《角的平分線的性質(zhì)（第二課時）》角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何表示：如圖，∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.∴PD=PE.OABCPDE┐┐知識回顧1.探究并證明角的平分線的判定.2.會用角的平分線的判定解決實(shí)際問題.3.熟練掌握角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的判定的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)思考：如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處？課堂導(dǎo)入作出公路和鐵路相交的角的平分線，按照比例尺的比例在該平分線上選取離交叉口處500m的位置即可建集貿(mào)市場.

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上？

課堂導(dǎo)入┐角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

注意:使用該判定定理的前提是這個點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.OABCPDE┐知識點(diǎn)1角的平分線的判定新知探究幾何表示：如圖，∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐┐證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.例如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系.點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理是證明兩條線段相等的依據(jù)，判定定理是證明兩個角相等的依據(jù).知識點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系新知探究分別畫出以下三角形的三個內(nèi)角的角平分線，從位置的角度看你能得出什么結(jié)論？三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部.ABC┐ABCABC知識點(diǎn)3三角形三個內(nèi)角平分線的性質(zhì)

新知探究過交點(diǎn)分別作三角形三邊的垂線，測量一下每一組垂線段，從大小上你能觀察出什么結(jié)論？

過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.┐┐┐┐┐┐┐┐┐ABCABBCAC例如圖，△ABC的角平分線AD，BE，CF相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到△ABC三邊AB，BC，CA的距離相等.BCPDEFMNO證明：過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，垂足分別為點(diǎn)M，N，O.┐┐┐A可多次利用角平分線的性質(zhì)證得∵AD為△ABC的角平分線，∴PN=PO.∵BE為△ABC的角平分線，∴PM=PO.∵CF為△ABC的角平分線，∴PM=PN.∴PM=PN=PO，即點(diǎn)P到△ABC三邊AB，BC，CA的距離相等.BCPDEFMNO┐┐┐A三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn).ABCP判斷題:(1)如圖1，若QM=QN，則OQ平分∠AOB.()

(2)如圖2，若QM⊥OA于點(diǎn)M，QN⊥OB于點(diǎn)N，則OQ平分∠AOB.()┐┐QOBAM圖2NOBAQM圖1N跟蹤訓(xùn)練新知探究角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.1.如圖，P是△ABC外部一點(diǎn)，PD⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D，PE⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，且PD=PE=PF.關(guān)于點(diǎn)P有下列三種說法：①點(diǎn)P在∠DBC的平分線上；②點(diǎn)P在∠BCE的平分線上；③點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.其中說法正確的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3DCAEBDFP┐┐隨堂練習(xí)2.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F且DB=DC.求證：AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐

BE=CF，DB=DC.

Rt△BDE≌Rt△CDF.

DE⊥AB，DF⊥AC

，DE=DF.AD是∠BAC的平分線.

分析：

（直角三角形全等（HL））（三角形全等的性質(zhì)）（角的平分線的判定）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF，

DB=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴DE=DF.∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐3.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，O到三邊AB，BC，CA的距離分別為OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=（）.證明：由題意，得OD⊥BC，OE⊥AC,OF

⊥AB,且OF=OD=OE，∴OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB.∵∠BAC=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°.

4.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F.求證：AC平分∠BAD.EABCDF┌┐熟練掌握角的平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵證明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC.∵CE⊥AD，CF⊥AB，

∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中，∠CFB=∠CED，

∠FBC=∠EDC，

BC=DC，∴△BCF≌△DCE（AAS）.

∴CF=CE，即AC平分∠BAD.EABCDF┌┐角平分線的判定學(xué)會用添加輔助線的方法解題判定定理應(yīng)用角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上綜合利用角的平分線的性質(zhì)和判定來解決實(shí)際問題課堂小結(jié)1.如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC.求證：AE平分∠DAB.ABCED┌┌拓展提升證明：過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥EC，EB⊥AB.

∵DE平分∠ADC，

∴EC=EF.

證明角平分線的方法只需從要證的線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作（找）垂線段，再證明垂線段相等即可.∵E是BC的中點(diǎn)，

∴EC=EB=EF.又∵EF⊥AD，EB⊥AB，

∴點(diǎn)E在∠DAB的平分線上，即AE平分∠DAB.F┌ABCED┌┌2.如圖，∠MON=60°，點(diǎn)A，B為射線OM，ON上的動點(diǎn)（點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合），在∠MON的內(nèi)部，△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°，求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上.CDABPOMN┌┌證明：①若∠PAO≠90°，如圖，過點(diǎn)P分別作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分別為C，D，則∠ACP=∠BDP=90°.在四邊形OCPD中，

∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，∴∠APB=∠CPD.∴∠APB-∠APD=∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.在△APC和△BPD中，∠APC=∠BPD，

∠ACP=∠BDP，

AP=BP，∴△APC≌△BPD（AAS）.∴PC=PD，∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上.CDABPOMN┌┌ABPOMN②若∠PAO=90°，則∠PBO=360°-∠APB-∠PAO-∠AOB=90°,∴PA=PB,∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上.綜上，點(diǎn)P在∠MON的平分線上.∠PAO的度數(shù)未知，因分情況討論，確保結(jié)果的完整性.

