2024年江蘇省高一數(shù)學期末模擬試題一、命題說明本套模擬試題以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》為依據(jù)，緊扣江蘇省高一上學期數(shù)學教學重點（集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ），聚焦基礎素養(yǎng)（如數(shù)學概念理解、公式定理應用）與關鍵能力（如邏輯推理、運算求解、直觀想象）的考察。命題特點如下：1.緊扣教材：試題素材源于課本例題、習題的延伸，如集合運算、三角函數(shù)化簡、二次函數(shù)單調性等；2.注重應用：引入實際問題（如利潤增長、函數(shù)零點判斷），考察數(shù)學建模能力；3.體現(xiàn)素養(yǎng)：通過函數(shù)奇偶性與單調性的綜合應用、對數(shù)運算的換底公式，滲透邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)。二、模擬試題（一）選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midx>1\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,2\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{\log_2x}\)的定義域是(\quad)A.\([1,+\infty)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((0,1)\cup(1,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)3.函數(shù)\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性是(\quad)A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的一條對稱軸方程是(\quad)A.\(x=\frac{\pi}{12}\)B.\(x=\frac{\pi}{6}\)C.\(x=\frac{\pi}{3}\)D.\(x=\frac{\pi}{2}\)5.設\(a=0.5^2\)，\(b=2^{0.5}\)，\(c=\log_20.5\)，則\(a,b,c\)的大小關系是(\quad)A.\(c<b<a\)B.\(a<c<b\)C.\(c<a<b\)D.\(b<c<a\)6.已知函數(shù)\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\((-\infty,0)\)上單調遞減，則\(f(-2)\)、\(f(1)\)、\(f(3)\)的大小關系是(\quad)A.\(f(1)<f(3)<f(-2)\)B.\(f(1)<f(-2)<f(3)\)C.\(f(3)<f(-2)<f(1)\)D.\(f(-2)<f(1)<f(3)\)7.\(\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}-\tan\frac{\pi}{4}\)的值為(\quad)A.0B.1C.-1D.28.\(\log_28+\log_3\frac{1}{9}\)的值為(\quad)A.1B.2C.3D.49.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)在區(qū)間\((1,2)\)內(\quad)A.有一個零點B.有兩個零點C.沒有零點D.無法判斷10.函數(shù)\(y=a^x\)與\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖像交點個數(shù)是(\quad)A.1B.2C.0D.不確定11.函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值是(\quad)A.2B.3C.6D.912.函數(shù)\(f(x)=2^x+\log_2x\)在區(qū)間\([1,2]\)上的零點個數(shù)是(\quad)A.0B.1C.2D.3（二）填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，且\(f(2)=3\)，則\(f(-2)=\_\_\_\_\)。14.函數(shù)\(y=\cos(3x+\frac{\pi}{4})\)的最小正周期是\(\_\_\_\_\)。15.\(\log_23\times\log_34=\_\_\_\_\)。16.函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\)（\(x>1\)）的最小值是\(\_\_\_\_\)。（三）解答題（本大題共6小題，共70分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知集合\(A=\{x\midx^2-4x+3<0\}\)，\(B=\{x\mid2x-3>0\}\)，求：（1）\(A\capB\)；（2）\(A\cupB\)；18.（12分）化簡并求值：\(\sin(\pi-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)+\cos(2\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\)，其中\(zhòng)(\alpha=\frac{\pi}{3}\)。19.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+3\)在區(qū)間\([1,2]\)上單調遞減，求：（1）\(a\)的取值范圍；（2）\(f(x)\)在區(qū)間\([1,2]\)上的最小值。20.（12分）某公司2024年的利潤為100萬元，計劃每年利潤增長10%，問2029年（5年后）的利潤約為多少萬元？（精確到1萬元）21.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=\log_2(x+1)-2^x\)，求：（1）\(f(x)\)在區(qū)間\([0,1]\)上的零點個數(shù)；（2）不等式\(f(x)>0\)的解集。22.