專題2.5常用邏輯用語(yǔ)單元復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1.理解命題、定理、定義的概念，會(huì)判斷命題的真假，能把命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式；2.理解充分條件、必要條件的概念，了解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系，.理解充要條件的意義，會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單的充要條件問(wèn)題；3..理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義以及存在量詞、存在量詞命題的定義，會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷它們的真假；4.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)充分條件與必要條件的判斷；全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷2.難點(diǎn)利用充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)含有量詞的命題的真假求參數(shù)知識(shí)點(diǎn)01命題、定理、定義1.命題的定義：在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，我們將可判斷真假的陳述句叫作命題．注：命題定義中的兩個(gè)要點(diǎn)：“可以判斷真假”和“陳述句”，我們學(xué)習(xí)過(guò)的定理、推論都是命題．2.命題的分類真命題：判斷為真的語(yǔ)句假命題：判斷為假的語(yǔ)句3.命題的一般形式：“若p，則q”，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論．注：確定命題的條件和結(jié)論時(shí)，常把命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式．4.定理的概念：在數(shù)學(xué)中，有些已經(jīng)被證明為真的命題可以作為推理的依據(jù)而直接使用，一般稱之為定理．5.定義的概念：在數(shù)學(xué)中，定義是對(duì)某些對(duì)象標(biāo)明符號(hào)、指明稱謂，或者揭示所研究問(wèn)題中對(duì)象的內(nèi)涵．定義的特點(diǎn)：用已知的對(duì)象及關(guān)系來(lái)解釋、刻畫(huà)陌生的對(duì)象，并加以區(qū)別。如“平行四邊形”就是通過(guò)“四邊形”與兩組“對(duì)邊”分別“平行”來(lái)描述。【即學(xué)即練】1．（多選）下列語(yǔ)句是命題的有（）【答案】CD【分析】根據(jù)命題的定義即可求解.【解析】A是祈使句，不是命題；B是疑問(wèn)句，不涉及真假，不是命題；C，D是命題．故選：CD2.（多選）下列語(yǔ)句中，真命題有（）B．同一平面內(nèi)四條邊相等的四邊形是正方形C．平行四邊形是梯形【答案】AD【分析】根據(jù)定義、性質(zhì)等直接判斷即可.【解析】A，D是真命題，B中同一平面內(nèi)四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形，故B錯(cuò)誤；C中平行四邊形不是梯形，故C錯(cuò)誤．故選：AD知識(shí)點(diǎn)02充要條件的四種判斷方法充要條件的四種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷；牢記：小范圍可以推大范圍，大范圍不可以推小范圍若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件p/q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp注意區(qū)別是的充分不必要條件與的充分不必要條件是兩者的不同．(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問(wèn)題第一：化簡(jiǎn)條件和結(jié)論第二：根據(jù)條件與結(jié)論范圍的大小進(jìn)行判斷第三：充分、必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：(3)傳遞法：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件．①若是的充分條件，是的充分條件，則是的充分條件;②若是的必要條件，是的必要條件，則是的必要條件;③若是的充要條件，是的充要條件，則是的充要條件．(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)判斷真假【即學(xué)即練】1．下列命題中，哪些命題是“四邊形是正方形”的充分條件？(1)對(duì)角線相等的菱形；(2)對(duì)角線互相垂直的矩形；(3)對(duì)角線相等的平行四邊形；(4)有一個(gè)角是直角的菱形．【答案】(1)是充分條件；(2)是充分條件；(3)不是充分條件；(4)是充分條件【分析】（1）根據(jù)充分條件的定義判斷；（2）根據(jù)充分條件的定義判斷；（3）根據(jù)充分條件的定義判斷；（4）根據(jù)充分條件的定義判斷.【解析】(1)菱形的對(duì)角線垂直，它的對(duì)角線相等時(shí)，一定是正方形，是充分條件；(2)矩形的對(duì)角線相等，它的對(duì)角線垂直時(shí)，一定是正方形，是充分條件；(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是正方形，不是充分條件；(4)菱形的四邊相等，有一個(gè)角是直角，則四個(gè)內(nèi)角都是直角，它是正方形，是充分條件．2.（多選）下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的為（）【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的判斷，即可由選項(xiàng)逐一求解.對(duì)于B選項(xiàng)，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要條件；對(duì)于D選項(xiàng)，p?q，且q?p，故p是q的充要條件．