一、選擇題

1.（2019四川省樂山市，10,3）如圖，拋物線歹二,工2-4與x軸交于/、8兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0,3）

4

為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，。是線段總的中點(diǎn)，連結(jié)。。.則線段。。的最大值是（）

歷

A.3B.------D.4

2

【答案】C

第10題答圖

【思路分析】連接反，根據(jù)中位線定理知心=2。。，Q9的最大值即求尸4的最大值，而圓外一點(diǎn)4

到圓上一點(diǎn)尸距離最大時(shí)，尸4過(guò)圓心C,故可利用勾股定理求8G從而求得PB,再求

【解題過(guò)程】連接戶氏令歹二1工2一4=（）,得-±4,故/（-4,）,（4,（））,.二。是/傷的中點(diǎn)，又。是

-4

線段尸力的中點(diǎn)，4點(diǎn)4是圓C外一點(diǎn)，當(dāng)尸8過(guò)圓心。時(shí)，PB最大,。。也最大，

17

此時(shí)。。=3,04=4,由勾股定理可得8C=5,PB=BC+PC=5+2=7,OQ=-PB=~,故選C.

~22

【知識(shí)點(diǎn)】中位線定理；點(diǎn)與圓的關(guān)系；勾股定理

二、填空題

1.（2019江蘇省無(wú)錫市，18,2）如圖，在A48c中，AB=AC=5,6。=4后，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B

點(diǎn)除外），以CO為一邊作正方形CZ）切，連接8E,則A4OE面積的最大值為.

第18題圖

【答案】8

【思路分析】本題考查了有關(guān)正方形中動(dòng)態(tài)三角形面枳的最值問題.過(guò)。作。G_L4。于G,過(guò)力作4N

LBC于N,過(guò)E作于H,延長(zhǎng)EO交4c于'設(shè)DG=HE=x,借助等腰三角形性質(zhì)、勾股

定理、相似三角形性質(zhì)與判定求或用x的代數(shù)式表示相關(guān)線段長(zhǎng)度，最后通過(guò)求面積函數(shù)值的二次函數(shù)

最值來(lái)解決問題.

第18題答圖

【解題過(guò)程】過(guò)。作。G_L8C于G，過(guò)4作出V_L8C于N,過(guò)E作EHLHG于H,延長(zhǎng)交8c于

"易證0/XOGC,可設(shè)DG=HE=x,*：AB=AC=5,BC=4出,ANLBC,:?BN=LBC=2后,

2

AN=4AB2-BN2=x/5,*：GVBC,ANA.BC,：,DG//AN,：.—=—=2,：.BG=2x,CG=HD-4^-

DGAN

2r：易證△UEDSAGMD,于是旭=生，上=4石-2x,即欣^一^一,所以S@DE=-

GMGDGMx4方-2x2

XHD=-X(2x—一—)X(475-2r)=--x2+4V5x=--|x--+8,當(dāng)尸延時(shí)，S“DE

24V5-2.r22^5J5

的最大值為8.

來(lái)解決問題.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰二角形性質(zhì)；勾股定理；相似三角形性質(zhì)與判定；二次函數(shù)的最值；數(shù)形結(jié)合思想

2.（2019浙江臺(tái)州』5題,5分）如圖，直線ii//h,A,B,C分別為直線h,h.h上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB,BC,AC,線段

AC交直線歷上之間的距離為m,直線L,b之間的距離為n,若NABC=90°,BD=4,且'=2,則m+n的最

n3

大值為.

第16題圖

【答案】

【思路分析】作垂線，構(gòu)造相似彳導(dǎo)到比例式，把m+n用x表示，通過(guò)求二次函數(shù)的最值求得m+n的最值.