角的平分線的判定1234567891011121.

(石家莊第40中學(xué)期末)如圖，用一把長方形直尺的一邊壓住射

線

OB

，再用另一把完全相同的直尺的一邊壓住射線

OA

，兩把直尺的

另一邊交于點(diǎn)

P

，則射線

OP

就是∠

AOB

的平分線的依據(jù)是(

C

)A.

角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等B.

三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等C.

在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上D.

以上都不對第1題圖C2.

如圖，直線

AB

，

CD

相交于點(diǎn)

O

，

PE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，

PF

⊥

CD

于點(diǎn)

F

.

若

PE

＝

PF

，且∠

AOC

＝50°，則∠

EOP

的度數(shù)為(

A

)A.

65°B.

60°C.

55°D.

30°第2題圖A1234567891011123.

如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

＝36°，

ED

⊥

AB

于點(diǎn)

D

，

且

EC

＝

ED

，則∠

EBC

＝

?°.第3題圖27

123456789101112

12

第4題圖1234567891011125.

【教材第51頁習(xí)題12.3第5題改編】如圖，

FO

平分∠

DFE

，

PD

⊥

OA

于點(diǎn)

D

，

PE

⊥

OB

于點(diǎn)

E

，

FD

＝

FE

.

求證：

OC

平分∠

AOB

.

123456789101112

三角形的角平分線6.

如圖，在△

ABC

中，點(diǎn)

O

到三邊的距離相等，∠

BAC

＝60°，則∠

BOC

的度數(shù)為(

A

)A.

120°B.

125°C.

130°D.

140°A1234567891011127.

如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，請

在草坪上確定涼亭的位置

P

，使涼亭到草坪三條邊的距離相等.(要求：

尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)解：如圖所示.123456789101112

8.

已知，在△

ABC

中，

AD

為∠

BAC

的平分線，

DE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，

F

為

AC

上一點(diǎn)，且∠

DFA

＝100°，則(

B

)A.

DE

＞

DF

B.

DE

＜

DF

C.

DE

＝

DF

D.

不能確定

DE

，

DF

的大小關(guān)系B123456789101112【解析】根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，過點(diǎn)

D

作

DQ

⊥

AC

于點(diǎn)

Q

.

∵∠

BAC

的平分線

AD

交

BC

于點(diǎn)

D

，

DE

⊥

AB

，∴

DE

＝

DQ

.

∵

DF

＞

DQ

，∴

DF

＞

DE

.

1234567891011129.

如圖所示，直線

l1，

l2，

l3表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，

要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(

D

)A.

一處B.

兩處C.

三處D.

四處第9題圖D123456789101112【解析】如圖所示，∠

ABC

和∠

BAC

的平分線的交點(diǎn)

P1分別到各自角

兩邊的距離相等，利用角平分線的性質(zhì)定理，可以得到點(diǎn)

P1也在∠

ACB

的平分線上，且到

l1，

l2，

l3的距離相等，同理還有∠

ABC

和∠

BAC

的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)

P3，∠

ACB

和∠

BAC

的鄰補(bǔ)角的平分線

的交點(diǎn)

P2，∠

ABC

和∠

BCA

的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)

P4.因此可供選擇

的地址有四處，即

P1，

P2，

P3，

P4.第9題圖12345678910111210.

如圖，已知△

ABC

的周長是34，

BO

，

CO

分別平分∠

ABC

和∠

ACB

，

OD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，且

OD

＝4，則△

ABC

的面積是

?.第10題圖68

123456789101112【解析】如圖，過點(diǎn)

O

作

OE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

，

OF

⊥

AC

于點(diǎn)

F

，連接

OA

.

∵

BO

平分∠

ABC

，

OE

⊥

AB

，

OD

⊥

BC

，∴

OE

＝

OD

＝4.第10題圖123456789101112∵

CO

平分∠

ACB

，

OF

⊥

AC

，

OD

⊥

BC

，∴

OF

＝

OD

＝4.∵△

ABC

的周長為34，∴

AB

＋

BC

＋

AC

＝34.∴

S△

ABC

＝

S△

OAB

＋

S△

OBC

＋

S△

OAC

第10題圖123456789101112＝2

AB

＋2

BC

＋2

AC

＝2(

AB

＋

BC

＋

AC

).＝2×34＝68.第10題圖12345678910111211.

(石家莊第43中學(xué)期末)如圖，

AD

∥

BC

，∠

D

＝90°，

P

為

CD

中點(diǎn)，

BP

平分∠

ABC

.

(1)求證：

AP

平分∠

DAB

；(1)證明：∵

AD

∥

BC

，∠

D

＝90°，∴∠

C

＝∠

D

＝90°.如圖，作

PE

⊥

AB

于點(diǎn)

E

.

∵

BP

平分∠

ABC

，123456789101112

PE

⊥