3)-一"2T).

【答案】1

【分析】運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再合并即可.

【詳解】由題意可知2T*°,

.x<2

??9

-,-x-3<09

店#■=3-x-2+x

原式

=1

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì).

【考點(diǎn)4同類二次根式的概念】

【例4】（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）下列二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是（）

A,晶爐B.8與小

V50VS門(mén)vra+bv,a:4b2

Cr.與HD.與H

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)同類二次根式的定義分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、=,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B,V，,與內(nèi)是同類二次根式，所以B選項(xiàng)正確；

c750=5^所以c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

1與“十b不是同類二次根式，所以口選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式：把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后若被開(kāi)方數(shù)相同，那么這樣的二次

根式叫同類二次根式.

【變式4-1】（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）下面二次根式：①、'“；②、'21③⑺；④位.化簡(jiǎn)后與°可

以合并的是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

【詳解】①哽4、Q②"=24,③伍④6丁，化簡(jiǎn)后與W被開(kāi)方數(shù)相同的是：①③.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022?甘肅?民勤縣第六中學(xué)八年級(jí)期中）若最簡(jiǎn)二次根式'X+'-和小」―3>'+11能

合并，則

【答案】5

【分析】先根據(jù)二次根式和同類二次根式的定義得到關(guān)于小y的二元?次方程組，解方程組求出x、y的值,

然后代值計(jì)算即可.

Jr-10?-—―=_________

【詳解】解：?.?最簡(jiǎn)二次根式””y和田百巾能合并，

最簡(jiǎn)二次根式-§和J--3y+11是同類二次根式,

f3x70=2

.（Zx+y-5=x-3y+ll

??，

（x=4

?,?ly=3，

+解=*37+平=橐?=S

??*2，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，解二元一次方

f3x-10=2

程組，正確得至j」+》'_5=是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2022?安徽?安慶九一六學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果最簡(jiǎn)二次根式―5與“3-2a是同類二

次根式.

(1)求出4的值;

Vx--4x+4+vx--12x+36

(2)若a<x<2a,化簡(jiǎn):

【答案】(1)3

(2)4

【分析】(1)根據(jù)同類二次根式的被開(kāi)方數(shù)相等可列出方程，解出即可；

(2)根據(jù)⑴可得34壯6,再根據(jù)完全平方公式及去絕對(duì)值符號(hào)法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果.

(1)

解：???最簡(jiǎn)二次根式一一S與“3-2a是同類二次根式,

4a-5=13?2a,

解得。=3：

(2)

解：a<x<2a,。=3,

3a46,

=|x-2|+|x-6|

=x-2+6-1

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查門(mén)司類二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，去絕對(duì)值符合號(hào)法則，熟練掌握和

運(yùn)用各定義和法則是解決本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5最簡(jiǎn)二次根式】

【例5】(2022春?山東淄博?九年級(jí)校考期中)下列各式①②、位3；@V，3C;④“f;⑤后E；

其中一定是最簡(jiǎn)二次根式的有().

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式滿足的兩個(gè)條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】①而=2月②Q-扣一^這兩個(gè)不是最簡(jiǎn)二次根式，

③邛④次廿、⑤、出”這三個(gè)均為最簡(jiǎn)二次根式；

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查最簡(jiǎn)二次根式，熟記最簡(jiǎn)二次根式滿足的條件即可正確解題.

【變式5-1】卜列各根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

2:

AV56RJrrVm+nn

【答案】c

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式定義逐個(gè)判斷即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

回=2可，故A選項(xiàng)不符合題意；

己=也

"E,故B選項(xiàng)不符合題意；

而打才是最簡(jiǎn)二次根式，故C選項(xiàng)符合題意；

故D選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式定義，不含開(kāi)得盡力的數(shù)，根號(hào)下不含分母或分母中不帶根號(hào).

【變式5-2］（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若＞+5與，3b+°是被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式,

求向的值.

【答案】20

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義列出4,8的方程求出，再代入疝計(jì)算求值

【詳解】解：:*■'加與+°是被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式

.t0一1二2

“ha+5=3b+a

m=3

解得,

v2a+5=11>0

小意

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)的盡的因

數(shù)或因式，滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.本題求出a,b后還需檢驗(yàn)，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)

必須為非負(fù)數(shù).

