·1·=(6(2+(1+3(2-22= CA.sinC=sin2A+sin2BB.AB=2C.sinA+sinBD.AC2+BC2=3由誘導公式，sin(A+B)=sin(π-C(=sinC，展開可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，又sinA>0,sinB>0，于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0，若A+B>，類似可推導出sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0，則A+B>不成立.于是1×sinC=sin2A+sin2B≥sin2C，2≥c2，·2·結(jié)合A+B>?A>-B，而A,-B都是銳角，則sinA>sin-B(=cosB>0，于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，這和sinC≤1相矛盾，于是asinA+bsinB=acosB+bcosA，則a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可同方法一種討論的角度，推出A+B=，a(sinA-cosB)+b(sinB-cosA)=0，可知sinA-cosB,sinB-cosA同時為0或者異號，即(sinA-cosB)(sinB-cosA)≤0，展開可得，sinAsinB-sinAcosA-cosBsinB+cosAcosB≤0，即cos(A-B)-(sin2A+sin2B(≤0，結(jié)合和差化積，cos(A-B)(1-sin(A+B)(≤0，由上述分析，A,設BC=t,AC=(2+3(t，則AB=(2+6(t，2==2·3·3.(2025·天津·高考真題)在△AB(1)求A的值；sinAsinB，sinAsinB，故A=；2-2bccosA，解得b=1(b=-2舍去)，bsinAa5=得sinB=bsinAa5=得sinB= +故sin(A+2B)+4.(2025·北京·高考真題)在△ABC中，cosA=-,asinC=42．·4·所以S△ABC=bcsinA=BC·AD,即AD，所以BC邊上的高AD=；2-2bccosA=A.2B.CD=()·5·AB.C.D因為0<A<π,所以A=.4sin2A,ABCD則A=()ABCD進一步化為cosAsinB+sinAsinB=-2sinCcosA，則sin(A+B(=-2sinCcosA，所以sinC=-2sinCcosA，又0<C<π,所以sinC≠0，所以cosA=-，它包括一根直立的標竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺(稱為·6·A.B.C.D.sin∠BADsin∠ABD，sin∠BADsin∠ABD，6.(2025·黑龍江哈爾濱·二模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cos(A-B(-【詳解】由cos(A-B)-cos(A+B)=，得cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=，所以sinAsinB=．·7·由sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=11sin∠BAD=．則BD=()A.3B.2C.3D.2設AF=DB=t(t>0)，則AD=2+t在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD.BD.cos∠ADB即t2=t2+(2+t(2-2t(2+t(×(-，則t=3，即DB=3．5asin(A+C(，則的取值范圍為(·8·因為0<B<，0<π-(A+B(<，所以-A<B<，故選D．10.(2025·河北保定·一模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若c=26,ccos(A-B(+23asinBcosC=-ccosC，則AB邊上的中線CD長度的最小值為()A.1B.2【詳解】由ccos(A-B(+23asinBcosC=-ccosC，得ccos(A-B(+ccosC=-23asinBcosC，所以c[cos(A-B(-cos(A+B([=-23asinBcosC，即2csinAsinB=-23asinBcosC，則由正弦定理得2sinCsinAsinB=-23sinAsinBcosC，24-ab.由題可得C=(C+C(，所以C2=(C2+2C.C+C2(=(b2-ab+a2(=(24-2ab(，·9·A.B=B.若C則a所以△ABC面積的最大值為33，C選項正確；2+又因為∠ABC的角平分線交AC于點D，所以S△ABC=S△ABD+S△BDC，所以在△ABC中，BC=1,BC邊上的高等于tanA，以△ABC的各邊為直徑向△ABC外分別作三個半A.AB2+AC2=3B.△ABC面積的最大值為由三角形的面積公式可得S△ABCbcsinAtanA，2+2-a2=2∩∩設AB,AC邊上的中點分別為E,F，在AB上取一點M，在AC上取一點N，·10·由兩點間線段最短可得MN≤ME+EF+FN=(a+b+c(，當且僅當M,N,E,FC.△ABC面積的最大值為23D.△ABC周長的最大值為362=bsinC，所以3c(1+cos(A+C((=bsinC,3sinC(1-cosB(=sinBsinC，因為0<C<π,sinC≠0,(B-B(2，·11·2=所以三角形周長l=a+c+b=a+c+36-2(a+c(2=t+36-2t2，-2t2在14.