【解題過(guò)程】過(guò)點(diǎn)B作BE_Lh于點(diǎn)E,作BF_Lh于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作AN_LL于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)C作CM_L12于點(diǎn)

M,設(shè)AE=x,CF=y廁BN=x,BM=y,VBD=4,/.DM=y—4,DN=4-x,VZABC=90°，且/AEB=N

ApBFYm

BFC=90°，/CMD=NAND=90°,易得△AEBs/\BFC,Z\CMDsZ\AND,，一=—即±='mn

BFCF，〃y5

ANDNm4-x_23ml35

=xy;?市=而，即7=—=n=2m,m+n=m,Vmn=xy=x(10-

3331050350105

2X)=-2x￥10x=2當(dāng)x=y時(shí),mn取得最大值為亍,工=m2=ym最大=y，m+n=2ni=

25

T

第16題答圖

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形,二次函數(shù)最值

3.（2019四川省涼山市，24,5）如圖,正方形/8CD中.=12,/E=,4乩點(diǎn)在“右上運(yùn)動(dòng)（不

4

與8、。重合），過(guò)點(diǎn)P作尸QLEP,交C。于點(diǎn)0,則CO的最大值為▲.

第24題圖

【思路分析】根據(jù)正方形形的性質(zhì)得到NA=NC=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到N8EP=NCP0,根據(jù)

相以三角形的性質(zhì)得到C￡?=-1（X-6）2+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解題過(guò)程】在正方形48co中，??78二12,4￡：:148:3,；.8C=4B=12,BE=9,設(shè)8P=x,則812-尤

4

'：PQLEP,,:?/BEP+/BPE=4CPQ+/BPE=9G0,:?/BEP:/CPQ,

△EBPs^PCQ,，詈=皆'—=12-X?整理得C/-Lct-ey+d,???當(dāng)x=6時(shí)，C。取

得最大值為4.故答案為4.

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值

三、解答題

1.（2019浙江湖州，24,12）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中：四邊形O/1BC是矩形，點(diǎn)4C分

別在x軸和y軸的正半軸上，連結(jié)4C,OA=3,tanZOAC=y~,。是8c的中點(diǎn).

（1）求OC的長(zhǎng)及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

2

（2）如圖2,M是線段0c上的點(diǎn)，OM=-OC,點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P,D,

B三點(diǎn)的拋物線交x軸的正半軸于點(diǎn)E,連結(jié)DE交AB于點(diǎn)F.

①將△DM沿DE所在的直線翻折，若點(diǎn)B恰好落在AC上，求此時(shí)BF的長(zhǎng)和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②以線段DF為邊,在。尸所在的直線的右上方作等邊△QR7,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M

時(shí)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直?接?寫?出?點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

【思路分析】(1)RtZX/OC中，由壬切三角函數(shù)，可求0C的長(zhǎng)；再由矩形的性質(zhì)及線段中點(diǎn)的定義

鎖定點(diǎn)。的坐標(biāo).(2)①由翻折可知D5=O￡=OC,從而/Da=/DB'C=3Q°.通過(guò)解直用二角

形得到刈=必=且，在&/\力/b中，力七="'/11/力心=且'退=3,從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo).②

222

按一找點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)與終點(diǎn)，從而找到點(diǎn)G的路徑，二求該路徑的長(zhǎng)即可鎖定答案.如答圖2和答

圖3,表示動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)時(shí)的起點(diǎn)、與終點(diǎn)的位置，G點(diǎn)的路徑是一

條線段.

12oc

【解題過(guò)程】（1）在RtAUOC中，由tan/O4C=—=-OA=3,得OC=CM?tan/O力C=3X—

30A3

=G

???四邊形。月8C是矩形，點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，

：.D(—,>/3).

(2)①如答圖1,易知NO4C=N/lC8=30°.

而由折疊可知08=。*=。。，從而/OC4=NQ4'C=30°.

；?NBDF=NB'DF=30°.

：.ZDFB=ZAFE=60°.

為△。8/中，易求BF=

2

：.AF=AB—BF=百.RtZX/EQ中，AE=AF*tanXAFE=3x百=3

2''''j22

99

：.OE=一，E（一，0）.

22

綜上，8尸的長(zhǎng)為二J3一，點(diǎn)E的坐標(biāo)為七(9一，0).

22

第24題答圖3

【知識(shí)點(diǎn)】矩形性質(zhì)；解直角三角形；翻折(軸對(duì)稱)：等腰三角形：等邊三角形：二次函數(shù)：動(dòng)態(tài)問

題；數(shù)形結(jié)合思想；探究性問題；壓軸題；原創(chuàng)題

2.(2019天津市，24,10分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

NABO=30。，矩形CODE的頂點(diǎn)D,E,C分別在OA,AB,OB上，OD=2.