故選：BD.【答案】B【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義和集合間的包含關(guān)系判斷可得答案.故選：B.【分析】根據(jù)交集定義計(jì)算；由必要不充分條件得集合的包含關(guān)系，由包含關(guān)系得參數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)03全稱量詞命題與存在量詞命題定義:短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.對(duì)存在量詞與存在量詞命題的理解(1)從集合的觀點(diǎn)看,存在量詞命題是陳述某集合中有(存在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題.(2)常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對(duì)某個(gè)”“有的”等.(3)含有存在量詞的命題,不管包含的程度多大,都是存在量詞命題.(5)含有存在量詞“存在”“有一個(gè)”等的命題,或雖沒(méi)有寫(xiě)出存在量詞,但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題.【即學(xué)即練】1．下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（）A．每一個(gè)二次函數(shù)的圖象都是開(kāi)口向上B．存在一條直線與兩條相交直線都平行【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的定義，結(jié)合命題真假的判斷即可得到答案.【解析】A選項(xiàng)是全稱量詞命題，二次函數(shù)的圖象有開(kāi)口向上的，A是假命題，不符合題意；B選項(xiàng)是存在量詞命題，不符合題意；D選項(xiàng)是存在量詞命題，不符合題意.故選：C.2．指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假．(1)任意兩個(gè)等邊三角形都相似；(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)；【答案】(1)全稱量詞命題，真命題；(2)存在量詞命題，真命題；(3)全稱量詞命題，假命題；(4)存在量詞命題，假命題.【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)命題的描述判斷全稱、存在量詞命題，進(jìn)而確定其真假.【解析】（1）全稱量詞命題，所有的等邊三角形都有三邊對(duì)應(yīng)成比例，該命題是真命題．（2）存在量詞命題，存在一個(gè)實(shí)數(shù)零，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，該命題是真命題．【答案】B故選：B知識(shí)點(diǎn)04含有一個(gè)量詞命題的否定(1)命題的否定：對(duì)命題p加以否定，得到一個(gè)新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．(2)全稱量詞命題的否定：(3)存在量詞命題的否定：(4)命題與命題的否定的真假判斷：一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假．即：如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然．【即學(xué)即練】1．（多選）下列四個(gè)命題的否定為真命題的是（）【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，判斷出為真命題；B選項(xiàng)，寫(xiě)出，得到其為真命題；C選項(xiàng)，舉出反例得到為真命題；D選項(xiàng)，舉出反例得到為假命題.故選：BD題型01命題真假求參【分析】根據(jù)命題的真假得出結(jié)論．A．4 B．2C．0 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)根的判別式求出的范圍，在選項(xiàng)中選出符合條件的值即可.故選：ABD【分析】依題意判斷方程無(wú)解條件即可.【分析】根據(jù)命題的真假得出結(jié)論．【分析】根據(jù)命題的真假得出結(jié)論．題型02充分條件與必要條件的判斷【典例1】（多選）下列命題中敘述不正確的是（）B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要而不充分條件【答案】BCD【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)即可.由三角形為正三角形可得該三角形為等腰三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分條件，B錯(cuò)誤；故選：BCD.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】將相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.故選：A.A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.故選：B.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A故選：A【變式4】（多選）下列選項(xiàng)中是的必要不充分條件的有（）【答案】AD【分析】根據(jù)包含關(guān)系判斷A；根據(jù)與等價(jià)判斷B；根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷CD.所以是的必要不充分條件，正確；是的充要條件，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：若兩個(gè)三角形全等，則兩個(gè)三角形面積相等，但兩個(gè)三角形面積相等不一定推出兩個(gè)三角形全等，是的充分不必要條件，C錯(cuò)誤；是的必要不充分條件，正確.故選：AD.題型03充分條件與必要條件的探求與應(yīng)用【分析】由條件列不等式求的取值范圍．A． B． C． D．0【答案】BCD【分析】根據(jù)必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，求解即可.綜上，的取值為0，，.