(2025·上海黃浦·三模)三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測故AA-CC=AA-(BB-BH(=AA-BB+100=AD+100， ·12·BDCE，AD.CE=3AE.BD5，3316.(2025·浙江紹興·三模)已知平行四邊形ABCD滿足AC2.BD2=AB4+AD4，則sin∠BAD=.又因為AC2=AB2+BC2-2×AB×BCcos∠ABC=AB2+AD2+2×AB×ADcos∠BAD，BD2=AB2+AD2-2×AB×ADcos∠BAD所以AC2.BD2=(AB2+AD2(2-4AB2×AD2cos2∠BAD=AB4+AD4，△ABD中有△ABD中有=sin∠DBAsin∠ADB.·13·設∠ADB=θ,則即AD所以將AD代入可得：移項可得cosθ=sinθ,所以tanθ=.設∠BAC=α,∠CAD=β,則α+β=∠BAD，且∠BCD=π-∠BAD.△BCD的面積S△BCD=BC.CD.sin∠BCD.由余弦定理在△ABC和△ADC中：在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB.AC.cosα.在△ADC中，CD2=AD2+AC2-2AD.AC.cosβ.又因為∠ADC+∠ABC=π,sin∠BCD=sin(π-∠BAD)=sin∠BAD.S△BCD=BC.CD.sin∠BCD，利用余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD.CD根據(jù)基本不等式AD2+CD2≥2AD.CD，所以32=AD2+CD2-AD.CD≥2AD.CD-AD.CD=AD·14·S△BCD=BC.CD.sin∠BCD=AD.CD.sin，因為AD.CD≤32，所以S△BCD=AD.CD.sinBcosC+3sinCsinB=sinA+2sinC，由三角形內(nèi)角和為180°可得sinA=si∴sinBcosC+3sinCsinB=sin(B+C(+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC，即3sinCsinB-cosBsinC=2sinC，sinB-sinB-sinDsin∠CAD，sin2α2cosα.sinDsin∠CAD，sin2α2cosα.sinBsin∠BACsin(α-60(sinBsin∠BACsin(α-60(·15·(1)求A；(2)6(2-3(又由正弦定理可得sinAsinC=sinCcos因為AD為角∠CAB的角分線，故∠CAD=∠BAD=，所以S△ABC=S△ACD+S△ABD=b.AD.sin∠CAD+c.AD.sin∠BAD，即=AD+AD=AD，解得AD=6(2-3(. 因為sinA=sin(π-B-C(=sin(B+C(=sinBcosC+cosBsinC，所以sinCcosB=sinBcosC+cosBsinC-sinB，整理得sinBcosC-sinB=0．·16·2-c2=ab2-2abcosC，(b2-a2(sinB．(2)-,【詳解】(1)由2S=(b2-a2(sinB得2×acsinB=(b2-a2(sinB2-a2=c2-2accosB=ac，由正弦定理有：sinC-2sinAcosB=sin(A+B(-2sinAcosB=sinA，即sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB=sinA，化簡得：sin(B-A(=sinA，·17·因為0<A<，0<B<，所以-<B-A<，(2)由正弦定理得=cosB-=cos2A-=cos2A-2A-3cosA-1，令t=cosA，則目標式為f(t(=2t2-3t-1，其中<t<，所以函數(shù)f(t(在,上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增，則f(t(min=f=-，因為f=，f=-，故f<f((，故當f=時，-≤f(t(<.(2)求△ABC面積的最大值.2A=， ·18·所以△ABC面積的最大值為.23.(2025·湖南長沙·三模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知c=2,b=1,△ABC的面積為a(asinA-csinC-bsinB)．(1)求∠BAC．△ABC=absinC=a(asinA-csinC-bsinB)，所以bsinC=asinA-csinC-bsinB，由正弦定理得bc=a2-c2-b2，所以cos∠BAC==-， 2,所以sin∠ADC=27,所以sin∠ADC=27(-∠ADC(=cosC，(-∠ADC(=cosC，-∠ADC=-C，2-1=2-1=S△ADC=S△ADC=所以△所以△ADC的面積為24.(2025·河北張家口·三模)在△Asin2(A+C(+cos2(A+B(+cos2(B+C(.(1)求B；·19·【詳解】(1)因為2-sinAsinC=sin2(A+C(+cos2(A+B(+cos2(B+C(，所以2-sinAsinC=sin2B+cos2C+cos2A，所以1-cos2C+1-cos2A-sinAsinC=sin2B，所以sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC，2-b2=ac，a2-a(2+a(， +2 +2cc-aBABC+B=B+A=B+c-caA=B+c-ca(B-B(=-c-aacc-aBABC+2(3-1(2B2+(3+1(2B2-2.(3-1((3+1(.B.B