專題5.5四邊形中的折疊問題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【浙教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)

生對折疊問題的理解！

一.選擇題（共10小題）

1.（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片48CQ中AB=4,BC=8,點(diǎn)E,尸分別在A。，BC上，將紙

片A8CD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)，處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，連接CE,CH.有以下四個(gè)結(jié)

論：①四邊形C/7/E是菱形；②CE平分NOC”；③線段B尸的取值范圍為3WBEW4；④當(dāng)點(diǎn)，與點(diǎn)4

重合時(shí)，EF=5.以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

【分析】①先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得。尸=尸從然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得NBC〃=NEC”,然后求出只有/。。石=30°時(shí)EC平分N

DCH,判斷出②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)〃與點(diǎn)人重合時(shí)，設(shè)表示出A~=R?=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到8尸的最小

值，點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，CF=CD,求出3b=4,然后寫出8"的取值范圍，判斷出③正確；

④過點(diǎn)尸作*WIA。于求出“凡再利用勾股定理列式求解得到月凡判斷出④錯(cuò)誤.

【解答】解：①?：FH與EG,EH與Cb都是原來矩形A8CD的對邊A。、8。的一部分，

：.FH//CG,EH//CF,

???四邊形CH7E是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH,

???四邊形CH7E是菱形，故①正確；

②;四邊形CF”石是菱形，

NBCH=ZECH,

???只有NQCK=30°時(shí)EC平分NQC”,故②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)”與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)3/=弟則4/=FC=8?x,

在RtZ\A8尸中，AB2+BF2=AF1,

即4。/=(8-x)2,

解得x=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，CF=CD=4,

???"=4,

???線段班?.的取值范圍為3W4FW4,故③正確；

④如圖，過點(diǎn)〃作BWLAO于M,

則ME=(8-3)-3=2,

由勾股定理得，

EFk皿產(chǎn)2㈠，故④錯(cuò)誤.

綜上所述，結(jié)論正確的有①③，共2個(gè).

故選:B.

2.(2022?沿河縣二模)如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,

0),點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)尸為8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△OPD,連接CD、A。.則下列

結(jié)論中：①當(dāng)NBOP=45°時(shí)，四邊形O8PO為正方形；②當(dāng)NBOP=30°時(shí)，△04。的面積為15；③

當(dāng)〃在運(yùn)動(dòng)過程中，CO的最小值為2、"%；④當(dāng)OQJ_AD時(shí)，BP=2.其中結(jié)論正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】①由矩形的性質(zhì)得到/O8C=9()°,根據(jù)折登的性質(zhì)得到08=00,NPD0=N0BP=9()°,

/B0P=ND0P,推出四邊形03P。是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到四邊形03PD為正方形；

故①正確；

—rOD-

②過。作QH_LQ4于"，得到OA=10,0B=6,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到D”-3,根據(jù)三

5=1x

角形的面積公式得到△0AQ的面積為PA?DH.3X10=15,故②正確；

③連接。。，于?是得至ijOQ+CO2OC,即當(dāng)OO+CQ=OC時(shí)，CO取最小值，根據(jù)勾股定理得到CQ的最

小值為2V34~6；故③正確；

④根據(jù)已知條件推出P，D,A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOP8=NPOA,等量代費(fèi)得到NO%

=ZPOA,求得AP=O4=10,根據(jù)勾股定理得到BP=8C?CP=10?8=2,故④正確.

【解答】解：①???四邊形0AC8是矩形，

；?NOBC=90°,

???將△OBP沿OP折疊得至IJ/XOP。，

：?OB=OD,NPDO=NOBP=90°,NB0P=ND0P,

?.?/BOP=45°,

:?NDOP=NB()P=45°，

：.Z13OD=90°,

；?ZB0D=ZOBP=ZODP=9Q°,

???四邊形OBP。是矩形，

,：0B=0D,

???四邊形OBPD為正方形；故①正確；

②過。作DHLOA于H,

???點(diǎn)A(10,0),點(diǎn)B(0,6),

/.04=10,05=6,

???00=03=6,NBOP=ND()P=30°,

：.ZDOA=30°,

=；0D=

:.DH-3,

???△04。的面積為2OA*DH23X10=15,故②正確:

