《線段的垂直平分線的性質》1.線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？2.什么是線段的垂直平分線？線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是這條線段的垂直平分線.經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知識回顧1.理解并掌握線段垂直平分線的性質和判定.2.探究線段垂直平分線的性質和判定的證明過程.3.能運用線段垂直平分線的性質和判定解決實際問題.學習目標如圖,直線l垂直平分線段AB,P1,P2,P3,…是l上的點,點P1,P2,P3,…到點A和點B的距離有什么關系呢？我通過測量發(fā)現(xiàn)點P1,P2,P3,…到點A的距離與它們到點B的距離分別相等.ABlP1P2P3課堂導入如圖,直線l垂直平分線段AB,P1,P2,P3,…是l上的點,分別量一量點P1,P2,P3,…到點A和點B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?ABlP1P2P3我把線段AB沿著直線l對折，發(fā)現(xiàn)線段P1A與P1B，線段P2A與P2B，線段P3A與P3B……都是重合的，因此它們也分別相等.線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.知識點1線段的垂直平分線的性質符號表示：如圖,直線l⊥AB,垂足為C，AC=BC，點P在l上，則有PA=PB.ABlCP你能證明這個性質嗎？新知探究如圖,直線l⊥AB,垂足為C，AC=BC，點P在l上.求證：PA=PB.ABlCP證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB.又AC=BC，PC=PC，∴△PAC≌△PBC（SAS）.∴PA=PB.ABP如圖，線段AB外任意一點P到點A，點B的距離相等.求證：點P在線段AB的垂直平分線上.反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？證明：過點P作直線l，使得l⊥AB，垂足為O.∵l⊥AB，

∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB，PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.

∴AO=BO.∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,

∴點P在線段AB的垂直平分線上.ABPlO線段的垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.知識點2線段的垂直平分線的判定符號表示：如圖，已知線段AB，∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上.ABlOP新知探究例1

尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點C(如圖).求作：AB的垂線，使它經過點C.ABC.知識點3尺規(guī)作圖新知探究ABCDEK作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁；（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E；例1

尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.FABCDEK例1

尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.直觀上我們感覺兩個平面圖形是成軸對稱的，如何驗證呢？不折疊圖形，你能準確地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎？如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.因此，只要能找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸.例2

如圖，點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？分析：我們只要連接點A和點B，作出線段AB的垂直平分線，就可以得到點A和點B的對稱軸，為此作出到點A,B距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的垂直平分線.AB

ABCD例2

如圖，點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？作軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的依據如果一個圖形是軸對稱圖形或兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.找對應點時，一般找圖形的頂點或轉折點，這樣做出的圖形更準確.作軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的步驟①找：找到軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的任意一對對應點；②連：連接這對對應點；③作：作出對應點所連線段的垂直平分線.如圖，直線AE是線段BC的垂直平分線，垂足為E，D為AE上一點，求證：∠ABD=∠ACD.證明：∵AE是線段BC的垂直平分線，D為AE上一點，∴AB=AC，BD=DC.在△ABD和△ACD中，

AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ABD=∠ACD.

EBCDA跟蹤訓練新知探究1.如圖,AD⊥BC,BD=DC,點C在AE的垂直平分上,AB,AC,CE的長度有什么關系?AB+BD與DE有什么關系?解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AB=AC.∵點C在AE的垂直平分線上,

∴AC=CE.∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.CBDAEAD為BC的垂直平分線隨堂練習2.如圖，在△ABC中，AB=5cm，BC的垂直平分線分別交AB，BC于點D，E，△ACD的周長為8cm，求線段AC的長.解：∵DE為線段BC的垂直平分線，∴CD=BD.

∴△ACD的周長為AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8cm.∵AB=5cm，

∴AC=3cm.BCEDA3.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上一點，連接DE，BE，求證：∠ABE=∠ADE.ADEBC證明：連接DB.

∵AB=AD，BC=DC,∴點A和點C都在線段BD的垂直平分線上.