(1)如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形CODE,點(diǎn)C,O,D,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C\O,.D\E,,

設(shè)OO'=t,矩形C'CTDE，與△ABO重疊部分的面積為S

①如圖②，當(dāng)矩形與AABO重疊部分為五邊形時(shí)，C，E，,E，D，分別與AB相交于點(diǎn)M,F,

試用含有I的式了表示S,并直接寫出I的取值范圍；

②當(dāng)JiwswsG時(shí)，求t的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)

【思路分析】⑴由題意知OA=6,OD=2,AAD=4,由矩形CODE得DE〃BO,，NAED=NABO=30。,

.,.DE=tan60°AD=4V3,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,4Ji）

(2)①由平移得,OC=DE=4S.(yD，=CE=2,ME'=OO'=t,根據(jù)E，D，〃BO,得NETM=N

OBA=30°,RtAMET中，E'F=VJt,

iiA

、=

SAMEF=—ME'*FE'==—1~；S矩形CODEC'°'?°'Q'=4百x2=8G;

222

2

S=S,inCODE-S....MET=--t+8V3,因?yàn)橹丿B部分是五邊形，所以t的取值范圍是0<t<2；

②當(dāng)S=百時(shí)，此時(shí)t=g>2,所以重疊部分不是五邊形；當(dāng)S=5JJ時(shí)，

2

--t2+8V3=5>/3,此時(shí)t=J^〉2,所以重疊部分不是五邊形：當(dāng)2<t<4時(shí)，重疊部分是四邊形如

2

圖③所示，當(dāng)4<t<6時(shí)，重疊部分是三角形如圖④所示.

當(dāng)2?<4時(shí),S=1(MO'+FD>。'D'=；?(百(67)+省(4—))?2=V3(10-2t)

當(dāng)4<飪6時(shí),S='。，4?O，M*

2

所以，當(dāng)s=6時(shí)，S=V3(10-2t)=>/3,此時(shí)1=4.5,不在2<1<4范圍內(nèi);

當(dāng)S=5JJ時(shí)5二由（10-2。=5百，此時(shí)t=2.5；

=

當(dāng)S=A/3時(shí)，S（6—=\/3?此時(shí)t=6-V2,

綜上所述，t的取值范圍是2.5<t<6-x/2：

【解題過(guò)程】(1)???A(6,0),/.OA=6,

VOD=2,.\AD=4,由矩形CODE得DE〃BO,

JZAED=ZABO=30°,/.DE=tan60°AD=

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,4方）

⑵①由平移得，O‘C'=D'E'=4G,(yD'=C'E'=2,ME'=OO'=t,根據(jù)E'D'〃BO,得NE'FM=NOBA=30°,Rt

△ME下中，E下=",

-ME'*FE'=-<.瓜國(guó)2r-r-

22；S-=C'°'Q?=4百x2=8@

SAME'F=2

2

S=S期-CODESAME,產(chǎn)，因?yàn)橹丿B部分是五邊形，所以t的取值范圍是0<t<2；

②2.5興6?0.

【知識(shí)點(diǎn)】分類討論；二次函數(shù)；多邊形的面積

3.（2019四川攀枝花，23,12分）己知拋物線），=一爐+瓜+。的對(duì)稱軸為直線x=l,其圖象與x軸相

交于力、B兩點(diǎn),與），軸交于點(diǎn)C（0,3）.

⑴求。c的值；

（2）直線/與x軸交于點(diǎn)P.

①如圖1,若/〃y軸，且與線段71c及拋物線分別相交于點(diǎn)從E點(diǎn)C關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)為

/）,求四邊形CEQ產(chǎn)面積的最大值；

②如圖2,若直線/與線段8C相交于點(diǎn)。，當(dāng)△PCQsaaip時(shí)，求直線/的表達(dá)式.

【思路分析】（1）由拋物線y=—f+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=l,得一-=1,解得6=2,把點(diǎn)C

(0,3)代入拋物線y=—f+^x+c得c=3.