③連接0C,

則0D+CD-0C,

卻當(dāng)OO+CO=OC時(shí)，CO取最小值，

9：AC=OB=6,04=10,

A21

?.”?CzC/=^6+AC=+6=2V51,

：.CD=OC-0D=2、73"5-6,

即C7）的最小值為2、‘打飛故③正確；

?V0DLAD,

：.ZADO=90°,

尸=NO8P=90°,

AZ4DP=180°,

:,P,D,A三點(diǎn)共線，

'：OA//CB,

：,/OPB=NPOA,

?：4OPB=/OPD,

：.ZOPA=ZPOA,

：.AP=OA=\0,

???4C=6,

3.（2022春?深陽市期末）如圖，把正方形紙片A3CO沿對邊中點(diǎn)所在直線折疊后展開，折痕為/WM再

過點(diǎn)。折疊，使得點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)〃處，折痕為QE,則1的值是()

【分析】設(shè)正方形紙片"C。的邊長為2”，由折疊的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)可得AM=3M=0N=NC=a,

AD=DF=MN=2a,AE=EF,NEMF=/DNF=9(Y：由勾股定理可求W的長，進(jìn)而可求BW的長，

￡M

設(shè)八E—EF-x,再利用勾股定理可求x,得到的長，代入計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)正方形紙片A6CQ的邊長為2a.

由題意可知：AM=BM=DN=NC=a,AD=DF=MN=2a,AE=EF,/EMF=NDNF=90°,

：.FN=4戶-DN"=J(2a)2-a」=出“

-w

:.FM=MN-FN=(2)a.

設(shè)AE=EF=x,則EM=AM-AE=a-x.

在RtAEMF中，*?EM2+MF2=EF'2,

(a-x)2+l(26)

：,x=(4-2a,

'紂—

：.EM=a-(4-2)a=(23)a,

￡M(卡-3)o

...-V3

故選：c.

4.(2022?衢州模擬)如圖矩形/^CO紙片，我們按如下步驟操作：(1)以過點(diǎn)A的直線為折痕，折疊紙

片，使點(diǎn)8落在A。上，折痕與8C交于點(diǎn)氏(2)將紙片展開后，再次折疊紙片，以過點(diǎn)E所在的直

線為折痕，使點(diǎn)A落在BC或BC的延長線上，折痕EF交直線AD或直線AB于F,則乙4所的值為()

《I---------------

B\---------------1c

A.22.5°B.67.5°

C.22.5°或67.5°D.45°或135°

【分析】可動(dòng)手操作，觀察折疊得到的圖形及展開圖，確定折線的位置，然后進(jìn)一步求解.

【解答】解：以過點(diǎn)4的直線為折痕，折疊紙片，使點(diǎn)B落在4D上，折痕與BC交于點(diǎn)E,實(shí)際上是

折成一個(gè)正方形；

①將紙片展開后，再次折疊紙片，以過點(diǎn)石所在的直線為折痕，使點(diǎn)A落在或8c的延長線上，折

痕E/7交直線人。于F,N4EC=45°+90°=135°.

所以，ZAFE=ZFEC，NAEC=67.5°:

②交AB的延長線交于一點(diǎn)F）時(shí)，

4BEF=/MEC=675°,

二/A產(chǎn)E=90°-/BEF=225°,

故選：C.

5.（2022?嘉興二模）如圖，矩形紙片ABC。中，4。=6,E是CD上一點(diǎn),連結(jié)4E,△ADE沿直線4E

翻折后點(diǎn)。落到點(diǎn)F，過點(diǎn)尸作尸GJ_A。，垂足為G.若4Z）=3G。，則。E的值為（）

【分析】過點(diǎn)￡作E”_LFG,易得四邊形為矩形，則GH=DE,HE=GD；由己知可得：GD=2,

4G=4,利用勾股定理可求FG=2"；設(shè)。E=x,則6//=上尸=犬，HF=2、'-r,在中,

由勾股定理列出方程，解方程可求?！?/p>

【解答】解：過點(diǎn)七作上〃_LFG,交卜G于點(diǎn)〃，如圖，

??山。=6,AO=3G。，

：.GD=2.

：.AG=AD-DG=6-2=4.

*：FGA-AD.

??rO

???四邊形A6c。是矩形，

AZD=90°,

,：FGVAD,EHLFG,

???四邊形為矩形.

:?GH=DE,HE=GD=2.

設(shè)OE=x,則64=后尸=-HF=2回

在口△”￡：/中，

〈H產(chǎn)+HE2=E產(chǎn),

(2^f-r)2+2:=x2

???

6b

s

解得：X

：.DE

故選：c.

