2.1.2兩條直線平行和垂直的判定人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章

空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)理解兩條直線平行與垂直的條件01能根據(jù)直線的斜率判定兩條直線平行或垂直02探索新知為了在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法表示直線，我們從確定直線位置的幾何要素出發(fā)，引入直線的傾斜角，再利用傾斜角與直線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系引入直線的斜率，從數(shù)的角度刻畫了直線相對(duì)于

x

軸的傾斜程度，并導(dǎo)出了用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算斜率的公式，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.下面，我們通過直線的斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系.探索新知

思

考平面中的兩條直線間存在幾種位置關(guān)系？若無特別說明“兩條直線l1，l2

”指兩條不重合的直線Oxyl2l1Oxyl2l1Oxyl2l1平行相交特例：垂直相交探索新知

思

考當(dāng)兩條直線

l1與直線

l2平行時(shí)，它們的斜率

k1與

k2滿足什么關(guān)系？如圖，若

l1∥l2，則

l1與

l2的傾斜角

α1與

α2相等，由

α1＝α2，可得

tanα1

＝tanα2

，即

k1＝k2.因此，若

l1∥l2，則

k1＝k2.反之，當(dāng)

k1＝k2時(shí)，tanα1

＝tanα2，由傾斜角的取值范圍及正切函數(shù)的單調(diào)性可知，α1＝α2，因此

l1∥l2.于是，對(duì)于斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2有：l1∥l2?k1＝k2.探索新知

思

考當(dāng)兩條直線

l1與直線

l2平行時(shí)，它們的斜率

k1與

k2滿足什么關(guān)系？顯然，當(dāng)

α1＝α2＝90°時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)

l1∥l2.xα1Oyα2l2l1若直線l1，l2重合，此時(shí)仍然有k1＝k2；拓展：用斜率證明三點(diǎn)共線（斜率存在前提）；平面中有三點(diǎn)，在任意兩點(diǎn)間求斜率，若兩組斜率相等，則三點(diǎn)共線.探索新知兩條直線平行的判定設(shè)兩條不重合的平行直線l1，l2，傾斜角分別為α1，α2，斜率存在時(shí)斜率分別為k1，k2則對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：傾斜角α1

＝

α2

≠

90°α1＝

α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示xα1Oyα2l2l1xα1Oyα2l2l1歸納小結(jié)：斜率分別為k1，k2的兩條直線l1，l2有：

l1∥l2?k1＝k2.

l1∥l2?tanα1

＝tanα2

?k1＝

k2l1∥l2?兩直線斜率都不存在典型例題例2已知

A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，試判斷直線

AB與

PQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：如圖，由已知可得因?yàn)?/p>

kBA＝kPQ，所以直線

AB∥PQ．直線

BA的斜率

kBA＝

；

直線

PQ的斜率

kPQ＝

．

探索新知

歸納總結(jié)判斷兩條不重合的直線是否平行的兩種方法：(1)

利用直線的斜率判斷；(2)

利用直線的方向向量判斷：求出兩直線的方向向量，通過判斷兩向量是否共線，得到兩條直線是否平行．典型例題例3已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為

A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.解：如圖，由已知可得因?yàn)?/p>

kAB＝kCD，

kBC＝kDA，所以直線

AB∥CD，BC∥DA．AB邊所在直線的斜率

kAB＝

；

CD邊所在直線的斜率

kCD＝

；

BC邊所在直線的斜率

kBC＝

；

DA邊所在直線的斜率

kDA＝

；

因此四邊形

ABCD是平行四邊形.探索新知兩條直線垂直的判定設(shè)兩條直線

l1，l2的斜率分別為

k1，k2，則直線

l1，l2的方向向量分別是

a＝(1,k1)，b＝(1,k2)，于是l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0?1×1＋k1k2＝0，即

k1k2＝－1.也就是說，l1⊥l2?k1k2＝－1.顯然，當(dāng)兩條直線相交時(shí)，它們的斜率不相等；反之，當(dāng)兩條直線的斜率不相等時(shí)，它們相交.在相交的位置關(guān)系中，垂直是最特殊的情形.當(dāng)直線

l1，l2垂直時(shí)，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系？探索新知兩條直線垂直的判定當(dāng)直線

l1或

l2的傾斜角為90°時(shí)，若

l1⊥l2，則另一條直線的傾斜角為0°；反之亦然.由上我們得到，如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果兩條直線的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直.即l1⊥l2?k1k2＝－1探索新知兩條直線垂直的判定直線斜率k1，k2都存在一條斜率不存在，另一條斜率為零對(duì)應(yīng)關(guān)系若l1⊥l2?

k1·k2＝－1l1與

l2的位置關(guān)系是l1⊥l2圖示xOyl2l1注意：“兩條直線的斜率之積等于－1”是“這兩條直線垂直”的充分不必要條件；因?yàn)閮蓷l直線垂直時(shí)，除了斜率之積等于－1，還有可能一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.Oxyl2l1典型例題例4已知

A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，試判斷直線

AB與

PQ的位置關(guān)系．解：直線

AB的斜率

kAB＝

；

直線

PQ的斜率

kPQ＝

；

所以直線

AB⊥PQ．因?yàn)?/p>

kABkPQ＝

＝－1，

典型例題例5已知

A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀．解：邊

AB所在直線的斜率

kAB＝

；

邊

BC所在直線的斜率

kBC＝2；所以

△ABC是直角三角形．由

kABkBC＝－1，分析：如圖，猜想

AB⊥BC，△ABC是直角三角形．得

AB⊥BC，即∠ABC＝90°．當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)A當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)A當(dāng)堂檢測(cè)AC當(dāng)堂檢測(cè)D當(dāng)堂檢測(cè)AD當(dāng)堂檢測(cè)B當(dāng)堂檢測(cè)