【變式5-3］（2022春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中）我們把形如（a,〃為有理數(shù)，”為最簡(jiǎn)二次根式）

的數(shù)叫做“型無(wú)理數(shù)，如3-1是6型無(wú)理數(shù)，貝產(chǎn)+45r是（）

A.6型無(wú)理數(shù)B.6型無(wú)理數(shù)C.E型無(wú)理數(shù)⑸型無(wú)理數(shù)

【答案】B

【分析】先利用完全平方公式計(jì)算，再化簡(jiǎn)得到原式=12+44,然后利用新定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

［詳解］解：E更+機(jī)產(chǎn)=2+2或x癡“0=12+4次,

所以（五+G'是4型無(wú)理數(shù)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或

因式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.也考查了無(wú)理數(shù).

【考點(diǎn)6比較二次根式的大小】

［例6］（2022秋?福建福州?八年級(jí)?？计谀┤簟?2019x2021-2019x2020^=、2022：

c="°23+2q則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cca<c<bb<a<cD

B.V?.b<

【答案】A

【分析】利用平方差公式計(jì)算a,利用完全平方公式和二次根式的化簡(jiǎn)求出b,利用二次根式大小的比較辦

法，比較b、c得結(jié)論.

【詳解】解：3=2019x2021-2019x2020

=(2022-1)(2022+1)-(2022-1)x2020

=2C2O2-1-2O2O2+2O2O

=2C19：

2022MX2021

=(2022+1)2-4x2021

=2C212+2X2021+1-4X2021

=2C212-2X2021+1

=(2022-1)2

=2C202,

b=2020；

..>*^202?

?,

c>b>a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化簡(jiǎn)、二次根式大小的比較等知識(shí)點(diǎn).變形

2019x2021-2019x2020,-4X2021,利用完全平方公式計(jì)算出其值，是解決木題的關(guān)犍.

【變式6-1](2022?福建泉州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)設(shè)2016x2018,

z<20172-4034x2018+2O182.仁2麥小，、

N=，則milM與N的關(guān)系為()

A.M>NB.M<NC.M=ND.M=±N

【答案】C

【分析】將被開(kāi)方數(shù)利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算、化筒可得.

【詳解】解：...MTOD'(2017-1)X(2。17,1)步。1不一2017M匕

N#2017-2(H8)L]

M=N,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和完全平方公式及二次

根式的性質(zhì).

【變式6.2】（2022秋?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）S-G、2+了、2+G的大小關(guān)系是（）

2,。>2+￥>5-05-。>2.?>2+々

A.2B.

2+—>5-V2>2+V25-V2>2+V2>2+-

C.2D.

【答案】D

【分析】根據(jù)作差法，分別比較與2+、22+々與2+彳的大小，即可得到答案.

,、挈能八../-此,2+VI&、，8、肉V8

【詳解】.（）-（）=3-2=3-=->0,

.s-V2>24?*V2

??，

...產(chǎn)_坊產(chǎn)4與優(yōu)_V工*12不V*4v工*l〒,。，

2+V2>2+-

??2，

5-鐘A2+卷>2+=

?*?，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查比較二次根式的大小，掌握作差法比較大小，是解題的關(guān)鍵.

【變式6.3]（2022秋?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）#、所，b=?1+廝J=2、麗1,

則叫瓦。的大小關(guān)系用"V”號(hào)排列為.

【答案】a<b<c

【分析】利用平方法把三個(gè)數(shù)值平方后再比較大小即可.

【詳解】解：Va2=2000+2X1003X"7,b2=2000+2^1001X9",c2=4004=2000+2xl002,

10C3x997=1000000-9=999991,1001x999=1000000-1=999999,10022=1004004.

a<b<c.

故答案為：aVbVc.

【點(diǎn)睛】這里注意比較數(shù)的大小才以用平方法，兩個(gè)正數(shù)，平方大的就大.此題也要求學(xué)生熟練運(yùn)用完全

平方公式和平方差公式.

【考點(diǎn)7求二次根式中的參數(shù)值】

【例7】（2022春?北京?八年級(jí)北京八中?？计谥校┮阎ㄊ钦麛?shù)，‘18-2n是整數(shù)，則滿足條件的所有

〃的值為.

g71

【答案】或或

【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)”的取值范圍，然后令18—2力等于所有可能的平方數(shù)

即可求解.