6.（2022春?寶安區(qū)期末）如圖，在長方形A8CO中，AD//BC,AB//CD,E在AO上.AD=m,AE=n

.將長方形沿著BE折疊，4落在A'處，AE交BC于點(diǎn)、G,再將/A'E。對折，點(diǎn)。落

在直線A'E上的。'處，C落在C'處，折痕EF,F在BC二,若。、F、D'三點(diǎn)共線，則（）

E

制牙

A.mnB.C.~D.rn-n

【分析】連接。。'，證明NE/7。是直角,然后證明aBE尸和AE尸E全等即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，

一

連接。?！?/p>

???。、F、D1三點(diǎn)共線，四邊形EFC'D'是由四邊形E/CZ）翻折得到，

：.4EFD必EFD，,ZDEF=ZD'EF

：,^EFD=90°,

丁四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

；?NDEF=NBFE,

VZAEB=ZA,EB,

AZBEF=90°,

在aBE尸和△。尸石中,

"DEF=4FE,

EF=EF

(<8EF=cEFD,

:.△BEFQ/XDFE(ASA),

:?BF=ED,

AD=i)i9AE=ri,

.\BF=ED=m-n.

故選：D.

7.(2022春?普洱期末)有一張長方形紙片/WC。，按下面步驟進(jìn)行折疊：

第一步：如圖①，點(diǎn)E在邊BC上,沿八E折置，點(diǎn)8落在點(diǎn)片處；

第二步：如圖②，沿E8折疊，使點(diǎn)A落在6。延長線上的點(diǎn)W處，折痕為EF.

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.△人石尸是等邊三角形

C.CA=FDD.EA'=AF

【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)和矩形性質(zhì)可得NB￡A=NE4"=N￡陰=60°,由此判斷選項(xiàng)A；根據(jù)翻折性質(zhì)

可判斷選項(xiàng)。；根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)可判斷選項(xiàng)&由于AB、8C的長度不確定，可判斷選項(xiàng)C.

【解答】解：ZBEA=ZAEF=ZA1EF,ZBEA+ZAEF+ZAfEF=180°,

：.ZBEA=ZAEF=ZA'EF=60°,

?：BC//AD,

：.ZBEA=ZEAF=60°,

；?NBEA=NEAF=NEE\=6G0,

尸是等邊三角形，故A正確，

???△￡次'是等邊三角形，

：,AE=EA'=A'F=AF,故D正確,

.??四邊形人石4'F是菱形,

???￡戶垂直平分A4',故4正確，

由于A&8。的長度不確定，所以AC不一定等于。人故。錯(cuò)誤.

故選：C.

8.（2022?槐蔭區(qū)二模）如圖，菱形A8CO的邊4B=8,ZB=60°,P是A8上一點(diǎn)，8尸=3：。是CD邊

上一動(dòng)點(diǎn)，將四邊形AP。。沿直線P。折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)4'.當(dāng)C4'的長度最小時(shí)，C。的長為（）

A.5B.7C.8D.6.5

（分析】作C2L48于從如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷△A8C為等邊三角形，則CH-二48=4Q

A”=8”=4,在RtZXCHP中，利用勾股定理計(jì)算出C尸=7,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)A'在以P點(diǎn)為圓心，

以為半徑的弧上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)4'在PC上時(shí)，CV的值最小，然后證明CQ=C尸

即可.

【解答】解：作C"_LAB于”,如圖，

???菱形A8CO的邊A8=8,N8=60：

???△A8C為等邊三角形，

=亍73

:.CH'AB-4',AH-BH-4,

*：PB=3,

：.HP=\,

在RiZ\C〃P中，CPT由“HP1=也8+1=7,

???梯形APQ。沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)A',

???點(diǎn)A'在以。點(diǎn)為圓心，力為半徑的弧上，

二當(dāng)點(diǎn)4'在PC上時(shí)，CA'的值最小，

ZAPQ=NCPQ,而CD//AB,

：.NAPQ=NCQP,

：.ZCQP=ZCPQ,

：,CQ=CP=1.

故選：B.

9.（2022春?泰興市月考）如圖，將菱形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)4恰好落在菱形的對稱中心。處，折痕為

EF.若菱形ABCO的邊長為8,ZB=120°,則石尸的值是（）

A.26B.4C.4V5D.6

【分析】連接AC,8。.證明aAB。是等邊三角形，推出BD=A8=8,再證明E廣是△ABD的中位線,

可得結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，連接AC,BD.

???四邊形A8C。是菱形，

=_1

1?AB=AD=CD=BC,AC±BD,ZABD=ZCBD2ZABC=60°,

???△A3。是等邊三角形，

：.BD=AB=S,

???4沿E尸折疊與O重合，

：,EFLAC,E尸平分AO,

,ACA.BD,

：,EF//BD,

:?E、尸分別為43、4。的中點(diǎn)，

???￡?為△43。的中位線，

=5=1x8=

：,EF-BD-4,

故選：8.