∴AC是線段BD的垂直平分線.∵E是AC上的一點，∴BE=DE.在△ABE和△ADE中，∵AB=AD，

BE=DE，

AE=AE，∴△ABE≌△ADE.∴∠ABE=∠ADE.線段的垂直平分線性質判定尺規(guī)作圖線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上畫一個軸對稱圖形或成軸對稱圖形的對稱軸課堂小結

經過直線外一點作已知直線的垂線1.

如圖，已知：直線

AB

和

AB

外一點

C

，用尺規(guī)作

AB

的垂線，使它經

過點

C

.

步驟如下：①任意取一點

K

；②以點

C

為圓心，

CK

長為半徑

作弧，交

AB

于點

D

，

E

；③分別以點

D

和點

E

為圓心，以

a

長為半徑

作弧，兩弧相交于點

F

；④作直線

CF

，直線

CF

就是所求作的垂線.下

列說法正確的是(

C

)12345678910A.

對點

K

，

a

長無要求【答案】C12345678910

尺規(guī)作線段的垂直平分線

A.

45°B.

55°C.

60°D.

65°第2題圖B12345678910

5

第3題圖12345678910

第3題圖12345678910

作對稱軸4.

下圖有幾條對稱軸？作出對稱軸.解：有6條對稱軸，如圖.123456789105.

用尺規(guī)作出下圖的對稱軸.(保留作圖痕跡)解：如圖所示.12345678910

6.

(石家莊第42中學期末)如圖，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，根

據尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結論錯誤的是(

C

)A.

DE

＝

DC

B.

AE

＝

AC

C.

AD

＝

BD

D.

∠

BDE

＝∠

BAC

【解析】根據作圖痕跡知，

AD

平分∠

CAE

，

DE

⊥

AB

.

由角平分線的

性質知A，

B正確；在Rt△

ABC

和Rt△

DBE

中，由∠

B

的余角相等，

得D正確.C123456789107.

尺規(guī)作圖：在∠

ABC

內找一點

P

，使它到∠

ABC

的兩邊的距離相等，并且到點

A

，

C

的距離也相等.(不寫作法，保留作圖痕跡)解：如圖所示，點

P

即為所求.123456789108.

如圖，△

ABC

和△A'B'C'關于直線

MN

對稱，△A'B'C'和△

A

″

B

″

C

″關于直線

EF

對稱.(1)畫出直線

EF

；解：(1)如圖，連接B'B″，作B'B″的垂直平分線

EF

，即為所求.12345678910(2)直線

MN

與

EF

相交于點

O

，試探究∠

BOB

″與直線

MN

，

EF

所夾銳

角α的數(shù)量關系.解：(2)如圖，連接

BO

，

B

'

O

，

B

″

O

.

12345678910∵△

ABC

和△A'B'C'關于直線

MN

對稱，∴∠

BOM

＝∠

B

'

OM

.

又∵△A'B'C'和△

A

″

B

″

C

″關于直線

EF

對稱，∴∠

B

'

OE

＝∠

B

″

OE

.

∴∠

BOB

″＝∠

BOM

＋∠B'OM＋∠B'OE＋∠

B

″

OE

＝2(∠B'OM＋

∠B'OE)＝2α.123456789109.

如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°.(1)用直尺和圓規(guī)作

BC

的垂直平分線

l

，交斜邊

AB

于點

O

；解：(1)作圖如圖所示.12345678910(2)猜想：點

O

是

AB

的什么特殊點？證明你的猜想；解：(2)

O

是

AB

的中點.證明：∵

OE

是

BC

的垂直平分線，∴

OC

＝

OB

.

∴∠

OCB

＝∠

B

.

∵∠

OCB

＋∠

OCA

＝90°，∠

B

＋∠

A

＝90°，∴∠

OCA

＝∠

A

.

∴

OA

＝

OC

.

又∵

OC

＝

OB

，∴

OA

＝

OB

.

∴點

O

是

AB

的中點.12345678910(3)點

O

在

AC

的垂直平分線上嗎？說明理由；解：(3)解：點

O

在

AC

的垂直平分線上.理由如下：∵

OA

＝