（2）①由題意先求得點(diǎn)。，44的坐標(biāo)，//c的解析式，設(shè)“（G-，+2e+3）,則石（e,-e+3）,

進(jìn)而得七戶=一4+3處因?yàn)镃OJ_￡F,所以S四邊形利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求出最大值；

2

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得/〃/C,N42尸=N3CO.作尸〃_L4C于點(diǎn)〃，設(shè)尸（見0），根據(jù)tan/jCP

=-,得關(guān)于，〃的方程三'=1,解之可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得直線/的表達(dá)式.

33+加3

-^―=1,仿=2,

【解題過(guò)程】解：（1）由題可知〈-2解得1

°c=3.

c=3,

（2）①由題意可知。（2,3）,CDLEF,：.CD=2.

由（1）可知力（3,0）,5（-1,0）

lAC:尸f+3

設(shè)方(e,一/+2e+3),則￡(e,—e+3)

???E/=—后+3e

139

???5四皿形?！辍Ｊ?一。。七/=-/+32=—(.e——)2+3—.

224

7Q

.?.當(dāng)e=±時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為？.

24

②由(1)可知NO/1C=NOC4=45。,

由△尸C0s/\aip可得/QPC=/PCA

：A//AC.

由△尸C0s/\C4P可得NQ4C=45。,

：.ZQCP=ZOCA,NACP=NBCO,

(0,3),可得tanN8CO=L

由B(-1,0),C

3

tanZJCP=一?

3

作。于點(diǎn)H,設(shè)P(〃z,0),則.4尸=3—〃L

.*.P//=JZ/=—(3，〃卜Cll=-y-(3I，〃)

2

6c、

立■(3-M_pH

=tanZJCP=-,

+〃,)CH3

即三二J_,解得加=3

3+m32

33

AP(-,0),/./:y=-x+-.

22

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的表達(dá)式；相似三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)；分式方程,

4.(2019四川省眉山市，26,11分)如圖1,在正方形力3CZ)中，4E平分/CB月交BC于點(diǎn)

E,過(guò)點(diǎn)。作Cr_L/E,交/E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交43的延長(zhǎng)線于點(diǎn)發(fā)

(1)求證：BE=BF.；

(2)如圖2,連接BG、BD,求證：BG平濟(jì)/DBF；

(3)如圖3,連接0G交/C于點(diǎn)M,求正的值.

DM

【思路分析】(1)根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接寫出拋物線解析式即可，將解析式配方，得到頂點(diǎn)式，可

得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,+y),用含a的式子表示出PE的長(zhǎng)，進(jìn)而用含a的式子表

示出矩形PEFG的周長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的最大值求解即可；

(3)根據(jù)題意，證得△AMNS/^BDM,易得AB=6,AD=DB=5,根據(jù)△DMN為等腰三角形有三種

可能：@MN=DM,利用△AMNg/XBDM,易得AN的值；②DN=MN,利用△DAMS/^BAD的性

質(zhì)，可得AN的值；③DN=DM,不成立.

4416

【解題過(guò)程】解：(1)拋物線的解析式為：丫=-弓(1+5)(1-1)=-示2-5%+/.配方得：

y=-](x+2)~+4,?,?頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,4).

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,—cT--aH),貝！)PE=-a~aH,PG=2(-2-a)=-4-2a,工矩

999999

形PEFG的周長(zhǎng)=2(PE+PG)=21一3a2一3型一4-2〃)=--fj2-fa+—1+,

999999914yl18

???-1V0,???當(dāng)a=-1時(shí)，矩形PEFG的周長(zhǎng)最大，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

944

(3)存在.

VDA=DB,.*.ZDAB=ZDBA.VZAMN+ZDMN=ZMDB+ZDBA,XVZDMN=ZDBA,AZAMN=

ZMDB,.\AAMN^ABDM,.??蛇二業(yè)，易求得AB=6,AD=DB=5.

MBDR

△DMN為等腰三角形有三種可能:①當(dāng)MN=DM時(shí)，則△AMNgzXBDM,??.AM=BD=5,???AN=MB=1；

②當(dāng)DN=MN時(shí)，則NADM=NDMN=ZDBA,又丁NDAM=NBAD,，△DAMs△BAD,:.

AD2=AMAB,AAM=—,ABM=6--=—,V—=—,???黑=2,工AN=竺③DN=DM不

666MBDBH536

7

成立.；NDNM>NDAB,而NDAB=NDMN,AZDNM>ZDMN,，DN=DM.綜上所述，存在點(diǎn)M

滿足要求，此時(shí)AN的長(zhǎng)為1或皂.