D

10.（2022?資陽）如圖，矩形ABC。與菱形EFG”的對角線均交于點(diǎn)。，且EG〃8C,將矩形折疊，使點(diǎn)

EF=2,ZH=120°,則ON的長為（）

v'6-臼k/j—

B.rD.2

【分析】延長EG交。C于P點(diǎn)，連接GC、尸”，則△GC尸為直角三角形，證明四邊形OGCM為菱形,

=G

則可證CG=OM=CM=OG,由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位線定理CM+QN=2GP,

即可得出答案.

【解答】解：延長EG交QC于。點(diǎn)，連接GC、FH；如圖所示:

則CP=OP-CD2,△GCP為直角三角形，

???四邊形EFG”是菱形，ZEHG=120°,

：.GH=EF=2,NOHG=60°,EGLFH,

x^=V3

???OG=G〃?sin60°=2i,

由折疊的性質(zhì)得：CG=OG一=、C°,OM=CM,NMOG=NMCG,

=4CG；LCP。=￥

：.PG",

?：OG〃CM,

AZMOG+Z()MC=180°,

???NMCG+NOMC=180",

：,OM〃CG,

???四邊形OGCM為平行四邊形，

*：OM=CM,

???四邊形OGCM為菱形，

=月

:.CM=OG

根據(jù)題意得：PG是梯形MCDV的中位線,

：,DN+CM=2PG

：.DN=口7

二.填空題（共10小題）

11.（2022?成華區(qū)模擬）如圖，在矩形紙片A8CQ中，/W=8,BC=6,點(diǎn)七是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是A8上

一動(dòng)點(diǎn).將aAE廠沿直線石尸折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)4處.在￡尸上任取一點(diǎn)G,連接GC,GA,CAr,則

【分析】如圖，當(dāng)點(diǎn)尸固定時(shí)，連接AC交石產(chǎn)于G,連接A'G,此時(shí)△CG4'的周長最小，最小值=

A'G+GC+CA'=GA+GC+CAf=AC+CA'.當(dāng)CA'最小時(shí)，△CG4'的周長最小，求出C4'的最小

值即可解決問題.

【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)尸固定時(shí)，連接4。交七尸于G,連接A'G,此時(shí)GC的周長最小，最小

值=4'G\GC\CAr=GA\GC\CAr=AdCA,.

???四邊形ABC。是矩形,

/.ZD=90°,AD=BC=6,CD=AB=S,

.=4砂1+DC2三押+8]=

??/AIvC1U10，

???△A'CG的周長的最小值=10+C4',

當(dāng)CA'最小時(shí)，△CG4'的周長最小，

*：AE=DE=EAf=3,

.廠匚=+CD'=夕8：=中1

^EC-EA',

：.CAr之舊為，

??.。'的最小值為抽飛,

???△CG4'的周長的最小值為7+g

故答案為:7,6.

12.（2022?安徽二模）如圖（1）,四邊形ABCO是正方形，點(diǎn)石是邊AQ上的點(diǎn)，將△CQE沿著直線CE

折疊，使得點(diǎn)。落在AC上，對應(yīng)點(diǎn)為F.

￡0_

⑴京='I;

（2）如圖（2）,點(diǎn)G是8c上的點(diǎn)，將△48G沿著直線AG折疊，使得點(diǎn)B落在AC上，對應(yīng)點(diǎn)為從

13*二n二—I

連接R7,EH,則一一一二.

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得到NCQA=90°,再由翻折的性質(zhì)得到△CDEg/XCFE,NCFE=90°,

進(jìn)而證明△AFE為等腰直角三侑形，設(shè)A/=Er=x,解得正方形的邊長為（繼而求解；

（2）由折疊的性質(zhì)可得△COE咨△€*尸石0△A/3G04〃G,設(shè)人r=Er=〃G=〃C=x,由（I）可知，AB

.一一

1）X,繼而證明四邊形EFGH是平行四邊形，分別解得S正方影八8CD，S四邊形EFG”的值即口I解題.