【詳解】解：由題意得18-‘°

解得打工9

???”是正整數(shù),

,n>l

1<n<9

.2<2n<18

,0<18-2n<16

...、18-2?1是整數(shù),

18-2-?；?8-2>i或18-2-4或18—2八=9或18-2n=16

n=9"一~2n=7"-3n=l

解得或2或幾，或設(shè)1

???〃是正整數(shù),

口=9Ji=7「ri=1

或或

故答案為：'g或'7或'

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解掌握被開(kāi)方數(shù)是平方數(shù)時(shí)算術(shù)平方根才是整數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2022秋?四川資陽(yáng)?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)°的最小值是

A.-4B.-2C.2D,8

【答案】A

【分析】根據(jù)I".4"是一個(gè)正整數(shù),得出4,根據(jù)。為整數(shù)，得出°的最小值為T(mén)最后代入°=一彳

驗(yàn)證"7+4’是一個(gè)正整數(shù)符合題意,得出答案即可.

【詳解】解：?「“7+4睡一個(gè)正整數(shù),

.17+440

??9

a>--

??9

?.,"為整數(shù)，

「?a的最小值為T(mén),

且a=-4時(shí)，==l符合題意，故八正確.

故選：A.

a>--

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意求出:是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2］（2022春?四川涼山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是正偶數(shù)，則實(shí)數(shù)”的最大值為（）

A12c11-8c3

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】如果實(shí)數(shù)〃取最大值,那么12-n有最小值，又知V"一、是正偶數(shù)，而最小的正偶數(shù)是2,則"2一”

=2,從而得出結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng),12-n等于最小的正偶數(shù)2時(shí),

n取最大值，則〃=8,

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解八12一"是正偶數(shù)，，的含義.

【變式7-3】（2022秋?四川達(dá)州?八年級(jí)?？计谥校┘褐欣頂?shù)滿足5-依=25+2遙貝的值

是.

一1

【答案】:

【分析】將已知等式整理得一爵1+01-2必=2"1§,由."為有理數(shù)，得到-抬2=2鈕"?2'=-5,

求出小。的值，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：?.」.代=2b+2用-a,

.+（a-2M=2^/7-3

??，

:a,〃為有理數(shù)，

.?i^3a—21|P,a—2d=—5

??9

a=-2,b=；

解得）

a+b=-2+；=-；

??9

一1

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此求出小人的值是解題的

關(guān)鍵.

【考點(diǎn)8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】

【例8】（2022秋?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┕烙?jì)（亞+⑸*2°的值應(yīng)在（）

A.8到9之間B.9到10之間C.10到11之間D.11到12之間

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案.

-I枝+電、2碘

【詳解】解：21

一取x2級(jí)+式）（而

4+2〃

..4<6<6,25

?,

,2<VS<2.5

,4<2V?<S

,8<4+2?<9

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2022秋?重慶大渡口?九年級(jí)校考期末）估計(jì)（'屈+⑸+、吁的值應(yīng)在（）

A.2至I]3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

【答案】C

【分析】先根據(jù)一次根式的除法進(jìn)行計(jì)算?短+冉力.，然后估算內(nèi)的大小即可求解.

【詳解】解：???g+四f

,3<舊<4

,4<vT?+l<5

故選c

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法，無(wú)理數(shù)的估算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2]（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若以、用米為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸，線段48=17米,

點(diǎn)A在原點(diǎn)，點(diǎn)8在數(shù)軸的正半軸，估計(jì)點(diǎn)8位于兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，這兩個(gè)整數(shù)分別是.

A

-1---1-------------1------1-------1---1-------1---東

-3-2-InI234S67X9M）

【答案】9和10

【分析】先計(jì)算17里面有幾個(gè)4即可求解.

17+H,停

【詳解】鵬3,

.」=再「。=再

9<療V10

??.這兩個(gè)相鄰整數(shù)是9和10.

故答案為：9和10.

【點(diǎn)睛】此題考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確估算出17+的大小是解題的關(guān)鍵.

【變式8-3]（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）觀察下列各式子，并回答下面問(wèn)題.

Jl2-1

第一個(gè)：V11

第二個(gè)：—2

第三個(gè)："J

第四個(gè)：V*

（1）試寫(xiě)出第九個(gè)式子（用含力的表達(dá)式表示），這個(gè)式子一定是二次根式嗎？為什么？

（2）你估計(jì)第16個(gè)式子的值在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間？試說(shuō)明理由.