36

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的頂點(diǎn)式，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的

性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，分類討論思想

5.（2019四川省樂山市，26,12）如圖，已知拋物線>=Q（X+2）（X—6）與x軸相交于力、3兩點(diǎn),

3

與歹軸交于。點(diǎn)，且tanNC45=].設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N.

（1）求拋物線的解析式;

（2）P為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，。（小0）為x軸上一點(diǎn)，且PQ1PC.

①當(dāng)點(diǎn)P在線段MN（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求〃的變化范圍;

②當(dāng)〃取最大值時(shí)，求點(diǎn)尸到線段C。的距離；

③當(dāng)〃取最大值時(shí)，將繾卷C。向上平移，個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段C。與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),

求，的取值范圍.

備用圖

第26題圖

【思路分析】（1）令尸0解方程求得48坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)求C的坐標(biāo)從而求得〃的值；

（2）①先求拋物線的對(duì)稱軸與頂點(diǎn)，再設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,（其中0三川44）利用勾股定理列方程

求〃?、〃的關(guān)系式，并配方求最值得出"的范圍；

②由△PC。面積的不同列式列方程求點(diǎn)P到線段C0距離：

③找出界點(diǎn)點(diǎn)求/的值從而得到/的范圍.

【解題過(guò)程】

解：（1）根據(jù)題意得：力（一2,0）,4（6,0）,

co3

在用"OC中，???1211/0。=——二—,且04=2,得。0=3,

AO2

C（0,3）,將。點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x+2）（x-6）得：a=--,

4

故拋物線解析式為：^=--（x+2）（x-6）；

4

（2）①由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為：％=2,頂點(diǎn)〃（2,4）,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（2,相）:其中04.44）,

則002=2n+（用一3尸，〃/+（〃—2-，CQ2=32+n\

???尸01.0C,.?.在火公PC0中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,

即22+(〃?-3)2+/〃2+(門-2)2=32+〃2,整理得;

Ij37

n=—(ni2—3/n+4)=—(w——)2+—(04644).

377

.,.當(dāng)〃?=一時(shí)，〃取得最小值為一；當(dāng)〃?=4時(shí)，〃取得最大值為4,所以，一(〃<4；

288

②由①知：當(dāng)n取最大值4時(shí)，陽(yáng)=4,

/.尸(2,4),0(4,0),則PC=VJ,00=2石，C0=5,

設(shè)點(diǎn)Q到線段CQ距離為力，由S好co=；CQh=；PC.PQ,

得：h=PCPQ=2,故點(diǎn)P到線段。。距離為2；

CQ

③由②可知：當(dāng)〃取最大值4時(shí)，0(4,0),

3

線段。。的解析式為：y=--x+3,

4

3

設(shè)線段C。向上平移，個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為：y=—x+3+t,

4

當(dāng)線段C。向上平移，使點(diǎn)0恰好在拋物線上時(shí)，線段。。與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)0的縱坐標(biāo)為：一，(4+2)(4—6)=3,

4

3

將。(4,3)代入片一/+3+/得：t=3,

②③

第26題答圖

當(dāng)線段。。繼續(xù)向上平移，線段。。與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),

尸一;(x+2)(x-6)

聯(lián)解《,得：—(x+2)(x—6)=—x+3+f,化簡(jiǎn)得:

344

y=——x+3+Z

-4

x2-7x+4r=0,由A=49-16/=0,得￡=——，.?.當(dāng)線段C。與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)

16

49

時(shí)，3<z<—.

16

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；三角函數(shù)；一次函數(shù)；根的判別式；形結(jié)合思想

6,(2019山東省濰坊市，25,13分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系式⑷中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)力(4,0),

點(diǎn)810,4),△/BO的中線力C與y軸交于點(diǎn)C,且。M經(jīng)過(guò)。A,C三點(diǎn).