【解答】解：（1）;四邊形48C。是正方形，AC是對角線，

AZCDA=90°,ZDAC=90°,

由折疊的性質(zhì)得：△3E9XCFE,NCFE=90°,

???△AFE為等腰直角三角形，EF=AF,

設(shè)4/=七尸=心則AE、-DE=EF=x,

：.CD=AD=AE+DE=（1）x,

春=4二m

???灰?1；

故答案為：6+1;

(2)由折疊的性質(zhì)得：△CDE/ACFE,AABG安AHG,ZDCE=ZECF,ZGAB=ZGAC,

ZDCA=ZCAB=45°,

/.Z1DCE=ZlGAB=22.y,

?：AB=CD,NEDC=NGBA=90°,

△CDE^△AAHG^△CFE,

:.EF=HG,

VZEl^=ZGHC=9(r,ZEAF=ZGCH,

???△EA//△GC”（A4S）,且△EA/和△GC”都為等腰直角三角形,

:,EF=AF=HC=HG,

設(shè)EF=AF=HC=HG=x,由（1）可知，AB=（、1）x,

?/r+0、

??ACAB—（2）x,

=G

：.FH=AC-2AF'x,

???XAHG92CFE,

：.4EFC=4GHA,

:.EF〃HG,

，：EF=HG,

???四邊形EFGH是平行四邊形,

S四邊影EFGH=FH*HG

S正方彩ABCD=l（'1）X]2=（"2%）2/,

S-UDJj4+流

SE*爾6H一62

4*3d

故答案為：

13.（2022?鄧州市一模）如圖（1）是一張菱形紙片，其中NA=135°,AFT點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)

點(diǎn).如圖（2）,將紙片沿AE翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為8；如圖（3）,將紙片再沿A8折疊，點(diǎn)E的對應(yīng)

于點(diǎn)G,設(shè)8G=乂則EG=8G=x,然后利用含30度角的直角三角形即可解決問題.

【解答】解：,:BC〃AD,ZDAB=\35°,

AZB=45°,

分兩種情況討論：①當(dāng)AE'_L3C時(shí)，如圖,

設(shè)AE',交于點(diǎn)F,

X=

則/用8=45°,FA=FB=(V1)T3(0+e)

/.ZE1AB'=ZB'AE=ZBAE=\5°,

/.ZME=30°,

_i銅?式_疣依_逮7

——vX■—j?

：.EF2RT36

3、‘抖、,6?

V8+6)?Z3MB

:?BE?I

②當(dāng)4￡_LA3時(shí)，如圖,

則NE'45=90°,

???/E-)AE=ZBAE=30Q,

過點(diǎn)E作EG_LA8于點(diǎn)G,

設(shè)BG=x,則EG=BG=x,

??.AG=4,

解得x=l,

:?BEBG

綜上可知，8E的長為了或?

故答案為：3或

14.(2。22春?成都期末)如圖，在邊長為2的正方形中，點(diǎn)從尸分別是邊8C,上的點(diǎn)，連接

EF,將四邊形沿石尸折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)G恰好落在CO邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為H,連接則

B”+E尸的最小值是2，

【分析】如圖，過點(diǎn)尸作尸K1BC于點(diǎn)K,延長BC到點(diǎn)M,使CM=8C,連接AM交CD于點(diǎn)N,連

接MG、GA、RG,由翻折可得△ABGg^，G8(SAS)，再證得△/EK^^BGC(4S4),即可推出BH+EF

=AG+MG,利用三角形三邊關(guān)系可得/2AM,由于當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)N重合時(shí)，AG+MA=AM,此時(shí)

4G+AM的值最小，故/汨+E〃=AM的值也最小，運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作尸K_LAC于點(diǎn)K,延長AC到點(diǎn)〃，使連接人例交CO于點(diǎn)M

連接MG、GA、BG,

???四邊形ABC。是正方形，

/.ZBAD=ZABC=ZBCD=90°,AB=BC,

：.CD.LBM,

???CQ垂直平分BM,

由翻折得AB=〃G,NABG=NHGB,

VBG=GB,

:AABG94HGB(SAS),

:.GA=BH,

由翻折知￡/_L8G,

又〈FKLBC,

：.ZFKE=ZBCG=W,

:?/EFK+NFEK=NGBC+NFEK=90°,

：./EFK=/GBC,

VZBAD=ZABC=ZBKF=9Qa,

，四邊形ABK產(chǎn)是矩形，

:?AB=FK,

:?FK=BC,

:AFEK^^BGC(ASA),

:?EF=BG,

:?EF=MG,

:.BIAEF=AG+MG,

'：AG+MG^AM,

：?BH+EF-AM,

???當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)N重合時(shí)，AG+MA=AM,此時(shí)AG+M4的值最小,

：,BH+EF=AM的值也最小，

???/ABM=90°,AB=2,BM=2BC=4,

=/修?86=轉(zhuǎn)與不=。V?