故選：BCDA． B． C． D．【答案】BCD故選：BCD.【分析】根據(jù)充分不必要條件得出集合的包含關(guān)系，根據(jù)包含關(guān)系可求答案；題型04全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷【典例1】（多選）下列命題中，真命題的是（）【答案】ABD故選：ABD.【變式1】判斷下列命題的真假.(1)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)來(lái)表示；(2)至少有一個(gè)直角三角形不是等腰三角形；【答案】(1)假命題，(2)真命題，(3)假命題，(4)真命題，(5)真命題【分析】（1）舉反例說(shuō)明命題為假命題；（2）舉特例說(shuō)明存在性；（3）用判別式判斷二次方程根的情況；（4）舉特例說(shuō)明存在性；（5）可證明結(jié)論恒成立.【解析】（1）是假命題，如邊長(zhǎng)為1的正方形，對(duì)角線長(zhǎng)度為，就不能用正有理數(shù)表示．（2）是真命題，如有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形就不是等腰三角形．（5）是真命題，因?yàn)橥耆椒焦綄?duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以對(duì)整數(shù)也成立．【變式2】命題p：?x0∈R，x02+2x0+5＝0是（填“全稱命題”或“存在命題”），它是命題（填“真”或“假”）.【答案】特稱命題假【分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的定義，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行分析判斷即可.【解析】命題p，含有存在量詞?，是存在命題，x2+2x+5＝0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，命題為假命題.故答案為：存在命題；假A．該命題是全稱量詞命題 B．該命題是存在量詞命題C．該命題是真命題 D．該命題是假命題【答案】BC【分析】根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題概念判斷AB，再由命題真假判斷CD.A選項(xiàng)錯(cuò)誤B選項(xiàng)正確；命題為真命題，即C正確D錯(cuò)誤.故選：BC【變式4】在下列命題中，是真命題的是（）【答案】B【分析】根據(jù)各選項(xiàng)命題的描述判斷是否為全稱量詞命題或存在量詞命題及其真假即可.故選：B.題型05全稱量詞命題與存在量詞命題的否定【典例1】（多選）下列是全稱量詞命題的否定的有（）A．存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)B．存在一個(gè)三角形，它的三個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上D．沒(méi)有一個(gè)平行四邊形是菱形【答案】ABC【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題分析可得答案．故選：ABC.【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題分析可得答案．故選：C.【變式2】命題p：“存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根”，則p的否定是（）A．存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根B．不存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根C．對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根D．至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)存在性命題的否定求解.【解析】命題p是存在量詞命題，其否定形式為全稱量詞命題，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根．故選：C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可寫(xiě)出原命題的否定.題型06根據(jù)含有量詞的命題的真假求參數(shù)根據(jù)命題的真假求參數(shù)(1)已知命題的真假，可根據(jù)每個(gè)命題的真假利用集合的運(yùn)算求解參數(shù)的取值范圍．(2)對(duì)于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決．(3)利用參變量分離法求解不等式恒（能）成立?！敬鸢浮緽【分析】根據(jù)全稱命題為真命題，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可求得a的范圍，即得答案.故選：B【分析】根據(jù)全稱命題的定義和性質(zhì)結(jié)合不等式進(jìn)行求解即可.【分析】寫(xiě)出特稱命題的否定，根據(jù)命題為假，則其否定為真，結(jié)合一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍.題型07轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用所以是的真子集，【答案】1故答案為：1．在下列語(yǔ)句中，是命題的有（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)命題的定義直接判斷即可.【解析】命題是可以判斷真假的陳述句，對(duì)于選項(xiàng)ABC，均為可判斷真假的陳述句，即都是命題.D不能判斷真假，不是命題故選：C.【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可寫(xiě)出原命題的否定.故選：D.【答案】C【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的概念依次判斷各選項(xiàng)即可.故選：C【答案】A故選：A.5．已知命題p：?x∈{x|1<x<3}，x－a≥0；若是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)<1B．a(chǎn)>3