【答案】⑴該式子一定是二次根式，理由見(jiàn)解析；（2）氏8在15和16之間.理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）依據(jù)規(guī)律可寫(xiě)出第n個(gè)式子，然后判斷被開(kāi)方數(shù)的正負(fù)情況，從而可做出判斷；

（2）將”其代入，得出第16個(gè)式子為058,再判斷即可.

【詳解】解：⑴"2一

該式子一定是二次根式，

因?yàn)椤盀檎麛?shù)，=nS-l）N°,所以該式子一定是二次根式

..V225=15v1256=16

*，，

,15<

???

.??、E在15和16之間.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次根式的定義以及估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小，掌握用“逼近法”估算無(wú)理數(shù)的大小的

方法是解此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)9二次根式中的規(guī)律探究】

=TTZT=^2-1

【例9】（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：第1個(gè)等式：if:第2個(gè)等

,<=V3-V2%=-^=2-6a-ZTT

式：門(mén):第3個(gè)等式：D?；第4個(gè)等式：4

按

照上述規(guī)律，計(jì)算:……+*，=（）

A3亦】B.10-3/nc.9

D.8

【答案】c

flu=4二丁=第1?1-*

【分析】首先根據(jù)題意，得出一般規(guī)律帝*a*,代入數(shù)字相加即可得解.

%=力=々7

【詳解】解：第1個(gè)等式:9

第2個(gè)等式:

第3個(gè)等式:5:磊=2Y

第”等式:7

9

=前?1-于

第〃個(gè)等式:

.0]+Q[++......+Q%

=0-1?然+2-的”+/HH5-栩

v100—1

=10-1

故C正確.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，首先要理解題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得到

答案.

【變式9-1］（2022春?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察卜.列各式：

請(qǐng)你根據(jù)上面二個(gè)等式提供的信息，猜想：

⑵請(qǐng)你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用〃（〃為正整數(shù)）表示的等式:

⑶利用上述規(guī)律計(jì)算：x（仿照上式寫(xiě)出過(guò)程）.

【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可;

（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；

（3）原式先變形為＞^+而+見(jiàn)再根據(jù)得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可.

J1+-Lf-L-i+1-1=12

【詳解】（i）?

⑶小』十4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，數(shù)字的變化類等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知算式得出

規(guī)律.

【變式9-2】（2022秋.遼寧撫順.八年級(jí)?？计谀╅喿x材料：像（遙+、同（、?一⑹=L6x6=1

（0~0）,這種兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.在

進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，利用有理化因式可以化去分母中的根號(hào).解答下列問(wèn)題：

（1/7的有理化因式是；a+2的有理化因式是；

-1■/.=0--"二芍=-V3

⑵觀察下面的變形規(guī)律，請(qǐng)你猜想：,二"-，'"白，…，

vr*H+>,n

⑶利用上面的方法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：Y+&懣++百用麗一

【答案】⑴Q

（2產(chǎn)+1?5

⑶9

【分析】（1）根據(jù)題意及二次根式的乘法即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)題干中的例子，直接猜想求解即可；

（3）根據(jù)（2）中結(jié)論將式子化簡(jiǎn)變形求解即可.

【詳解】⑴解：根據(jù)題意，"x"=7,刖+2跖-2）=7-4=3

的有理化因式是的有理化因式是2

故答案為：G,

-1

⑵…

故答案為：行1-G

=至-i+由-/—笆+…+<10。?^55

=、頓-1

=10-1

故答案為:

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式的混合運(yùn)算及二次根式的化簡(jiǎn)，分母有理化，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是

解題關(guān)鍵.

【變式9-3］（2022秋?北京順義?八年級(jí)統(tǒng)考期末）一些數(shù)按某種規(guī)律排列如下:

第一行1企

第二行V327sV6

第三行2力3vn2H

第四行>13依4V173M2Vs

..

⑴根據(jù)排列的規(guī)律，寫(xiě)出第5行從左數(shù)第4個(gè)數(shù);

⑵寫(xiě)出第'（”是正整數(shù)）行，從左數(shù)第八+1個(gè)數(shù)（用含”的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）26

⑵

【分析】（1）根據(jù)第4行的最后一個(gè)數(shù)為：2/5,即可得到第5行第一個(gè)數(shù)為：歷，從左到右，被開(kāi)方

數(shù)依次加1,即可得解；

（2）根據(jù)規(guī)律可知：第1行最后一個(gè)數(shù)是：=第2行最后一個(gè)數(shù)是：=第3行最

后-個(gè)數(shù)是：#x《=m=2/,第4行最后-個(gè)數(shù)是：#X5=>=2VS

進(jìn)而推出第n一1行最后一個(gè)數(shù)，然后推導(dǎo)出第n（n是正整數(shù)）行，從左數(shù)第八十1個(gè)數(shù)即可.