??AM2,

:.BH+EF的最小值是2

15.（2022?微山縣一模）已知矩形A8CQ中，A3=6.點(diǎn)￡為A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE,將△COE沿CE

折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)尸處，當(dāng)點(diǎn)尸為線段A8的三等分點(diǎn)時(shí)，AE的長O或③

【分析】由矩形的性質(zhì)先求解A尸=4,BF=2,由折疊的性質(zhì)及勾股定理可求解A。的長，再利用勾股定

理可求解AE的長.

【解答】解：矩形ABC。中，CD=AB=6,

???點(diǎn)6為線段/W的三等分點(diǎn)，

/=2或4,

當(dāng)AF=4時(shí)，BF=2,

由折疊可知：CF=CD=6,EF=DE=AD-AE,

.nr=^6^-2*

=4顯

:.AD=BC

：.EF=4”—AE,

,：AE2+AF2=EF2,

：.AE2+42=（,近ZE）2,

解得AE=

4

="

當(dāng)A/=2時(shí)，同理得AE\

4

故答案為：0或3.

16.（2022春?蜀山區(qū)期末）如圖，矩形人8c。中，AB=2,N/MC=30°,點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是

對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（0VCPC1.5）,將△CPM沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，線段MC交AC于點(diǎn)

N,連接4C,當(dāng)△ANC'是直角三角形時(shí)，線段AC'的長度為0或2.

【分析［分兩種情況討論，①當(dāng)/ANC'=90°時(shí)，先求出CN的長，再得出AN的長，最后利用勾股定

理得出結(jié)果；②當(dāng)NAC'N=90°時(shí)，先得出4M的長，再利用勾股定理求解即可.

【解答】解：:四邊形A8CO為矩形，

：.AD//BC,ZB=90°,

：,ZDAC=ZACB=30°,

*：AB=2,

：,AC=2AB=4,

.=^ici-AB*=d野-2：=2書

①如圖，

4D

???點(diǎn)M是8c邊的中點(diǎn),

:,CM=BM

VZACB=30°,

:.MN2,ZCMC'=60°,

由折疊的性質(zhì)得：

MCMC

='=CZCMP=ZC,MP=30°,/MCP=NMC'P=30°,

AZZMC'P=ZCMP,

：?MP=C'P,

'：4ANC=90°，

=NC，=$MC，=GMC=4

:.MN

在RtAMGV中，

=麻JMN：=’（我2一澧）2=；

CN

2

：.AN=AC-CN=4

在RtAANC'中,AC

②如圖,

連接AM,

在Rt△人BM中,

AB=2,BM

=*孫+8M=/：+(,：=*

：.AM

由①知，MC=C'M

在Rt"C'M中，

4cz=JAM-c心二

2,

綜上所述，線段AC'的長度為：°或2,

故答案為：8或2.

17.（2022春?江漢區(qū)期末）如圖，將矩形A3CD沿直線EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，點(diǎn)8落在點(diǎn)G處,

折痕交A。于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F,若的面積與△CD￡的面積比為4：1,則°￡的值是2、＞

【分析】連接"，由翻折知，由面積比得出4E：ED=4：I,設(shè)。E=x,則4E=C石

=4x,作EHLCF于H,利用勾股定理求出E/即可得出比值.

【解答】解：連接AF,由翻折知，△XEFaXCEF、

???ZAEF=ZCEF,

*：AE//CF,

???ZAEF=/EFC,

???ZAFE=NAEF=ZCFE=NCEF,

：,AF=AE=CE=CF,

???△CE/的面積與△CDE的面積比為4：1,

???△AE/的面積與△CO石的面積比為4：I,

：.AE：ED=4t1,

設(shè)。E=x,則AE=C￡=CF=4x,

作E"_LC尸于〃，

】=

-：EHTCE"-ED

=\FH2+EH2顯

：.EF2

和手二2幫

故答案為：2代

18.（2022?廬陽區(qū)校級(jí)三模）如圖1,在五邊形紙片A8COE中，AB=\,ZA=120°,將五邊形紙片沿

B。折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，在AE上取一點(diǎn)Q,將△A8Q和△EDQ分別沿8Q、。。折疊,點(diǎn)A、E恰

好落白點(diǎn)/'處.

(1)ZC+ZE=240°；

BQ_?