（12分）已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調遞增，\(f(1)=0\)，解不等式\(f(x-1)>0\)。三、答案與解析（一）選擇題1.答案：B解析：解\(x^2-3x+2=0\)得\(x=1\)或\(x=2\)，故\(A=\{1,2\}\)。\(B=\{x\midx>1\}\)，因此\(A\capB=\{2\}\)。易錯點：解二次方程時符號錯誤。2.答案：B解析：定義域需滿足：\(x-1\geq0\)（根號非負）、\(x>0\)（對數(shù)真數(shù)正）、\(\log_2x\neq0\)（分母非零），即\(x\geq1\)且\(x\neq1\)，故\(x>1\)。易錯點：漏掉對數(shù)真數(shù)或分母條件。3.答案：A解析：\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故為奇函數(shù)。易錯點：\(\sin(-x)=-\sinx\)符號錯誤。4.答案：A解析：對稱軸滿足\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)。當\(k=0\)時，\(x=\frac{\pi}{12}\)。易錯點：對稱軸公式記錯（應為\(k\pi+\frac{\pi}{2}\)）。5.答案：C解析：\(a=0.5^2=0.25\)，\(b=2^{0.5}=\sqrt{2}\approx1.414\)，\(c=\log_20.5=-1\)，故\(c<a<b\)。易錯點：指數(shù)對數(shù)函數(shù)值大小判斷錯誤。6.答案：B解析：偶函數(shù)\(f(-2)=f(2)\)，且在\((0,+\infty)\)上單調遞增（因\((-\infty,0)\)遞減），故\(f(1)<f(2)<f(3)\)，即\(f(1)<f(-2)<f(3)\)。易錯點：偶函數(shù)單調性對稱方向判斷錯誤。7.答案：A解析：\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)，故原式\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0\)。易錯點：特殊角三角函數(shù)值記錯。8.答案：A解析：\(\log_28=3\)，\(\log_3\frac{1}{9}=\log_33^{-2}=-2\)，故原式\(=3-2=1\)。易錯點：對數(shù)運算性質應用錯誤。9.答案：A解析：\(f(1)=1-3+1=-1<0\)，\(f(2)=8-6+1=3>0\)，由零點存在定理，\(f(x)\)在\((1,2)\)內有一個零點。易錯點：忽略函數(shù)連續(xù)性（多項式函數(shù)必連續(xù)）。10.答案：A解析：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關于\(y=x\)對稱。當\(a>1\)時，兩者在\(x>1\)時有一個交點；當\(0<a<1\)時，在\(0<x<1\)時有一個交點，故總有1個交點。易錯點：認為無交點或多個交點。11.答案：C解析：\(f(x)=(x-1)^2+2\)，頂點在\(x=1\)（值為2）。區(qū)間\([0,3]\)端點處：\(f(0)=3\)，\(f(3)=6\)，故最大值為6。易錯點：誤將頂點視為最大值（開口向上，頂點是最小值）。12.答案：A解析：\(2^x\)與\(\log_2x\)均遞增，故\(f(x)\)遞增。\(f(1)=2+0=2>0\)，\(f(2)=4+1=5>0\)，故無零點。易錯點：未判斷單調性直接用零點存在定理。（二）填空題13.答案：3解析：偶函數(shù)\(f(-x)=f(x)\)，故\(f(-2)=f(2)=3\)。易錯點：奇偶性定義記反。14.答案：\(\frac{2\pi}{3}\)解析：余弦函數(shù)周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，\(\omega=3\)，故\(T=\frac{2\pi}{3}\)。易錯點：周期公式記錯（正弦/余弦為\(\frac{2\pi}{\omega}\)，正切為\(\frac{\pi}{\omega}\)）。15.答案：2解析：用換底公式：\(\log_23\times\log_34=\frac{\lg3}{\lg2}\times\frac{\lg4}{\lg3}=\frac{\lg4}{\lg2}=2\)。易錯點：換底公式應用錯誤。16.答案：3解析：令\(t=x-1\)（\(t>0\)），則\(f(x)=t+1+\frac{1}{t}\geq2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}+1=3\)，當\(t=1\)（\(x=2\)）時取等號。易錯點：未正確變形（湊基本不等式形式）。（三）解答題17.解析（1）解\(x^2-4x+3<0\)得\(1<x<3\)，故\(A=(1,3)\)；解\(2x-3>0\)得\(x>\frac{3}{2}\)，故\(B=(\frac{3}{2},+\infty)\)。因此\(A\capB=(\frac{3}{2},3)\)。（2）\(A\cupB=(1,+\infty)\)。18.解析化簡：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha\)，\(\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\)，故原式\(=\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha)+\cos\alpha\cdot\cos\alpha=\cos2\alpha\)。當\(\alpha=\frac{\pi}{3}\)時，\(\cos(2\times\frac{\pi}{3})=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)。19.解析（1）\(f(x)\)的對稱軸為\(x=a\)，開口向上，單調遞減區(qū)間為\((-\infty,a]\)。因\([1,2]\subseteq(-\infty,a]\)，故\(a\geq2\)。（2）因\(f(x)\)在\([1,2]\)上單調遞減，故最小值在\(x=2\)處取得，\(f(2)=4-4a+3=7-4a\)。20.解析利潤增長為指數(shù)模型：\(y=100\times(1+0.1)^5\)，計算得\(100\tim