(1)求圓心〃的坐標(biāo)；

(2)若直線力。與。必相切于點(diǎn)力,交y軸于點(diǎn)。，求直線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在過(guò)點(diǎn)4且以圓心”為頂點(diǎn)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作QE〃j，軸，交直線力。于點(diǎn)￡若

以PE為半徑的OP與直線力。相交于另一點(diǎn)尸.當(dāng)E尸=4后時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【思路分析】(1)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)〃為力C的中點(diǎn)求得坐標(biāo)；(2)先證明即△AOCSR/A。.,

求出。。的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求力。的解析式；（3）利用頂點(diǎn)式求出拋物線的

解析式，過(guò)點(diǎn)尸作PHA.EF,垂足為H,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)RfAEHPsRiADOA,得到型二絲,

PEAD

求出￡7/與PE的關(guān)系式，即可求解.

【解題過(guò)程】（1）??"（?是△48。的中線

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）

4OC=90°

，線段4C是。M的直徑

???點(diǎn)M為線段4C的中點(diǎn)

工圓心M的坐標(biāo)為（2,1）

（2）???力。與。M相切于點(diǎn)力

：,ACLAD

:?RtAAOCsR2OA

?OC_OA

''~OA~'OD~2

V0/1=4,

.?.OD=S

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-8）

設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為）^=kx+b

0=4k+b

可得：《

—8=Z?

:.k=2>Z?=~8

二?直線力。的函數(shù)表達(dá)式為：y=2.v—8

（3）設(shè)拋物線y=〃（x-2）2+l,且過(guò)點(diǎn)（0,4）

???4=0（0—2）2+1

3

4

3

所以，拋物線的關(guān)系式為：^=-.r-3x+4

4

3

設(shè)點(diǎn)P(m,—m2—3m+4),則點(diǎn)ECm,2m—8)

4

3

：,PE=-m2-5m+12

4

過(guò)點(diǎn)、P作PH工EF,垂足為〃

4y

在Rt^DOA中,

AD=V42+82=4x/5

'：PE!/y^

???RfAEHPsRfADOA

.EH_OP_8

一萬(wàn)一而一乖

23

AEH-5m+\2)

,:EF=4亞

23

??.2y/5=-^=x(—m~-5m+12)

化簡(jiǎn)，得：3m2-20m+28=()

解之，得：/Ml=2,W2=—

3

1419

所以點(diǎn)P為(2,I)或(一，—)

33

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)綜合，圓的基本性質(zhì)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)

7.(2019山東泰安,24題,13分)若二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,-

2),且過(guò)點(diǎn)C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上第?象限內(nèi)的點(diǎn)，且S&，BA=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M,使NABO=NABM?若存在，求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離;若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(第24題)(第24題備用圖)

【思路分析】(1)利用待定系數(shù)法，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,可求得a,b,c的值;(2)連接PO,?AABP轉(zhuǎn)化為

容易求的圖形面積，通過(guò)割補(bǔ)表示出面積，進(jìn)而解方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)工3)作MD〃y軸，得到等腰三角形

DBM,利用兩點(diǎn)間距離公式，得到MD,MB的表達(dá)式，通過(guò)解方程MD=MB,得到M的坐標(biāo).

【解題過(guò)程】(1廠??拋物線丫=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)(0,-2),c=-2,又二拋物線過(guò)點(diǎn)(3,0)(2,-2)A

2

a=-

9。+36-2=0，解得3，，拋物線的表達(dá)式為/$72一$4_2

4。+26—2=—2

24

(2)連接P0,設(shè)點(diǎn)P(m.-nr--w-2),

則SA.PAB=SIPOA+SA.AOB—S&POB=—x3?(—〃/——2)H—x3x2——x2*iii=〃尸—,由題意得:m?—3m

23322

=4,.\m=4,或m=-1(舍去),一$〃一2=］，；?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,號(hào)).

2

(3)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+n,'.,直線AB過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(0,-2),??.3k+n=0,n=—2,解之，得:k=§,n

=-2,???直線AB的表達(dá)式為:丫=(一2,設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意，點(diǎn)M的坐標(biāo)為化了一?一2).過(guò)點(diǎn)M作

22

ME_Ly軸,垂足為E,作MD±x軸交于AB于點(diǎn)D,則D的坐標(biāo)為(t,5t—2),MD=-y/2+2/,BE=

24

|一一戶+一“.又MD〃y軸,???NABO=NMDB,又CNABO=NABM,???NMDB=NABM,???MD=MB,???