（2）如圖2,若四邊形是菱形，且Q、P、C三點(diǎn)共線時(shí),則上:

圖1

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得/A=N8PQ=120°,/QED=4QPD,/BCD=/BPD,由周角的性

質(zhì)可得NBPD+NQPD+NBPQ=360°,即可求解;

（2）由菱形的性質(zhì)可得RQ=QD,QH工RD,RH=DH,由“SSS”可證△人AQ@△EOQ.可得N人

=NBQP=NEQD=NPQD=45°,由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：（1）???將五邊形紙片A8CDE沿8。折疊,

???NA=/8PQ=120°,/QED=/QPD,/BCD=/BPD,

VZBPD+ZQPmZBPQ=36Q°,

???NBPD+NQPQ=240°,

/.Z：BCD+Z：QED=240o,

故答案為：240；

（2）如圖，連接PC,交BD干H,

圖2

.?.四邊形4切C是菱形，

，PC是的垂直平分線，BP=PD=BC=CD,

?:Q,P,C三點(diǎn)共線,

，QC是的垂直平分線，

：.BQ=QD.QH上BD,BH=DH,

由折疊可知：ZA=ZBPQ=\20a,AB=BP=\=DE=DP,ZAQB=ZBQP,NEQD=NPQD,AQ=

QP=QE,

：.ZBPH=60°,

???NP8H=30°,

=1=ic=0

：,PH*P2,BH?、’PH

在△/WQ和△EDQ中，

fAB=DE

IQA=QE

1&Q=Q。

9

:.XABQ/XEDQCSSS),

???NAQB=NEQD,

???NAQB=ZBQP=NEQD=NPQD,

VZ4CE=180°,

/AQB=NBQP=NEQD=NPQD=45°,

：.NQBH=NBQP=45°,

包

9

=0=W

:.BQ'勾"

N

AB~2

vl

故答案為：T.

19.（2022?長春模擬）如圖，在矩形48co中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在4）上運(yùn)動(dòng),

沿直線E尸折疊四邊形COFE,得到四邊形其中點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，連接AG,人〃，則AG的最小

值是-2.

【分析】如圖，連接AE,當(dāng)A、G、E共線時(shí)，AG最小，先求出AE,根據(jù)AG'=AE-EG'即可解決

問題.

【解答】解：如圖，連接AE.

?..四邊形A4CQ是矩形，

???N5=90°,BE=EC=3,AB=4,

-=<四：=B&h符TT=<

??/\LL2）?

當(dāng)A、G、E共線時(shí)，4G最小，

此時(shí)AG'=AE-EG1=5-3=2.

故答案為2.

20.（2022?沈河區(qū)二模）如圖，在菱形48co中，48=6,NA=60°,點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn),將點(diǎn)。折

疊與點(diǎn)￡重合，折痕與邊CO和8c分別交于點(diǎn)〃和G,當(dāng)OE=2時(shí)，線段C"的長是」

=_1

【分析】過點(diǎn)產(chǎn)作于，，易證N￡>"7=30°,設(shè)C/=x,則。F=6-x,2(6-x),

=0

HF\6-X),EH=DE+DH=5,由折疊的性質(zhì)得EF=CF=x,在RtAEFH中，后廣二七/戶田產(chǎn),

即可得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)F作尸〃工AD于”,如圖所示：

???四邊形4BCO是菱形，乙4=60°,

：.AB=CD=6,NED尸=120°,

ZFDH=60°,

；?NDFH=30°，

設(shè)CF=x,

=-=-=，

則OF=6-x,DHZDF2(6-x),HF2(6-x),

U-2

：.EH=DE+DH=22(6-x)=5

由折疊的性質(zhì)得：EF=CF=x,

在RlZ\￡77/中，EF2=EH2+HF2,

T-

即/=(5')2+[2(6-x)]2,

=至

解得：A-\

_2(

—7

：.CF

三.解答題（共10小題）

21.（2022?遵義）如圖，將一張矩形紙片A8CO沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)4處，點(diǎn)。落在點(diǎn)石處,

直線MN交8c于點(diǎn)M,交人。于點(diǎn)N.

（1）求證：CM=CN；

MN

（2）若的面積與△CQN的面積比為3：1,求"’的值.

【分析】（1）由折費(fèi)的性質(zhì)可得：NANM=NCNM,由四邊形人ACQ是矩形，可得NANM=NCMN.

則可證得NCMN=ZCNM,繼而可得CM=CN；

（2）首先過點(diǎn)N作NHLBC于點(diǎn)H,由△CMN的面積與△CON的面積比為3：1,易得MC=3ND=3HC,

然后設(shè)ON=x,由勾股定理，可求得的長，繼而求得答案.