【詳解】（1）解：由表格可知：第5行第一個(gè)數(shù)為：g

則第5行,從左到右依次是：啊啊也，二啊

.??第5行從左數(shù)第4個(gè)數(shù)：舊=2〃

（2）解：由表格可知：第1行最后一個(gè)數(shù)是：夕二二近，

第2行最后一個(gè)數(shù)是：^^=隹

第3行最后-個(gè)數(shù)是:仃。=他=2*，

第4行最后-個(gè)數(shù)是：而轉(zhuǎn)沖二？明，

??.第”一|行最后一個(gè)數(shù)是：m75=新一',

???第11行的第一個(gè)數(shù)是："i",從左數(shù)第n'1個(gè)數(shù)為："一""1=耕+1.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律探究.觀察出被開(kāi)方數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，并且每?行的最后??個(gè)被開(kāi)方數(shù)是所在

行數(shù)乘以比行數(shù)大1的數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】

V4-2WVV48—^**45

【例10】（2022春?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?八年級(jí)統(tǒng)考期中）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二

次根式.有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：

J4-2G_J3?2G+1_J（V5）2-2xGx1+-l）2^-1

再如15+2n=J3+2VS+2=J（V3）2+2V3x4+（笆＞=J（V3+&產(chǎn)=0.0

請(qǐng)用I:述方法探索并解決下列問(wèn)題：

…“2+2建

⑴化簡(jiǎn)：；

V17-4V15

⑵化簡(jiǎn)：：

⑶若0+60=（m+、&i）；且“〃為正整數(shù)，求。的值.

【答案】⑴舌+力

（2）2^3-、弓

（3）14或46

【分析】（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；

（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解：

（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解.

【詳解】（042+2存=?燈+2+5+的?=4〃#我2=賽+.

2)—J12-二4-2.x2^Jx+1.?=、；1：21/7-=2^fT-5

、..。+6帶=小+5小+再

3),

G=m2+5n26=2mn

，，

mn=3

又?.?叫叫〃為正整數(shù)，

m=Ln=3±m(xù)=3,n=1

「.，或者，

.-.當(dāng)…”3時(shí)。=叱

當(dāng)m=3小=1時(shí),0=14

.、的值為：“或"

【點(diǎn)睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進(jìn)一步利用公式因式分解化簡(jiǎn)，注意在整

數(shù)分解時(shí)參考后面的二次根號(hào)里面的數(shù)值.

【變式10-1]（2022春?北京海淀?八年級(jí)人大附中?？计谥校┰诙胃降挠?jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平

方法〃會(huì)取得很好的效果，例如，比較。=2?和8=3、"的大小，我們可以把。和人分別平方，

廿=18,則/〈/落

請(qǐng)利用“平方法〃解決下面問(wèn)題：

⑴比較c=4、Zd=20大小，c_____d（填寫(xiě)>,V或者=）.

⑵猜想加=2"+何〃=2仃+舊之間的大小，并證明.

（3）化簡(jiǎn)：〈尸"V、-（直接寫(xiě)出答案）.

【答案】⑴c>〃

（2）iti<n,證明過(guò)程見(jiàn)解析

k/n—1

（3）4或4丫產(chǎn)

【分析】（1）根據(jù)題干中“平方法''比較實(shí)數(shù)大小:

(2)根據(jù)題干中“平方法”比較二次根式的大小;

(3)根據(jù)題干中“平方法”找出VPT+l)*=P+2k1再利用二次根

式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式進(jìn)而開(kāi)平方分類討論得出答案.

【詳解】(1)解：?:/=32,/=28,

則(r>d2,

：.c>d；

故答案為：>.