33

2

MB=——r2+2"

3

在RtZ\BEM中，卜y十4=1|/2+2,,解之，得:t=￡,???點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為日.

第24題答圖

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)解析式,割補(bǔ)法求三角形面積，解一元二次方程，求點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)

運(yùn)算

8.（2019江蘇省無(wú)錫市，27,10）已知二次函數(shù)y=+反—4（a>0）的圖像與x軸交于小B兩

點(diǎn)，（力在3左側(cè)，且。力VO8）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求。點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷力的正負(fù)性；

（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸與直線/C交于點(diǎn)。，已知DC：C4=1：2,直線與y軸交于

點(diǎn)、E,連接6c.

①若的面枳為8,求二次函數(shù)的解析式;

②若△8CQ為銳角三角形，請(qǐng)直接寫出04的取值范圍.

第27題圖

【思路分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.

⑴令j，=0求點(diǎn)C的坐標(biāo)，借助對(duì)稱軸方程判斷b的符號(hào);

(2)①過(guò)點(diǎn)D作釉于A/,先利用相似求得。M與的關(guān)系，再設(shè)DW=,〃，求得8的

坐標(biāo)與OE的長(zhǎng)，從而求得吠的值，最后將/、8坐標(biāo)代入求解析式；

②允用〃？的表達(dá)式求出8、C、。的坐標(biāo)，再利用勾股定理求、CD、DB\最后借助“兩邊的

平方和大于第三邊平方，第三邊所對(duì)角為銳角”求出m的范圍從而得到。力的范圍.

【解題過(guò)程】

解：(1)令x=0,則y=-4,AC(0,-4),VOA<OB,???對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，即-2>0,,:a>

2a

0,.\6<0；

①過(guò)點(diǎn)作軸于則〃?,?生=也=些=!

(2)DM,0M/O,：,DM=-AO,設(shè)A

CAOACO22

{-2m,0)(w>0),

則AO=2m,QM=”???OC=4,.\CM=2,：.D(m,-6),B(4m,0),設(shè)對(duì)稱軸交x軸于M則￡W〃

y軸，J△DNBS^EOB,

???OE=8,S,MF=-X4X4/n=8,/.m=\,：,A(-2,0),B(4,0),

OEOB2

設(shè)y=a(x+2)(x-4),即y=ax2-2ax-8?,令x=0?貝U尸-8。，*.C(0,-8a),，-8a=-4,*,?

=-A2-X-4.

2

②易知：B(4〃?，0),C(0,-4),D(w,-6),由勾股定理得C￥=16〃?2+16,CD2=m2+4,DB2=

9ni2+36.

V9W2+36+16W2+16>W2+4,LCB?+DB2>CD2,；?NCBD為銳角,故同時(shí)考慮一下兩種情況:

222222

1°當(dāng)NCDB為銳角時(shí),CD+DS>CBtw+4+9w+36>16w+16,解得-2<m<2,

2。當(dāng)/BCD為銳角時(shí)，C02+c62>以?2,/H2+4+16/?2+16>9m2+36,解得m>6.或m〈-亞

（舍），

綜上：V2<m<2,A2V2<2w<4,/.2及VO/V4.

第27題答圖

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖像與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形判定與性質(zhì)；銳角三角形的判定；數(shù)形結(jié)合

思想

17

9.（2019湖南省岳陽(yáng)市,24,10分）如圖1,4AOB的三個(gè)頂點(diǎn)小O、B分別落在拋物線H：y=-x2+-x

"’33

的圖象上，點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為一4,點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為一2.（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)）

（1）求點(diǎn)力、B的坐標(biāo)；

（2）將△408繞點(diǎn)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)90c得到△/!'OB',拋物線B：?二。X2+以+4經(jīng)過(guò)力'、夕兩

點(diǎn)，已知點(diǎn)"為拋物線尸2的對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，且點(diǎn)恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，連接O.M、T

求△（〃’"的面積；

（3）如圖2,延長(zhǎng)。夕交拋物線用于點(diǎn)C,連接力'C,在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以AO、D

為頂點(diǎn)的三角形與△orC相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【思路分析】（1）分別將力點(diǎn)橫坐標(biāo)和〃點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線Q可得；（2）通過(guò)，、B'的坐標(biāo)求