【解答】（1）證明：???將一張矩形紙片ABCO沿直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，

:./ANM=/CNM,

;四邊形A6C。是矩形，

：.AD//BC,

:.NANM=NCMN,

:./CMN=/CNM,

:,CM=CN,、

（2）解：過點(diǎn)、N作NH上BC干點(diǎn)H,

則四邊形M/CQ是矩形，

:.HC=DN,NH=DC,

???△CMN的面積與△CQN的面積比為3：1,

yMC-MrMC

匕6iMfND-

:?MC=3ND=3HC,

:?MH=2HC,

設(shè)DN=x,則HC=x,MH=2x,

:.CM=3x=CN,

在RlACDN中，OC==2

V2

:?HN=2、，，

在中，MN=W三2

MN2、備.

南=丁=H

22.（2022?張家港市模擬）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABC。（AQ>A8）,將紙片折疊一次，使點(diǎn)A

與C重合，再展開，折痕E尸交A。邊于E,交BC邊于R分別連接AF、CE和ER設(shè)所與4c的交

點(diǎn)為O.

（1）求證：四邊形4尸CE是菱形；

，△ABE的為面積12cm-求AAB尸的周長.

B

【分析】（I）由折疊的性質(zhì)知：EF±A（）,然后可通過證△人OE0ZXCOr來得到AE=CT,從而根據(jù)平

行四邊形的判定得出四邊形AEC"是平行四邊形進(jìn)而利用AC_L￡R得出四邊形AECr是菱形.

（2）由（I）的結(jié)論易求得人￡=人/=2因此只需求得人即可求得△相￡的周長，可設(shè)

4B=x、BF=y,在RtaAB尸中，根據(jù)勾股定理和aAB尸的面積即可求得x+y的值，由此得解.

【解答】（1）證明：由題意可知OA=OC,EFYAC,

,:XD”BC,

???ZAEO=/CFO,ZEAO=/FCO,

：,XNOF星XCOF,

：.AE=CF,又4七〃C〃，

???四邊形4EC〃是平行四邊形，

VAC±EF,

???四邊形AECr是菱形：

（2）解：四邊形是菱形，???4尸=AE=28：（4分）

設(shè)BF=yfVZ5=90°,

???在直角三角形/中，根據(jù)勾股定理得：AB2+BF2=AF2,即/+9=52（5分）

1

-xy=

又???50》=12,???212,則沖=24：（6分）

:.（x+y）2=IQO,

???x+.y=10或x+y=-10（不合題意，舍去）；（7分）

???△A8尸的周長為10+2年.（8分）

23.（2022?淮安）己知：平行四邊形A6C。的對角線交點(diǎn)為O,點(diǎn)E、尸分別在邊A&CO上，分別沿。從

B/：折疊四邊形A4CQ,4、C兩點(diǎn)恰好都落在O點(diǎn)處，且四邊形。石8~為菱形（如圖）.

（1）求證：四邊形A8c。是矩形；

AB

（2）在四邊形48CQ中，求配的值.

DF

【分析】（I）根據(jù)矩形的判定定理，先證。E=BE,再證NDOE=90°,則可證.

（2）根據(jù)已知條件和（1）的結(jié)論，先求得A。：AB,易求解■的值.

【解答】（1）證明：連接

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：?DO=OB,

???四邊形。￡8產(chǎn)是菱形，

：.DE=BE,

：,E01BD,

：.ZDOE=90°,

即ND4W=90°,

又四邊形ABC。是平行四邊形，

???四邊形A8CO是矩形.

（2）解：???四邊形。￡B尸是菱形，

:?/FDB=/EDB,

乂由題意知

由（I）知四邊形人8CO是矩形，

AZAD/'=90°,即NUO8+NKO8+NAQE=90°,

則NAQ8=60°,

???在中，有AD：AB=1：",

又BC=AD,

說明：其他解法酌情給分

24.（2022?南崗區(qū)模擬）己知：將矩形ABC。折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為石凡其中點(diǎn)石，尸分別

在A8,CO上，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,連接AP.

（I）如圖I,求證：四邊形AEC廠為菱形；

（2）如圖2,若NCFG=60；連接人C交石廠于點(diǎn)O,連接DO,GO.在不添加任何輔助線的情況下，

請直接寫出圖2中所有的等邊三角形.

【分析】（1）由折疊性質(zhì)得AE=CE,/AEF=/CEF,由矩形性質(zhì)得出NAOC=N8AO=90°,

AE//CF,證出AE=CR得出四邊形AEC/是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

=2

（2）先證出產(chǎn)=30°,得出NE4尸=60°,證出AAE/和△C"'是等邊三角形；再證出2AC

=OA,/。4。=60°,得出△AOO是等邊三角形；證出CG=OC=OG,得出△COG是等邊三角形.

【解答】解：（1）證明：由折疊性質(zhì)得AE=CE,AF=FC,NAEF=NCEF,

???四邊形44C。為矩形，

：.AE