(2)解：猜想：/〃<〃，

日.?—2V5+V3_2Vi+

I止明：.m-,n—,

2,2v弓+?、2x■3c22V3+vTi2v42

..”「=()2=26+4,n—(y=26+4,

..、領(lǐng)V說(shuō)

?<，

ni2<n2,

ni<m

(3)解?.-1-1)：=P-yp-\-1+1)，p+2#-1

卜p-

2Jp-4黃+2)+2w-1

JM-LI歷+”

尸20

/;>1,

分情況討論：

①若加"一%，即lWpS2時(shí)，

原式二2(1'萬(wàn)二AR戶+D,

=4：

②若而—1一1>0,即p>2時(shí)，

原式=2（々-1—1）+2（4一】+1）,

綜合①②得：

當(dāng)K/X2時(shí)，原式=4；

當(dāng)p、2時(shí)，原式=4'/-1；

故答案為：4或4斤1

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的大小匕較，二次根式的大小比較和化簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用題干

中“平方法〃，第（3）題注意分情況討論.

【變式10-2】（2022秋泗川成都?八年級(jí)?？计谥校┫乳喿x下面的解題過(guò)程，然后再解答，形如3n±2、吊的

化簡(jiǎn)，我們只要找到兩個(gè)數(shù)a,b,使"+》=刃必=',即=布?口=F,那么便有:

Jm±2、7=JCyi'a±防2=、0±\b(a>b>0)

J7+4、1-

例如化簡(jiǎn)：

/7+4V347+2VT1

解：首先把化為

^rnm-7n-12

M里，

?工4+3=74x3=12

由于，

所以(OF+(V3):=7,?xV^3=v'12

^7+475=77+2712=(C+后?

所以、

V4+2\'*3

（1）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：

J13-2ym

（2）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：

(3)根據(jù)上述方法化簡(jiǎn):

Lr—1-34

■【答依o案r】(1)v3+1:(2)y￥/7~V?：,(3、)22-T

【分析】根據(jù)題意把題目中的無(wú)理式轉(zhuǎn)化成J-±2c的形式,然后仿照題意化簡(jiǎn)即可.

v4+2

【詳解】解:(1)

.m=4n=3

?,9

3+1=43x1=3

?99

即+S5』V3xVl=V3

-99

T

Ri2S=)*(西+2x"X,"=5/T7l

V13-2VJ2

(2)?/

m=13n=42

??，，

.7+6=137x6=42

班:+幽；3"x的=促

?，，

m=8n=15

?-99

..3+5=83x5=15

網(wǎng)'+眄；0xAvn

*，，

召X呼飛（拈一何省專

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的億簡(jiǎn)，根據(jù)題中的范例把根號(hào)內(nèi)的式子整理成完全平方的形式是解答此題

的關(guān)鍵.

【變式10-3】（2022春?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解

（一球+仃）

27=7+4^3

“分母有理化〃是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法:（2-62-內(nèi),除此之外，我們也可以用平方

V3+5VS-V3-5V5

之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于

x=內(nèi)+5居-J3-5VS

設(shè)

內(nèi)+5通＞內(nèi)-5次

易知

x>0=(V3+5V5-、，3-5、弓)：

故4,，由

=3+V5+3-V5-2j(3+5VS)(3-5V3)

吞—

解得*x=va,即J3+5-5V5=&

、；+16-3G-、，6+36

根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)"J?、’?

【答案】5-3\6

【分析】由常見(jiàn)的分母有理化利用平方差公式化解門(mén)*?,由題提供的方式化解，之后

再整理即可得.

陋

【詳解】解：設(shè)x='*--*.,'6+3,易知.

x<0

仔娛5*

...原式=5我=5-4？

【點(diǎn)睛】本題考察了分母有理化以及提取題干信息的能力；關(guān)鋌在于要會(huì)用平方差公式進(jìn)行分母有理化,

讀懂題干，能用完全平方差公式進(jìn)行有理化.

【考點(diǎn)11二次根式的混合運(yùn)算】

【例11】（2022?浙江?義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：

（T2-6、+V??

化產(chǎn)+2)(V3-2)+J(1■⑸“

【答案】⑴4.

【分析】（1）把每個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可;

（2）利用平方差公式和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解.

工2d6*2+4*

=2君-2^31+4$

46

(2)

附.2次T-2)4「切

?W)2-22+|I-^5|

=3-4+VJ-1

=73-2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘方公式是解題的關(guān)鍵.

【變式11-1】(2022?山東?寧津縣德清中學(xué)八年級(jí)期中)計(jì)算：

⑴2x(1-VI)+a

(2)(,、4+3、石)+2vl

(3嚴(yán)-2V75+忠-3白

⑷(30-2間(3戊+2悶

【