2024-2025學年度第二學期教學質(zhì)量檢查高二數(shù)學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】因為，則，所以，故選：D2.已知隨機變量，且，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】C【詳解】因為，所以，所以.故選：C3.樹人中學高二年級舉辦古詩詞比賽，所有同學均可自愿報名參加．某學習小組有6名同學，其中甲、乙兩位同學決定要么都去，要么都不去，則該學習小組不同的報名情況總數(shù)是（）A.64 B.32 C.31 D.16【答案】B【詳解】若甲、乙都去，則小組內(nèi)另外4名同學報名參加的情況有：種；若甲、乙都不去，則小組內(nèi)另外4名同學報名參加的情況有：種.所以該學習小組不同的報名情況總數(shù)是：種.故選：B4.記試驗的樣本空間，事件，，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】由題意有，，，所有，故選：A.5.如圖，直線與曲線相切于點P，則函數(shù)在上的極值點的個數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【詳解】由有，由與平行，作出與的交點，設橫坐標為且，由，解得或，由圖可知：在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，所以在的極值點個數(shù)為2.故選：B.6.如圖，一質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次向左或向右移動一個單位長度，向左移動的概率為，向右移動的概率為，共移動4次，則該質(zhì)點位于原點右側的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】第一種情況：一直向右移動，；第二種情況：向左移動一步，向右移動三步：，所以該質(zhì)點位于原點右側的概率為.故選：A.7.的展開式中的系數(shù)為（）A.495 B.375 C.135 D.15【答案】D【詳解】展開式中，的系數(shù)為：.故選：D8.已知函數(shù)，若恒成立，則正整數(shù)的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【詳解】原不等式等價于，由圖可知若滿足題意，只需小于與兩個函數(shù)相切時的值即可，設公切點為，因為，，所以，所以，所以，令，所以，所以單調(diào)遞增，因為，，所以存在，使得，所以，令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)知單調(diào)遞減，所以，所以正整數(shù)的最大值為.故選：.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．9.的展開式中，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項 B.常數(shù)項為20C.第二項與第四項的二項式系數(shù)相等 D.各項系數(shù)之和為0【答案】AD【詳解】對A，展開式一共有項，故正確；對B，常數(shù)項為，故錯誤；對C，第二項的二項式系數(shù)為，第四項的二項式系數(shù)為，不相等，故錯誤；對D，令，所以各項系數(shù)之和為0，故正確.故選：AD10.根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)，提出零假設，并計算得到，則下列說法正確的是（）0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828附：A.零假設為：分類變量x與y獨立B.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.1C.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.01D.若所有樣本數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.01【答案】ABD【詳解】對A：零假設：分類變量x與y獨立.是正確的，故A正確；對B：因為，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.1，故B正確；對C：因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們不能拒絕零假設，即可以認為x與y獨立.故C錯誤；對D：根據(jù)，當所有樣本數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，的值夜變成原來的10倍，且，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認為x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.01，故D正確.故選：ABD11.已知為上的偶函數(shù)，，為的導函數(shù)，且當時，，則（）A.當時， B.C. D.【答案】ACD【詳解】設，則，當時，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，又為上的偶函數(shù)，所以為上的奇函數(shù)，所以在上也是單調(diào)遞減，又，所以，；對A：當時，，因為，所以，故A正確；對B：因為在上單調(diào)遞減，所以，即，故B錯誤；對C：因為在上單調(diào)遞減，所以，故C正確；對D：因為在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填在答題卡的相應位置上．12.已知，那么______．【答案】4【詳解】由，所有，解得，故答案為：.13.已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【詳解】，因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，設，，則，令，則或（舍），當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，最小值為，所以，故答案為：.14.有6張卡片，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6，背面均寫有數(shù)字7．先把這些卡片正面朝上排成一排，且第個位置上的卡片恰好寫有數(shù)字．然后擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若向上點數(shù)為n，則將第n個位置上的卡片翻面并置于原處．進行上述實驗3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件下，計算骰子恰有一次點數(shù)為3的概率為______．