出拋物線后的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)M在對(duì)稱軸上求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；延長(zhǎng)力'“交x軸于點(diǎn)N,則4

4'為等腰直角三角形，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線4'N的解析式，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后

利用SA,OM=SA”O(jiān)LSOMN

求解.（3）根據(jù)點(diǎn)在直線08'和拋物線B上求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到4'。的長(zhǎng)度及/0力'C的度數(shù),

根據(jù)西邊成比例并且夾角相等證明三角形相似，分兩種情況討論求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【解題過(guò)程】（1）將x--4代入），=；x2+［工，得：7=1x（-d）2+|x（-d）=-/1,

：,A（-4,-4）.

i717

將尸一2代入y=_x~H—x,得：—rn—x=-2,

3333

解得：X]=-1,X2=-6

???點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)，

：,B(-1,-2)?

(2)由旋轉(zhuǎn)可知：/T(4,-4),夕(2,-1)

代入拋物線歹=Q/+6X+4,得：

16。+4/)+4=4

4。+26+4=-1

解得：r=4

b=—3

???拋物線B：y=-x2-3x+4.

4

-3

對(duì)稱軸為：x=-------r=6

2x-

4

延長(zhǎng)/'A/交x軸于點(diǎn)M

???點(diǎn)，恰好在以0M為直徑的圓上,

:?NOA‘歷=90°.

*：A'(4,-4),

???NH02450.

/.△AfON為等腰直角三角形.

???ON=4X2=8.

:,N(8,0)

設(shè)直線HN：產(chǎn)始+〃

加+

則《4/7=-4

8加+〃=0

m=1

解得：,

n=-8

.,.y=x-8.

當(dāng)x=6時(shí)，y=~2.

:,M(6,-2)

Srm/=SVCN—SOMN

=1X8X4-1X8X2

22

=8.

所以，△(%'M的面積為8.

(3)設(shè)直線。8'解析式為：產(chǎn)履，代入8,(2,-1),

得：2k=—1

k=--.

2

設(shè)直線解析式為：y=--x.

2

y=-x~-3x+4

A

解方程組：4

1

y=——x

I2

x,=2=8

得：，,2

.凹=T1%=-4

,:(2,-1)

：.C(8,-4).

*：A(4,-4),

：,A'C〃x軸，A'。=8—4=4,

；?N0A'01350.

若以/、O、￡)為頂點(diǎn)的三角形與△3'。相似則△40。必有一個(gè)鈍角135°,故點(diǎn)。與點(diǎn)/'是對(duì)應(yīng)

頂點(diǎn).

所以點(diǎn)。在x軸或y軸正半軸上.

OA=OA'=\/42+42=4\/2.

①若c,則

OAOD

A'OA'C

：.OD=A'C=4.

此時(shí)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（4,0）或（0,4）.

②若o,則

OAOD

就一翔

472OD

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8,0）或（0,8）.

由①②可知，坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)。，其坐標(biāo)分別為（4,0）、（0,4）、（8,0）或（0,8）.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)綜合，圖形的旋轉(zhuǎn)，求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定，存在性問題，分類

討論思想

10.（2019湖南懷化,24,14分）如圖,在直角坐標(biāo)系中有RtAA0B,0為坐標(biāo)原點(diǎn),OB=I,s〃NABO=3,

將此三角形繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9（）。，得到RIZXCOD,二次函數(shù)產(chǎn)/2+方.什c的圖象剛好經(jīng)過(guò)A,B,C

三點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）過(guò)定點(diǎn)Q的直線/：產(chǎn)依?-什3與二次函數(shù)圖象相交于M,N兩點(diǎn).

①若SAPMN=2,求k的值;

②證明：無(wú)論R為何值，△PMN恒為直角三角形

③當(dāng)直線/繞著定點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)時(shí)，△PMN外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫出拋物線的表達(dá)式.

【思路分析】（1）根據(jù)題意分別求H點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，并把坐標(biāo)代入廠以+&解出力和c的值

即可，進(jìn)而得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）①設(shè)M（xi，J，I）,N（.m及）.首先求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)SAPMN=；PQ?（X2-XD得出X】和

X2的數(shù)量關(guān)系，最后聯(lián)立方程產(chǎn)=-a