【答案】【詳解】由已知，試驗前卡片朝上的數(shù)字之和為，數(shù)字之和為奇數(shù)，若拋擲骰子所得點數(shù)為奇數(shù)，則試驗后卡片朝上的數(shù)字之和仍然為奇數(shù)，若拋擲骰子所得點數(shù)為偶數(shù)，則試驗后卡片朝上的數(shù)字之和變?yōu)榕紨?shù)，所以事件進行3次實驗后卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，等于事件三次試驗中拋擲骰子所得點數(shù)有一次為偶數(shù)，余下兩次為奇數(shù)，或三次試驗中拋擲骰子所得點數(shù)都為偶數(shù)，設事件3次試驗后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)為，設事件三次試驗中拋擲骰子所得點數(shù)恰有一次為3為，記表示第次試驗中拋擲骰子所得點數(shù)為偶數(shù)，，則，設表示第次試驗中拋擲骰子所得點數(shù)為1或5，，則，設表示第次試驗中拋擲骰子所得點數(shù)為3，，則，所以，所以，事件表示三次試驗中有一次骰子的點數(shù)為3，另兩次的點數(shù)為一個奇數(shù)一個偶數(shù)其中奇數(shù)為1或5，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，第15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．15.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若2是的極小值點，求及函數(shù)的極值．【答案】（1）（2），的極小值為，極大值為.【小問1詳解】當時，，則，又，則，即曲線在處的切線斜率，故在處的切線方程為.【小問2詳解】法一：，令，得或.因為是函數(shù)的極小值點，所以必有，則，當或時，，當時，.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則時取極小值，即，此時，則的極大值為，極小值為．法二：，2是的極小值點，則，得或6，若時，，．則當或時，，當時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時2是的極大值點，不符合題意，舍去．若時，，，則當或時，，當時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故2是的極小值點，符合題意，此時極小值為，極大值為．綜上所述，，且的極小值為，極大值為．16.在科技日新月異的今天，無人駕駛網(wǎng)約車正逐漸成為出行領域的新寵，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某區(qū)域過去5天的訂單數(shù)如下：日期x（天）12345訂單數(shù)y（件）1321455566為了進一步了解訂單數(shù)的變化情況，甲乙兩個數(shù)學學習小組分別進行了研究，（1）甲小組決定用線性回歸模型進行擬合，求此時y關于x的經(jīng)驗回歸方程；（2）乙小組采用非線性回歸模型進行擬合，求得y關于x的經(jīng)驗回歸方程為，并計算出決定系數(shù)，①根據(jù)回歸模型的決定系數(shù)，說明哪個小組的模型擬合效果更好；②用①中選擇的模型預測該區(qū)域第10天的訂單數(shù)（結果保留整數(shù)）．附：，；決定系數(shù)．參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）（2）①甲小組的線性回歸模型擬合效果更好；②138件【小問1詳解】由題可知：，，，，關于x的回歸方程為．【小問2詳解】①由（1）知，從而有．x123451226405468，，，，從來看甲小組的線性回歸模型擬合效果更好．②當時，．預測第10天的訂單數(shù)為138件．17.近年來，輕食作為餐飲的一種創(chuàng)新形態(tài)，廣受消費者青睞．某公司為了獲得輕食消費者行為數(shù)據(jù)，對一地區(qū)消費者進行抽樣調(diào)查．統(tǒng)計其中300名消費者（表中3個年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻數(shù)與年齡得到如下的頻數(shù)分布表．年齡食用頻數(shù)25歲以下（）25歲到50歲50歲及以上（）輕食低頻消費者（每周次）153550輕食中頻消費者（每周2-3次）554540輕食高頻消費者（每周4-6次及以上）302010（1）已知該地區(qū)25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上三個年齡段的人數(shù)比例為，用頻率估計概率，求從該地區(qū)隨機抽取一人，其為高頻消費者的概率．（2）從以上樣本的輕食高頻消費者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分層隨機抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)分別為，，記，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為1【小問1詳解】記從該地區(qū)中任抽一人，其年齡在25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上分別為事件，，，其為高頻消費者為事件B，則，，，由表中數(shù)據(jù)估計概率，，，所以，即從該地區(qū)中任抽一人，其為高頻消費者的概率為．【小問2詳解】由表知，利用分層抽樣的方法抽取的6人中，年齡在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)分別為3和2，依題意，的所有可能取值分別為0、1、2、3．所以，，，．所以的分布列為：0123P所以的數(shù)學期望為．18.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩根，求a的取值范圍；（3）證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【小問1詳解】由題意有．當時，，在單調(diào)遞減；當時，令，得，單調(diào)遞增；令，得，單調(diào)遞減．綜上所述，當時，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【小問2詳解】由（1）知，當時，在單調(diào)遞減，所以方程最多一根，故．因為當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，，且，，故要使方程有兩根，則，即，得，故a的取值范圍為．【小問3詳解】法一：要證，即，令，則只需證，當時，，上式顯然成立；現(xiàn)證當時上式成立：由（1）知，，取，即得，取，即可得，即得證．法二：要證，即，令，則只需證，令，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；由（1）知，，則，故，即，得證，19.現(xiàn)有一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品是否合格相互獨立，每件產(chǎn)品合格的概率均為p．在某次抽樣中，經(jīng)統(tǒng)計抽取的100件產(chǎn)品中，恰有98件合格品．（1）以頻率估計概率，若從該批產(chǎn)品中再抽取10件，記合格品的數(shù)量為X，求X的期望；（2）在概率統(tǒng)計中，我們常常通過觀測到的實驗結果應用極大似然估計法來估計某參數(shù)的取值．設X為與未知參數(shù)m有關的離散型隨機變量，其中m的取值范圍為S．若對已知結果，存在，且對任意，有成立，則稱為m的一個極大似然估計值．①請根據(jù)此次抽樣，求p的極大似然估計值．②在實際操作中往往采用多次獨立抽樣來求參數(shù)的極大似然估計值，現(xiàn)對該批產(chǎn)品進行m次獨立抽樣，每次從中抽取n